氣體中個別分子的速度具有怎樣的數(shù)值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整體來看，在平衡態(tài)下，氣體分子的速度分布遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這個規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律。

一、建立背景

牛頓的力學(xué)理論體系建立后，人們普遍認(rèn)為宇宙的一切都是按照物體間的作用力和力學(xué)方程運(yùn)行的。因此可以根據(jù)一個物體在某一時刻的受力和運(yùn)動狀態(tài)，準(zhǔn)確地確定這個體系以往和未來的運(yùn)動狀態(tài)，不存在任何偶然和奇跡。當(dāng)時物理學(xué)家并沒有發(fā)現(xiàn)熱學(xué)和力學(xué)之間的關(guān)聯(lián)，在機(jī)械決定論觀點(diǎn)的統(tǒng)治下，科學(xué)家總是力圖以機(jī)械論和力學(xué)的觀點(diǎn)來解釋熱學(xué)現(xiàn)象?？藙谛匏乖凇墩撐覀兎Q之為熱的運(yùn)動》中，闡述了關(guān)于氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)。他在導(dǎo)出理想氣體狀態(tài)方程的基礎(chǔ)上，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想和沖量定理得出了壓強(qiáng)與分子平均動能成正比；進(jìn)一步將壓強(qiáng)表達(dá)式與理想氣體狀態(tài)方程中壓強(qiáng)的表達(dá)式比較得出溫度的統(tǒng)計(jì)力學(xué)定義。在具體計(jì)算過程中克勞修斯應(yīng)用了概率統(tǒng)計(jì)，他是把統(tǒng)計(jì)思想引入物理學(xué)的第一人。盡管他堅(jiān)持物理世界受力學(xué)控制，從而影響了進(jìn)一步運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法研究熱學(xué)，但他起到了開辟道路的作用，也為麥克斯韋發(fā)現(xiàn)氣體速度分布律帶來啟發(fā)。

麥克斯韋對概率理論有著濃厚的興趣。在看到克勞修斯的論文之前，麥克斯韋就已經(jīng)注意到大量物體相互碰撞時的運(yùn)動問題，但因所涉及的問題過于復(fù)雜，當(dāng)時還沒有辦法解決。研讀克勞修斯的論文之后，麥克斯韋受到啟發(fā)，將研究轉(zhuǎn)向了分子的運(yùn)動。麥克斯韋對克勞修斯“所有分子速度相等”的假設(shè)表示懷疑。他認(rèn)為所有分子的速度應(yīng)該是在0～∞范圍內(nèi)以一定概率出現(xiàn)的，在一定條件下呈現(xiàn)一種穩(wěn)定的速度分布。麥克斯韋將其理論寫入《氣體動力理論的解釋》中，這篇論文的發(fā)表標(biāo)志著麥克斯韋速度分布律的建立。

二、麥克斯韋速度、速率分布律的數(shù)學(xué)表述及物理解析

1．麥克斯韋速度分布律

首先假設(shè)容器內(nèi)氣體處于平衡態(tài)，氣體分子總數(shù)為N。將氣體速度v分解為vx，vy，vz，并在分速度方向建立直角坐標(biāo)系如圖24-1所示。

圖24-1

處于平衡態(tài)的氣體速度分布是各向同性的，速度矢量的端點(diǎn)在體積元dw=dvxdvydvz內(nèi)的分子數(shù)d N與總分子數(shù)N和速度間隔體積元成正比，即

d N∝Ndvxdvydvz（24-1）

式（24-1）應(yīng)該引入一比例系數(shù)，但這個比例系數(shù)不是一常數(shù)，而應(yīng)該是速度大小的函數(shù)。因?yàn)榭臻g各向同性，為了除掉方向的影響，用F（v2）（其中v2=++）表示這個比例系數(shù)，這樣

式（24-2）即是我們定義的速度分布函數(shù)，其物理意義是單位速度間隔dw=dvxdvydvz內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例。

由于速度分布各向同性，速度的任一分量的分布與其他分量無關(guān)，故可令

式（24-3）兩邊同時取對數(shù)后分別對vx，vy，vz求偏導(dǎo)，且v2=。整理后有

顯然，以上三式等號右側(cè)應(yīng)等于同一個與vx，vy，vz無關(guān)的系數(shù)，即

對上式積分，得

將式（24-4）、式（24-5）和式（24-6）代入式（24-3）得

式中，A=A1A2A3。

由于具有無限大速率的分子出現(xiàn)的概率極小，故可令λ=-α2，由歸一化條件得

將代入式（24-8 ）可得A的表達(dá)式A=。再利用分子平均動能，可確定α=，代入式（24-7）可得麥克斯韋速度分布函數(shù)為

2．麥克斯韋速率分布律

速率為標(biāo)量，所以速率分布律是只考慮速度大小的分布。以γ，θ，φ為坐標(biāo)軸建立球坐標(biāo)系，這樣分子速度大小在v→v+dv范圍內(nèi)的分子，速度方向任意，即它們速度矢量的端點(diǎn)都落在體積為4πv2dv的球殼內(nèi)，如圖24-2所示。

用體積元4πv2dv代替式（24-1）中的體積dvxdvydvz，則氣體分子速率在v→v+dv區(qū)間的分布為

圖24-2

f（v）dv=F（v2）4πv2dv

將麥克斯韋速度分布函數(shù)式（24-9）代入上式得

式（24-10）就是麥克斯韋速率分布函數(shù)，它表征每個速率代表的權(quán)重。

3．三種速率

1）最概然速率

如圖24-3所示，最概然速率vp定義為系統(tǒng)中任何分子最有可能具有的速率，它也對應(yīng)于速率分布函數(shù)f（v）取最大值時的速率。我們利用數(shù)學(xué)中求極值的辦法，計(jì)算，并設(shè)它為零，然后對v求解可得vp，即

圖24-3

將式（24-10）代入式（24-11）求導(dǎo)可得

式中，k是玻耳茲曼常數(shù)，m是單個分子質(zhì)量，所以式（24-12）中間等式是用微觀量表示的最概然速率；R是普適氣體恒量，M=m NA是物質(zhì)的摩爾質(zhì)量，這樣上式中的后一個等式是用宏觀量表示的最概然速率。

2）平均速率

平均速率是速率分布的數(shù)學(xué)期望值：

3）方均根速率

方均根速率vrms是速率平方的平均值的平方根：

從麥克斯韋速率分布函數(shù)圖24-3可以得出氣體分子速度分布呈現(xiàn)“兩頭少，中間多”，即速率具有極大值和極小值的分子數(shù)目較少，平均速率附近的分子數(shù)目較多的結(jié)論。麥克斯韋的速率分布律將物理學(xué)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)緊密地結(jié)合起來，體現(xiàn)了自然的統(tǒng)一之美。“兩頭少中間多”的分布規(guī)律也揭示了世界普遍的分布規(guī)律，其不僅意味著可以用統(tǒng)計(jì)的方法來描述物理現(xiàn)象，而且使力學(xué)定律的普適性受到了沖擊。麥克斯韋速率分布律也具有一種宏觀的美，克勞修斯側(cè)重研究的對象是個別分子的機(jī)械運(yùn)動，而麥克斯韋發(fā)現(xiàn)的是氣體總體速率分布的情況。

麥克斯韋指出在研究復(fù)雜的對象時，一般有兩種方法，一種是以力學(xué)定律為基礎(chǔ)的動力學(xué)方法，另一種是類似于人口普查的統(tǒng)計(jì)方法。研究氣體分子運(yùn)動應(yīng)該采取統(tǒng)計(jì)的方法。麥克斯韋的研究推動了物理思想與方法的進(jìn)步，也為用統(tǒng)計(jì)思想來解釋熱力學(xué)第二定律打下了基礎(chǔ)。

三、應(yīng)用舉例

例 設(shè)理想氣體的溫度為T，分子數(shù)密度為n，分子質(zhì)量為m，分子平均平動動能為。試用理想氣體分子運(yùn)動模型和統(tǒng)計(jì)假設(shè)推導(dǎo)平衡態(tài)下理想氣體的壓強(qiáng)公式p=。

解：考慮一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)下的某種理想氣體，假設(shè)其分子按速度分布律f（v）分布。在選定的速度v～v+dv區(qū)間內(nèi)，任選一個速度為v的分子來分析該分子對壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)。另外，為了計(jì)算壓強(qiáng)，我們在容器壁內(nèi)表面上任選一微小面元d S，并設(shè)d S面元法向?yàn)閤軸，這樣，這個分子一次碰撞器壁其動量變化為2mvx，而dt時間內(nèi)速度為v的分子撞到d S面上的個數(shù)為nf（vx）dvx·vxdtd S，其中n為分子數(shù)密度，即單位體積內(nèi)的分子數(shù)（假設(shè)分子在容器內(nèi)空間均勻分布的情況下，n為常數(shù)）。

這些分子給器壁的總沖量為

速度vx在0～∞內(nèi)的分子對器壁的總沖量為

應(yīng)用壓強(qiáng)的定義有

又因

所以

式中是單個分子的動能。

四、課后練習(xí)

24-1 一個容器內(nèi)儲存有溫度為27℃的理想氣體，其壓強(qiáng)為4．14×104Pa。求：

（1）該氣體的分子數(shù)密度；

（2）該氣體的分子平均動能；

（3）設(shè)理想氣體為氧氣，求方均根速率；

（4）設(shè)理想氣體為氫氣，求平均速率；

（5）設(shè)理想氣體為氦氣，求最概然速率。

24-2 假設(shè)有N=1．2×1010個粒子，其速度分布函數(shù)為

f（v）=，求：

（1）f（v）的極大值對應(yīng)的速度值vp；

（2）速率處在49～51m／s的粒子數(shù)約為多少？

（3）速率處在0～50m／s的那些粒子的平均速率。

24-3 一艘宇宙飛船的體積為27m3，艙內(nèi)壓強(qiáng)為p0，溫度為300K。假設(shè)飛船在飛行中被一隕石擊中，在其壁上形成一個面積為1cm2的小孔，以致艙內(nèi)空氣逸出，問需多久艙內(nèi)壓強(qiáng)降為？