【本節(jié)解讀】

運(yùn)用一般化的思想，將分?jǐn)?shù)的運(yùn)算類比遷移到分式的運(yùn)算，并運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想求出可以化為一元一次方程的分式方程的根，通過整數(shù)指數(shù)冪的學(xué)習(xí)完善同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和科學(xué)記數(shù)法，學(xué)習(xí)用科學(xué)記數(shù)法來表示絕對(duì)值小于1的數(shù)．

【基礎(chǔ)知識(shí)詳解與要點(diǎn)點(diǎn)撥】

分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．用式子表示為：．

分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．用式子表示為：．

分式的乘方法則：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示為：．

【規(guī)律方法】

計(jì)算：

（1）；

（2）．

分析：幾個(gè)單項(xiàng)式相乘（相除），利用乘、除法的法則計(jì)算，約分，化為最簡(jiǎn)式子；分式中分子、分母是多項(xiàng)式，應(yīng)分別先分解因式，再用乘、除法的法則計(jì)算，最后約分，化為最簡(jiǎn)式子．

解：（1）．

（2）

【易錯(cuò)提醒】

在進(jìn)行分式乘、除法運(yùn)算的過程中容易出現(xiàn)下列錯(cuò)誤：

1．約分錯(cuò)誤，即在約分的過程中，錯(cuò)誤地應(yīng)用分式基本性質(zhì)造成的錯(cuò)誤．

如：，實(shí)際上，．

2．在分式的乘除混合運(yùn)算中，運(yùn)算順序出現(xiàn)錯(cuò)誤．

如就是典型的運(yùn)算順序錯(cuò)誤，同級(jí)運(yùn)算應(yīng)該從左到右按順序進(jìn)行．此題正確解法應(yīng)為：．

除上述兩種情況外，還應(yīng)該注意運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式．

【典型例題精講與方法剖析】

例1　計(jì)算：

（1）；

（2）．

分析：可根據(jù)分式的乘除法則直接計(jì)算，可先考慮處理符號(hào)．

解：（1）．

（2）．

例2　計(jì)算：

（1）；

（2）．

分析：兩式須先將分子、分母分解因式再計(jì)算．

解：（1）．

（2）．

說明：分式的除法運(yùn)算，需轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算；根據(jù)乘法法則，應(yīng)先把分子、分母分別相乘，化成一個(gè)分式后再進(jìn)行約分，但在實(shí)際演算時(shí)，這樣做顯得較繁瑣，因此，可根據(jù)情況先約分，再相乘，這樣做有時(shí)簡(jiǎn)單易行，又不易出錯(cuò)．

例3　計(jì)算：

（1）；

（2）；

（3）．

分析：根據(jù)分式的乘方運(yùn)算法則給這個(gè)分式的分子、分母分別乘方，然后再進(jìn)行乘除運(yùn)算；做乘方運(yùn)算時(shí)，可先統(tǒng)一處理符號(hào)．

解：（1）；

（2）；

（3）

說明：對(duì)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)，可先對(duì)分子、分母約分再乘方，也可先對(duì)分子、分母分解因式再乘方．

例4　計(jì)算：

（1）；

（2）．

分析：第（1）小題是分式乘方與乘除混合運(yùn)算，應(yīng)先乘方再乘除；第（2）小題分式中分子、分母是多項(xiàng)式，應(yīng)分別先分解因式，再運(yùn)用乘、除法的法則計(jì)算，最后約分，化為最簡(jiǎn)式子；乘、除法屬于同一級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算．

解：（1）；

（2）．

例5　當(dāng)m＝0.75，n＝0.25時(shí)，求的值．

分析：求分式的值要看分式的形式，較復(fù)雜時(shí)不宜直接代入，應(yīng)先化簡(jiǎn)．

解：

說明：先化簡(jiǎn)再求值，是求分式的值的常用方法．

【基礎(chǔ)知識(shí)詳解與要點(diǎn)點(diǎn)撥】

分式加減法的法則是：

同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減．用式子表示是：．

通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式叫通分．通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母．最簡(jiǎn)公分母由下面的方法確定：（1）最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母的最高次冪的積．

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p．

用式子表示是：．

【規(guī)律方法】

在異分母分式加減法的計(jì)算過程中，要注意下面幾個(gè)問題：

（1）異分母分式的加減，關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母．

（2）多項(xiàng)式分母要因式分解．

（3）整式看成分母是1的分式．

（4）一些較復(fù)雜的題目可以采用逐步通分法．

（5）在分式的計(jì)算過程中注意利用乘法公式和因式分解法巧解分式計(jì)算．

【易錯(cuò)提醒】

計(jì)算：

（1）；

（2）．

分析：第（1）小題中，∵y²－x²＝-（x²－y²），∴本題可化為同分母的分式；第（2）小題異分母分式的加減法運(yùn)算，要通過通分化為同分母的分式運(yùn)算，一個(gè)整式與分式相加減時(shí)，應(yīng)把這個(gè)整式看作分母為1的一個(gè)式子．

（2）原式＝．

【典型例題精講與方法剖析】

例1　計(jì)算：．

分析：此題屬于同分母分式的加減混合運(yùn)算，根據(jù)法則，分母不變，分子相加減．

解：．

說明：分子相加減時(shí)，需把分子看成一個(gè)整體用括號(hào)括起來，再相加減．

例2　求下列各組式子的最簡(jiǎn)公分母：

（1）．

（2）．

分析：（1）分母中的各項(xiàng)系數(shù)分別為4、3、5，它們的最小公倍數(shù)是60，各字母因式a、b、c的最高次冪分別是a²、b²、c²，由此可得它們的最簡(jiǎn)公分母是60a²b²c²；

（2）先把各分母因式分解，然后按求最簡(jiǎn)公分母的一般步驟求．

解：（1）最簡(jiǎn)公分母為60a²b²c²；

（2）因?yàn)?img src="http://image.guayunfan.com/attached/image/20200317/6661/1e993b95-8fea-4a84-9256-0386dbc0f6f5.jpg" class="tpzz4" alt="alt">；

；

，

所以，最簡(jiǎn)公分母是3（a－1）（a－3）（a－4）（a＋1）．

說明：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般要先因式分解，再確定最簡(jiǎn)公分母，由于分子、分母中的符號(hào)可提到分式前面，所以最簡(jiǎn)公分母一般不取負(fù)號(hào)．

例3　通分：

（1）；

（2）．

分析：第（1）小題因?yàn)榉帜赶禂?shù)的最小公倍數(shù)是18，字母因式x，y的最高次冪是x³，y³，所以最簡(jiǎn)公分母是18x³y³．第（2）小題，因?yàn)?a＋b＝-（a－b），a²－b²＝（a＋b）（a－b），所以最簡(jiǎn)公分母是（a－b）（a＋b）²．

解：（1）∵最簡(jiǎn)公分母是18³y³，∴，

（2）∵最簡(jiǎn)公分母是（a－b）（a＋b）²，∴，

說明：通分時(shí)，在改變分母使之變?yōu)樽詈?jiǎn)公分母的同時(shí)，必須給分子實(shí)施同樣的運(yùn)算，這樣才能保證通分是恒等變形．

例4　計(jì)算：

（1）；

（2）．

分析：（1）最簡(jiǎn)公分母為xy，先通分，化為同分母的分式，再相加減；

（2）把整式x看作分母為1的分式，然后按分式的運(yùn)算順序進(jìn)行．

解：（1）．

（2）

說明：（1）對(duì)于分式與整式的相加減問題，有時(shí)可把整式看作分母為1的一項(xiàng)；

（2）運(yùn)算結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式．

例5　已知：3a－2b＝0，求下式的值：

分析：先化簡(jiǎn)，然后將已知條件變形代入求值．

解：

當(dāng)3a－2b＝0時(shí)，b＝a，∴原式．

說明：分式的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的．

【基礎(chǔ)知識(shí)詳解與要點(diǎn)點(diǎn)撥】

分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．

一元方程的解也叫做方程的根．

增根：使分式方程中分母為零的根．

【規(guī)律方法】

解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母．

一般地，解分式方程時(shí)，去分母所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0，因此應(yīng)如下檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解就不是原分式方程的解（即原方程的增根）．

解分式方程的一般步驟是：（1）去分母，把分式方程化為整式方程；（2）解這個(gè)整式方程；（3）驗(yàn)根；（4）結(jié)論．

【易錯(cuò)提醒】

分式方程化為整式方程的過程必須兩邊乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?，由于這個(gè)整式可能為零，使本不相等的兩邊也相等了，這時(shí)就產(chǎn)生了增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)，不能忽略．

【典型例題精講與方法剖析】

例1　解方程．

分析：解分式方程的關(guān)鍵是去分母，把不熟悉的分式方程轉(zhuǎn)化為熟悉的一元一次方程來解決．

解：方程兩邊同時(shí)乘以2（3x＋1），得2（2x－1）＝3x＋1，

去括號(hào)，得4x－2＝3x＋1，

移項(xiàng)，化簡(jiǎn)得x＝3，

檢驗(yàn)，將x＝3代入原方程，得左邊右邊．

所以x＝3是原方程的解．

例2　解方程．

解：方程兩邊同時(shí)乘以x－1，得x＋x－1＝1，

移項(xiàng)，化簡(jiǎn)得x＝1，

檢驗(yàn)，將x＝1代入原方程，結(jié)果使方程中分式的分母為零，分式無意義．

所以x＝1不是原方程的解，原方程無解（x＝1就是分式方程的增根）．

說明：在這里，x＝1不是原方程的根，因?yàn)樗沟迷质椒匠痰姆帜笧榱?，我們稱它為原方程的增根．產(chǎn)生增根的原因是：我們?cè)诜匠痰膬蛇呁肆艘粋€(gè)可能使分母為0的整式．因?yàn)榻夥质椒匠炭赡墚a(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．

例3　解方程．

分析：先將各分母分解因式，找出最簡(jiǎn)公分母，再去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，要注意檢驗(yàn)．

解：去分母，方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母（x＋1）（x－1），得（x－1）＋2（x＋1）＝4．

解這個(gè)整式方程得，x＝1．

檢驗(yàn)：把x＝1代入最簡(jiǎn)公分母（x＋1）（x－1），結(jié)果使（x＋1）（x－1）＝0，所以x＝1不是原方程的解，原方程無解（x＝1就是分式方程的增根）．

說明：檢驗(yàn)時(shí)將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解就不是原分式方程的解（即原方程的增根）．

例4　已知A、B兩地相距40km，甲騎自行車從A地出發(fā)1小時(shí)后，乙也從A地出發(fā)，用相當(dāng)于甲的1.5倍的速度追趕，當(dāng)追到B地時(shí)，甲比乙先到20分鐘，求甲、乙兩人的速度．

分析：此題是行程問題，路程、速度、時(shí)間是行程問題的三要素．

路程：甲，40km；乙，40km　　速度：乙的速度＝甲的速度的1.5倍

時(shí)間：乙走的時(shí)間＝甲走的時(shí)間

解：設(shè)甲的速度為xkm/h，則乙的速度為1.5xkm/h．

根據(jù)題意，得，解這個(gè)方程得，x＝20．

經(jīng)檢驗(yàn)知，x＝20是原方程的根，當(dāng)x＝20時(shí)，1.5x＝1.5×20＝30．

答：甲的速度為20km/h，乙的速度30km/h．

說明：列分式方程解應(yīng)用題時(shí)，要注意從兩種意義上驗(yàn)根，即不但要檢驗(yàn)所求的未知數(shù)的值是否適合原方程，還要檢驗(yàn)此解是否符合實(shí)際意義．

【基礎(chǔ)知識(shí)詳解與要點(diǎn)點(diǎn)撥】

任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零次冪等于1，即a⁰＝1（a≠0）．

當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，．

科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)數(shù)表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a＜10，n是整數(shù)）的記數(shù)方法就叫做科學(xué)記數(shù)法．

【規(guī)律方法】

正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪．

a^maⁿ＝a^m＋n（m、n為整數(shù)，a≠0）；

（ab）^m＝a^mb^m（m為整數(shù)，a≠0，b≠0）；

（a^m）ⁿ＝a^mn（m、n為整數(shù)，a≠0）．

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于10的n位整數(shù)時(shí)，其中10的指數(shù)是n－1．

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的正小數(shù)時(shí)，其中10的指數(shù)是第一個(gè)非0數(shù)字前面0的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)0）的相反數(shù)．

【典型例題精講與方法剖析】

例1　計(jì)算：

（1）3⁶÷3⁸；

（2）6¹⁰÷6¹⁰；

（3）（-a）³÷a⁷．

解：（1）3⁶÷3⁸＝3^6－8＝3^-2＝＝；

（2）6¹⁰÷6¹⁰＝6^10－10＝6⁰＝1；

（3）（-a）³÷a⁷＝-a³÷a⁷＝-a^3－7＝-a^-4＝-．

例2　計(jì)算：（1）（3x²y^-2）^-3；

（2）（2m²n^-2）²·3m^-3n³．

分析：可先運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，再化成正整數(shù)指數(shù)冪的形式．

解：（1）（3x²y^-2）^-3＝3^-3（x²）^-3（y^-2）^-3＝x^-6y⁶＝；

（2）（2m²n^-2）²·3m^-3n³＝4m⁴n^-4·3m^-3n³＝12mn^-1＝．

例3　把下列各數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示：

（1）102400；

（2）0.000456；

（3）-0.00001032．

解：（1）102400＝1.024×10⁵；

（2）0.000456＝4.56×10^-4；

（3）-0.00001032＝-1.032×10^-5．

說明：有了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，科學(xué)記數(shù)法不僅可以表示絕對(duì)值較大的數(shù)，也可以表示絕對(duì)值較小的數(shù)．

例4　一根約為1米長(zhǎng)、直徑為80毫米的光纖預(yù)制棒，可拉成至少400公里長(zhǎng)的光纖．試問：1平方厘米是這種光纖的橫截面積的多少倍？（保留兩位有效數(shù)字）

分析：可先求光纖的橫截面積，再列式計(jì)算．

解：光纖的橫截面積為：，（平方米），

∴10^-4÷（4π×10^-9）≈8.0×10³．

答：1平方厘米是這種光纖的橫截面積的8.0×10³倍．