哲學(xué)就寫(xiě)在這本偉大的宇宙之書(shū)中，它永遠(yuǎn)敞開(kāi)，充盈著我們的視線。然而，在你理解書(shū)中的語(yǔ)言和符號(hào)之前，你不可能理解它。這本書(shū)是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)就的，它的符號(hào)就是三角形和圓形等幾何形狀。如果沒(méi)有這些符號(hào)，人類(lèi)就完全無(wú)法理解書(shū)中的字句，并將會(huì)永遠(yuǎn)迷失于黑暗的迷宮中。

伽利略

《試金者》（The Assayer，1623）

自然科學(xué)中的數(shù)學(xué)具有難以解釋的有效性，這一事實(shí)近乎神秘……簡(jiǎn)直無(wú)法解釋。

尤金·維格納，1960

哇！那是普林斯頓一個(gè)周五的早晨，我好不容易讀完了郵箱里的所有郵件，主題包括一本書(shū)的寫(xiě)作計(jì)劃、一臺(tái)壞了的烤箱和一個(gè)關(guān)于“量子自殺”的爭(zhēng)論。此時(shí)，我在收件箱里發(fā)現(xiàn)了一封珍寶般的郵件，發(fā)件人是我認(rèn)識(shí)的一位資深教授。

看到這封郵件，我就像被潑了一盆冷水。這是一個(gè)重大的時(shí)刻，再一次刷新了我的個(gè)人紀(jì)錄。我把這封郵件抄送給我父親——他曾極大地鼓勵(lì)我對(duì)科學(xué)的熱愛(ài)，我父親的回信引用了但丁的一句話(huà)：“Segui il tuo corso et lascia dir le genti！”這是一句意大利語(yǔ)，意思是：“走自己的路，讓別人說(shuō)去吧！”

我發(fā)現(xiàn)，盡管我們口頭上經(jīng)常說(shuō)要跳出思想的藩籬，要敢于挑戰(zhàn)權(quán)威，但事實(shí)上，物理學(xué)領(lǐng)域墨守成規(guī)的現(xiàn)象相當(dāng)嚴(yán)重。早在研究生期間，我就敏銳地注意到了這種現(xiàn)象。比如，愛(ài)因斯坦革命性的相對(duì)論從未得過(guò)諾貝爾獎(jiǎng)^[44]，他本人也拒絕接受弗里德曼關(guān)于膨脹宇宙的發(fā)現(xiàn)，而埃弗雷特甚至在物理學(xué)領(lǐng)域找不到工作。也就是說(shuō)，許多我迫切希望自己也能發(fā)現(xiàn)的重要理論，都曾被領(lǐng)域內(nèi)的人們無(wú)情地忽視或拒絕。所以，我在研究生期間曾面臨著一個(gè)兩難的選擇：我愛(ài)上物理學(xué)的原因正是因?yàn)槲疑钌畹刂杂谀切┖甏蟮膯?wèn)題，然而很明顯，假如我一直追隨自己的內(nèi)心，那我的下一份工作恐怕就是去麥當(dāng)勞了。

在愛(ài)好和職業(yè)之間，我不想只選其一。所以我暗中決定采用一種秘密策略，讓我可以兼得熊掌與魚(yú)。后來(lái)事實(shí)證明，這個(gè)策略竟然運(yùn)轉(zhuǎn)得很成功。我把它稱(chēng)為我的“杰克博士與海德先生策略”^[45]，它的目標(biāo)是一個(gè)社會(huì)學(xué)漏洞。1600年，布魯諾因堅(jiān)持自己的觀點(diǎn)（所謂的“異端邪說(shuō)”，比如空間是無(wú)限的）而被活活燒死；伽利略因聲稱(chēng)地球圍著太陽(yáng)轉(zhuǎn)而被判終身監(jiān)禁，而今天的裁決則更加溫和一些。如果你對(duì)一些聽(tīng)起來(lái)很哲學(xué)化的宏大問(wèn)題感興趣，大多數(shù)物理學(xué)家對(duì)待你的態(tài)度就好像你沉溺于電子游戲一樣——下班后的事是你自己的事，別人管不著，但是請(qǐng)不要在白天的工作中分心去思考這些問(wèn)題，也不要在上班時(shí)間討論這些話(huà)題。所以，每當(dāng)權(quán)威人士詢(xún)問(wèn)我在研究什么時(shí)，我就變身為受人尊敬的“杰克博士”，告訴他們我正在研究宇宙學(xué)領(lǐng)域的主流話(huà)題，比如第3章提到的那些，涉及大量的測(cè)量和數(shù)字，諸如此類(lèi)。但是私底下，在沒(méi)人注意的時(shí)候，我就變身為“邪惡的海德先生”，著手于我真正想做的事情——追尋實(shí)在的終極本質(zhì)，正如第5章和第7章以及本書(shū)接下來(lái)要討論的大部分內(nèi)容。

為了消除顧慮，我還在個(gè)人網(wǎng)站上宣傳自己的“業(yè)余愛(ài)好”，打趣說(shuō)我每寫(xiě)10篇主流論文，就允許自己沉浸到一篇“古怪”的論文中。這很方便，因?yàn)槲沂俏ㄒ灰粋€(gè)在心里默數(shù)著這些數(shù)字的人……當(dāng)我從伯克利畢業(yè)時(shí)，我已經(jīng)發(fā)表了8篇論文，但其中有4篇都是“海德先生”寫(xiě)的，所以我在我的博士論文中省略了這部分內(nèi)容。我真的很喜歡我在伯克利的研究生導(dǎo)師喬·西爾克，但是為了安全起見(jiàn)，每次我打印“海德先生”的論文時(shí)，都要先確保他不在打印機(jī)附近，并且直到他在我的博士論文上簽字后，我才給他看了那些論文^[46]……我越來(lái)越無(wú)法擺脫這種策略：每當(dāng)我申請(qǐng)工作和研究經(jīng)費(fèi)時(shí)，我就只提及“杰克博士”的論文；在業(yè)余時(shí)間，我一直對(duì)宏大的問(wèn)題做著自己的研究。正是這些研究讓我“引火上身”——與布魯諾身上的火不同，這是一把蠻好的火。

這種雙重人格式的策略取得了超乎想象的結(jié)果。我非常欣慰自己能在一所擁有杰出同事和優(yōu)秀學(xué)生的大學(xué)里工作，也不用付出中斷我最大興趣的代價(jià)。但是現(xiàn)在，我覺(jué)得我虧欠科學(xué)界太多太多，到了我回饋的時(shí)候了！如果我們想象一下，在一個(gè)虛擬的空間里，所有研究課題在我們面前排列好，有一條邊界線可以區(qū)分出哪些課題屬于主流物理學(xué)、哪些不是（見(jiàn)圖9-1）。這條邊界線有一個(gè)神奇的性質(zhì)——它在不停地變形！在某些地方它收縮了，比如，煉金術(shù)和占星術(shù)走下了主流的舞臺(tái)；而在另外一些地方它發(fā)生了膨脹，對(duì)學(xué)科進(jìn)行了重新分類(lèi)，比如，相對(duì)論和疾病微生物學(xué)從高度推測(cè)性的少數(shù)觀點(diǎn)變成了主流科學(xué)。一直以來(lái)我都相信，一定有一些額外的課題可供物理學(xué)家發(fā)揮長(zhǎng)處，盡管這些課題一開(kāi)始聽(tīng)起來(lái)很哲學(xué)化。我已經(jīng)蟄伏太久了，不能再為自己找借口。我感到，我對(duì)年輕科學(xué)家肩負(fù)著一種道義上的責(zé)任，我要幫助他們從學(xué)術(shù)的狹龕中召喚出內(nèi)心的“海德先生”，幫助他們將科學(xué)的邊界往外推進(jìn)一點(diǎn)點(diǎn)。這就是我和安東尼·阿吉雷成立基本問(wèn)題研究所（我在第7章提到過(guò)這個(gè)研究所）的初衷，也正是我寫(xiě)這本書(shū)的原因。

圖9-1　主流科學(xué)的邊界在不斷變化。

那么，究竟是哪一篇論文招來(lái)了那封暗示我“停下來(lái)，否則你將自毀前程”的郵件呢？到底是什么話(huà)題，超出了圖9-1所描繪的當(dāng)代主流科學(xué)的邊界，以至于那位教授覺(jué)得需要把我拉回來(lái)呢？那篇論文的主題，也正是本書(shū)的中心思想，那就是，我們的宇宙是一個(gè)巨大的數(shù)學(xué)對(duì)象。在這一章中，我們將開(kāi)始探索這片神秘的疆域。

生命、宇宙和萬(wàn)物的終極問(wèn)題的答案究竟是什么？道格拉斯·亞當(dāng)斯在科幻小說(shuō)《銀河系漫游指南》中曾這樣追問(wèn)，他給出的答案是42；最困難的部分原來(lái)是找到真正的問(wèn)題。實(shí)際上，我們那些問(wèn)個(gè)不休的祖先們無(wú)疑也問(wèn)過(guò)同樣宏大的問(wèn)題，但隨著他們知識(shí)的增長(zhǎng)，他們對(duì)“萬(wàn)物理論”的追尋在逐漸演化。當(dāng)古希臘人不再寄希望于神話(huà)傳說(shuō)，而是精心建立起太陽(yáng)系的機(jī)械模型時(shí)，從那時(shí)起，他們追問(wèn)的重點(diǎn)就從“為什么”轉(zhuǎn)向了“如何做”。

從那時(shí)起，我們提出的問(wèn)題在某些領(lǐng)域變少了，但在另一些領(lǐng)域卻如雨后春筍般不斷涌現(xiàn)，圖9-1清楚地描繪了這一點(diǎn)。一些問(wèn)題被放棄是因?yàn)樘^(guò)天真或誤入歧途，比如，文藝復(fù)興時(shí)期流行從第一原理來(lái)解釋行星軌道的尺度。同樣的事情可能也會(huì)發(fā)生在目前十分流行的理論上。比如，宇宙中暗能量總量的預(yù)測(cè)值——如果我們最終發(fā)現(xiàn)，周邊區(qū)域的暗能量數(shù)量只是歷史偶然事件的話(huà)，那些預(yù)測(cè)值就必須推倒重來(lái)（我們?cè)诘?章探討過(guò)這個(gè)話(huà)題）。我們回答這些問(wèn)題的能力也早已超過(guò)了祖輩們最大膽的預(yù)期：牛頓如果知道我們能以1%的誤差測(cè)算出宇宙的年齡，還能領(lǐng)悟微觀世界的秘密從而制造出iPhone，那他一定大為驚訝。

我發(fā)現(xiàn)，道格拉斯·亞當(dāng)斯對(duì)數(shù)字“42”的戲謔其實(shí)十分恰當(dāng)。因?yàn)椋谌祟?lèi)取得的種種成就中，數(shù)學(xué)扮演了不可或缺的角色^[47]。宇宙從某種意義上說(shuō)是數(shù)學(xué)的，這種觀念可以追溯到古希臘的畢達(dá)哥拉斯，并在物理學(xué)家和哲學(xué)家的爭(zhēng)論中延續(xù)了千百年。17世紀(jì)時(shí)，伽利略說(shuō)過(guò)一句著名的話(huà)，將我們的宇宙比喻成一本用數(shù)學(xué)語(yǔ)言撰寫(xiě)而成的偉大之書(shū)。而在近代，20世紀(jì)60年代期間，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主尤金·維格納認(rèn)為“自然科學(xué)中的數(shù)學(xué)具有難以解釋的有效性”，是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

形狀、模式與公式

接下來(lái)，我們即將探索一個(gè)真正的終極解釋。不過(guò)首先，我們需要澄清一下我們要解釋的對(duì)象究竟是什么。請(qǐng)放下這本書(shū)，看看四周。我們要談?wù)摰臄?shù)學(xué)公式到底在哪里呢？數(shù)學(xué)難道不就是數(shù)字嗎？你也許會(huì)在某些地方看見(jiàn)一兩個(gè)數(shù)字，比如這本書(shū)的頁(yè)碼，但是，數(shù)字其實(shí)只是人類(lèi)發(fā)明出來(lái)可供印刷和書(shū)寫(xiě)的符號(hào)，所以它們很難深邃地反映宇宙的數(shù)學(xué)性。

由于教育系統(tǒng)的灌輸，許多人把數(shù)學(xué)等同于算術(shù)。然而，數(shù)學(xué)早已演化得大不一樣了，它可以用來(lái)探討諸如物理學(xué)這樣更加精深的問(wèn)題。比如，伽利略曾說(shuō)，幾何圖形（如圓形和三角形）是數(shù)學(xué)化的，那么當(dāng)你環(huán)顧四周時(shí)，你有沒(méi)有看到一些幾何形狀或者模式呢？不過(guò)需要強(qiáng)調(diào)的是，人類(lèi)設(shè)計(jì)的東西不算，比如長(zhǎng)方形的書(shū)籍。但是，請(qǐng)觀察一顆小石子被扔出后的軌跡，大自然為它勾勒出了一條多么美麗的線條！伽利略發(fā)現(xiàn)了一件了不起的事（見(jiàn)圖9-2）：不管你扔出什么東西，它們的軌跡都是一樣的，這條軌跡被稱(chēng)為“下開(kāi)口的拋物線”。此外，拋物線的形狀可以用一個(gè)非常簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式來(lái)描述：y=x²，其中x代表水平位置，y代表垂直位置（也就是高度）。根據(jù)初始速度和方向不同，拋物線可以在水平或垂直方向上任意拉伸，但它永遠(yuǎn)是拋物線。

圖9-2　當(dāng)你向空中拋出某物時(shí)，在它撞到某物之前，其運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀總是完全一樣，即“下開(kāi)口的拋物線”（這里忽略了空氣阻力）。

當(dāng)我們觀察太空中物體的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)重復(fù)出現(xiàn)的形狀——橢圓形（見(jiàn)圖9-3）。方程x²+y²=1描述了一個(gè)正圓形上的點(diǎn)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，橢圓形就是被拉伸的正圓形。根據(jù)初始速度、方向和它所圍繞的物體質(zhì)量的不同，軌道的形狀也會(huì)發(fā)生變化，或被拉伸，或被傾斜，但它永遠(yuǎn)是橢圓形。此外，橢圓形和拋物線這兩種形狀還有聯(lián)系：每個(gè)被拉伸的橢圓形的一端與某個(gè)拋物線都幾乎完全相同，所以實(shí)際上，所有的運(yùn)動(dòng)軌跡都是橢圓形的一部分^[48]。

圖9-3　當(dāng)一個(gè)物體因?yàn)槿f(wàn)有引力而繞著另一個(gè)物體旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的軌跡永遠(yuǎn)擁有相同的形狀——橢圓形。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，橢圓形就是將圓形在某一個(gè)方向上進(jìn)行拉伸（這里不考慮摩擦力，也忽略了愛(ài)因斯坦對(duì)牛頓引力理論的修正，因?yàn)樵撔?yīng)極其微小，除非靠近一個(gè)黑洞）。物體可能千差萬(wàn)別，但它們的軌跡都是橢圓形。比如，一顆彗星繞著太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)（左圖），一顆白矮星的殘骸圍繞著夜空中最亮的天狼星A旋轉(zhuǎn)（中圖），一顆恒星繞著銀河系中心的超級(jí)黑洞旋轉(zhuǎn)（右圖），這顆黑洞的質(zhì)量比我們的太陽(yáng)大400萬(wàn)倍。（圖片來(lái)源：右圖由萊因哈德·甘澤爾[Reinhard Genzel]和萊納·薛德?tīng)朳Rainer Sch del]提供）

在歷史的長(zhǎng)河中，人類(lèi)又漸漸在自然界中發(fā)現(xiàn)了更多重復(fù)出現(xiàn)的形狀和模式，不僅涉及運(yùn)動(dòng)和引力，還涉及許多不同的領(lǐng)域，比如電、磁、光、熱、化學(xué)、放射性和亞原子等。我們對(duì)這些模式的總結(jié)被稱(chēng)為“物理定律”。就像橢圓形的軌跡一樣，所有定律都可以用數(shù)學(xué)公式來(lái)描述（見(jiàn)圖9-4）。這是為什么呢？

數(shù)字，物理實(shí)在的基本性質(zhì)

公式并不是大自然由數(shù)學(xué)構(gòu)成的唯一線索——還有數(shù)字。與人類(lèi)造物中的數(shù)字（比如本書(shū)的總頁(yè)數(shù)）不同，我所談?wù)摰臄?shù)字是指物理實(shí)在的某些基本性質(zhì)。比如，拿出幾支鉛筆，把它們兩兩垂直（也就是相互成90°）地?cái)[在一起，總共能擺出幾支鉛筆？答案是3支。比如，你可以把它們擺放在你房間的一個(gè)角上。那么，3這個(gè)數(shù)字從何而來(lái)呢？我們把這個(gè)數(shù)字叫作我們空間的維度。

圖9-4　正如詩(shī)歌和藝術(shù)作品能從少數(shù)符號(hào)中表達(dá)出深刻的內(nèi)涵一樣，物理學(xué)公式也同樣如此。從左到右，從上到下，這些杰作描述了電磁學(xué)、近光速運(yùn)動(dòng)、引力、量子力學(xué)和膨脹宇宙。我們尚未找到一個(gè)可以描繪萬(wàn)物的統(tǒng)一方程。

可是，為什么維度是3，而不是2或者42呢？為什么在我們的宇宙中總共有6種夸克（至少目前來(lái)看）？我們?cè)诘?章看到，還有一些額外的整數(shù)，構(gòu)筑入了大自然的本質(zhì)，描述了基本粒子的種類(lèi)。

這還不夠。在大自然的內(nèi)核中，還有許多非整數(shù)，需要小數(shù)點(diǎn)才能寫(xiě)出來(lái)。我最近數(shù)了一下，大自然內(nèi)部總共編碼了32種基本數(shù)字。你站在體重秤上顯示的數(shù)字算嗎？不算。因?yàn)樗鼫y(cè)量的是一個(gè)每天都在變化的東西（你的質(zhì)量），所以它不能代表宇宙的基本性質(zhì)。那么，質(zhì)子的質(zhì)量（1.672 622×10^-27kg）算嗎？電子的質(zhì)量（9.109 382×10^-31kg）呢？這兩個(gè)數(shù)字看起來(lái)完全不隨時(shí)間變化。但是，它們也不算，因?yàn)樗鼈兪怯们Э藬?shù)來(lái)測(cè)量的，而千克只是人類(lèi)隨意杜撰出來(lái)的一個(gè)質(zhì)量單位。但是，如果你用這兩個(gè)數(shù)中的其中一個(gè)去除另一個(gè)，你就會(huì)得到一個(gè)真正基本的數(shù)字——質(zhì)子質(zhì)量是電子質(zhì)量的1 836.152 67倍^[49]。1 836.152 67是一個(gè)純數(shù)，就像π和一樣，因?yàn)樗鼈兌疾簧婕叭祟?lèi)創(chuàng)造的各種量綱（如千克、米、秒或伏特）。為什么它會(huì)如此接近1 836？為什么不是2 013或者42？我們并不知道個(gè)中緣由。但我們認(rèn)為，我們從理論上可以計(jì)算出這個(gè)數(shù)字，也可以從表9-1中列出的32個(gè)數(shù)字中，計(jì)算出大自然的其他基本常數(shù)。

表9-1　大自然中32個(gè)基本參數(shù)

注：人類(lèi)曾測(cè)量過(guò)的大自然的每個(gè)基本性質(zhì)都能從表中的32個(gè)數(shù)中計(jì)算出來(lái)——至少理論上可以。其中一些數(shù)的測(cè)量值已經(jīng)非常精確，還有一些尚未在實(shí)驗(yàn)中得到。這些數(shù)字的具體含義與我們的討論無(wú)關(guān)。可是，到底是什么決定了這些數(shù)字呢？

表9-1中所列數(shù)字的具體含義可以從作者的一篇論文中找到答案。掃碼獲取作者的這篇論文。

表9-1中的數(shù)字都有著嚇人的名字，不用擔(dān)心，這與我們要討論的事情沒(méi)有關(guān)系。我想強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，從中可以看出，我們的宇宙有著某些非常數(shù)學(xué)化的性質(zhì)。我們看得越仔細(xì)，就越能發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)。關(guān)于自然界的常數(shù)，綜觀物理學(xué)的每個(gè)領(lǐng)域，可以得到成百上千個(gè)純數(shù)，從基本粒子質(zhì)量的比值，到不同分子發(fā)出的光波長(zhǎng)的比值等。運(yùn)用強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)來(lái)求解那些描述自然規(guī)律的方程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，似乎每一個(gè)數(shù)都可以從表9-1的32個(gè)數(shù)字中計(jì)算出來(lái)。有一些計(jì)算和測(cè)量太過(guò)復(fù)雜，目前還沒(méi)有人能完成。也許到它們完成之時(shí)，一些小數(shù)并不能在理論與實(shí)踐之間完美地吻合。這樣的矛盾在過(guò)去發(fā)生過(guò)無(wú)數(shù)次，解決的途徑一般有三種：

●有人發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)出錯(cuò)了。

●有人發(fā)現(xiàn)計(jì)算出錯(cuò)了。

●有人發(fā)現(xiàn)物理定律出錯(cuò)了。

在第三種情況下，人們通常會(huì)摒棄之前的定律，從而發(fā)現(xiàn)一個(gè)更加基本的物理定律，就像愛(ài)因斯坦的理論取代了牛頓的引力方程，并解釋了水星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡并不是完美的橢圓形一樣。不管是哪種情況，都進(jìn)一步加深了“自然界一定有什么東西是數(shù)學(xué)化的”這一印象。

現(xiàn)在，表9-1中總共有32個(gè)參數(shù)。在未來(lái)，如果你發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更加精確的物理定律，那么，表9-1中的參數(shù)數(shù)量可能會(huì)減少，也可能會(huì)增加。如果根據(jù)你的物理定律，其中某些數(shù)字可以由其他數(shù)字計(jì)算出來(lái)，那參數(shù)數(shù)量就可能減少。但如果日內(nèi)瓦的大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)發(fā)現(xiàn)了某些新粒子，那它的質(zhì)量也可能為表9-1增添一些新成員。

更多線索：上帝是數(shù)學(xué)家嗎

那么，通過(guò)物理世界的數(shù)學(xué)線索，我們了解了什么呢？大多數(shù)物理學(xué)家都認(rèn)為，這意味著，出于某種原因，大自然可以由數(shù)學(xué)來(lái)描述（至少近似的），僅此而已。天體物理學(xué)家馬里奧·利維奧（Mario Livio）在他的著作《上帝是數(shù)學(xué)家嗎？》（Is God a Mathematician?）k中總結(jié)道：“科學(xué)家們選擇了那些可用數(shù)學(xué)方法檢驗(yàn)的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行研究。”但是，我相信一切不止于此。

首先，為什么數(shù)學(xué)可以如此完美地描述大自然？我贊同維格納，認(rèn)為這需要一個(gè)解釋。其次，縱觀本書(shū)，我們已經(jīng)遇到了許多線索，暗示著大自然不僅能用數(shù)學(xué)來(lái)描述，它本身的某些方面就是數(shù)學(xué)。

●在第1章，我們看到了物理世界的基本結(jié)構(gòu)——空間自身。從內(nèi)稟性質(zhì)的意義上說(shuō)，空間是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)對(duì)象，因?yàn)樗ㄒ坏膬?nèi)稟性質(zhì)就是數(shù)學(xué)性質(zhì)——數(shù)字，比如維度、曲率和拓?fù)湫浴?/p>

●在第6章，我們看到了物理世界的所有“物體”都是由基本粒子構(gòu)成的。從內(nèi)稟性質(zhì)的意義上說(shuō)，基本粒子也是純粹的數(shù)學(xué)對(duì)象，因?yàn)樗鼈兾ㄒ坏膬?nèi)稟性質(zhì)都是數(shù)學(xué)性質(zhì)，即表6-2所列出的那些數(shù)字，比如電荷、自旋和輕子數(shù)。

●在第7章中，我們看到了某種尚有爭(zhēng)議的，比三維空間及其內(nèi)部的基本粒子更加基本的東西——波函數(shù)及其棲身的無(wú)限維度的希爾伯特空間。粒子可以被創(chuàng)生，也可以被消亡，還可以同時(shí)處在幾個(gè)不同的位置。但是，不管過(guò)去、現(xiàn)在還是將來(lái)，波函數(shù)都只有一個(gè)，它在希爾伯特空間中循著薛定諤方程決定的路徑運(yùn)動(dòng)著，而波函數(shù)和希爾伯特空間都是純粹的數(shù)學(xué)對(duì)象。

這一切都意味著什么？現(xiàn)在，請(qǐng)聽(tīng)聽(tīng)我的想法。我的理論是否比那位警告我前途將毀的教授更有說(shuō)服力呢？留給你自己來(lái)判斷。

在研究生期間，我深深著迷于這些數(shù)學(xué)線索。1990年的一個(gè)夜晚，在加州大學(xué)伯克利分校，我和好友比爾·波里爾（Bill Poirier）正坐著聊天，探討著實(shí)在的終極性質(zhì)。突然間，我腦中冒出一個(gè)想法：從某種意義上說(shuō)，我們的實(shí)在并不只是被數(shù)學(xué)所描述，它本身就是數(shù)學(xué)。并且，它不僅某些方面是數(shù)學(xué)，它的全部都是數(shù)學(xué)，包括你在內(nèi)^[50]。這個(gè)想法聽(tīng)起來(lái)十分瘋狂，有些勉強(qiáng)。在我把這個(gè)想法告訴比爾之后，就像小火燉肉一樣醞釀了好多年，我才寫(xiě)下了與之有關(guān)的第一篇論文。

外部實(shí)在假說(shuō)

存在著一個(gè)完全獨(dú)立于人類(lèi)的外部物理實(shí)在。

在探討細(xì)節(jié)之前，我先向你介紹一下我的邏輯框架。首先，有兩個(gè)假說(shuō)，其中一個(gè)聽(tīng)起來(lái)無(wú)傷大雅，另一個(gè)則似乎很激進(jìn)。然后，我的論證是：從“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”充分廣義的定義上來(lái)說(shuō)，前者能推出后者。

數(shù)學(xué)宇宙假說(shuō)

我們的外部物理實(shí)在是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

我的第一個(gè)“外部實(shí)在假說(shuō)”爭(zhēng)議并不大。大多數(shù)物理學(xué)家都贊成這個(gè)由來(lái)已久的觀念，盡管它仍有爭(zhēng)議。形而上的唯我論者會(huì)竭盡全力地否定它；哥本哈根詮釋的支持者也拒絕這個(gè)假說(shuō)，他們認(rèn)為實(shí)在不能獨(dú)立于觀察存在，沒(méi)有觀察就沒(méi)有實(shí)在。假設(shè)真的存在一個(gè)外部實(shí)在，物理學(xué)理論理應(yīng)盡可能全面地描述它。而我們最成功的理論，比如廣義相對(duì)論和量子力學(xué)都只能描述實(shí)在的一部分——引力或亞原子粒子的行為。然而，理論物理學(xué)界競(jìng)相追逐的圣杯就是一個(gè)“萬(wàn)物理論”——對(duì)物理實(shí)在的完整描述。

減輕人造包袱，回歸純粹

我個(gè)人對(duì)萬(wàn)物理論的追尋始于一個(gè)極端的觀點(diǎn)：如果我們假設(shè)，實(shí)在的存在是獨(dú)立于人類(lèi)之外的，那么，為了進(jìn)行完整的描述，它必須還能被那些完全不理解人類(lèi)概念的非人實(shí)體很好地定義，比如外星人、超級(jí)計(jì)算機(jī)等。換句話(huà)說(shuō)，這種描述可以用某種形式來(lái)表達(dá)，而這種形式不能是人類(lèi)創(chuàng)造的“包袱”，比如不能有“粒子”“觀察”等人類(lèi)創(chuàng)造的詞語(yǔ)。

然而，我在大學(xué)里教的所有物理理論都由兩個(gè)部分組成：數(shù)學(xué)公式和“包袱”——“包袱”指的是那些用來(lái)解釋的語(yǔ)句，描述公式如何與我們的觀察和直觀理解相聯(lián)系。當(dāng)我們對(duì)理論進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，會(huì)為它們引入新的概念和詞語(yǔ)，比如“質(zhì)子”“原子”“分子”“細(xì)胞”“恒星”，因?yàn)檫@很便利。但是我們必須牢記，這些詞語(yǔ)只是人類(lèi)創(chuàng)造出來(lái)的概念。從本質(zhì)上說(shuō)，萬(wàn)物在去掉“包袱”后依然是可計(jì)算的。一臺(tái)假想的理想超級(jí)計(jì)算機(jī)能在忽略人類(lèi)的基礎(chǔ)上，計(jì)算出我們的宇宙隨時(shí)間如何變化，它只用簡(jiǎn)單計(jì)算出所有粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或者波函數(shù)的變化趨勢(shì)。

比如，假設(shè)圖9-2中的籃球軌跡是一記優(yōu)美的絕殺，注定你將贏得這場(chǎng)比賽。賽后，你想向朋友描述它的樣子。由于籃球是由基本粒子（夸克和電子）組成的，本質(zhì)上說(shuō)，你描述它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)可以絲毫不用提及“籃球”。比如，你可以像下面這樣說(shuō)：

●第1個(gè)粒子以?huà)佄锞€運(yùn)動(dòng)。

●第2個(gè)粒子以?huà)佄锞€運(yùn)動(dòng)。

●……

●第138 314 159 265 358 979 323 846 264個(gè)粒子以?huà)佄锞€運(yùn)動(dòng)。

不過(guò)，這稍微有點(diǎn)不方便，因?yàn)檎f(shuō)完所有的粒子需要花上比宇宙年齡還長(zhǎng)的時(shí)間。而且，這么做也很多余，因?yàn)樗辛Ｗ佣拣じ皆谝黄?，以一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)。所以人類(lèi)發(fā)明了一個(gè)詞叫“籃球”來(lái)指代這個(gè)整體，讓我們可以一次性描述整體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，節(jié)省了大量的時(shí)間。

籃球是人類(lèi)設(shè)計(jì)出來(lái)的，但它也與許多非人造的自然物體（比如分子、石頭和恒星）有很多相似之處。人類(lèi)發(fā)明詞語(yǔ)是為了便利，這體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是節(jié)省時(shí)間，二是提供概念或所謂的簡(jiǎn)化符號(hào)，以便能更直觀地理解這個(gè)世界。盡管這些詞語(yǔ)很有用，但它們都是可扔掉的“包袱”。比如，我在本書(shū)中多次使用“恒星”這個(gè)詞，但從本質(zhì)上說(shuō)，每次這個(gè)詞出現(xiàn)時(shí)，你都可以將其替換成它的組成定義，比如你可以把“恒星”替換為“由萬(wàn)有引力束縛的一堆物質(zhì)，包含10⁵⁷個(gè)原子，其中一些原子正在進(jìn)行核聚變”。也就是說(shuō)，自然界中有許多實(shí)體都需要命名。當(dāng)然，地球上幾乎每個(gè)人類(lèi)文明在自己的語(yǔ)言中都有一個(gè)與“恒星”對(duì)應(yīng)的詞，這個(gè)詞是獨(dú)立發(fā)明出來(lái)的，反映出自身的文化和語(yǔ)言傳統(tǒng)。我猜，大多數(shù)居住在遙遠(yuǎn)恒星系的外星文明一定也發(fā)明出了代表“恒星”的名字或符號(hào)，即便他們根本不使用聲音作為交流手段。

還有一個(gè)驚人的事實(shí)是，你可以在數(shù)學(xué)上預(yù)言這些值得命名的實(shí)體的存在，只要你知道支配它們各個(gè)部件的公式。換句話(huà)說(shuō)，第6章中討論過(guò)的樂(lè)高積木般的金字塔結(jié)構(gòu)——從基本粒子到原子和分子，都是可預(yù)測(cè)的，我們?nèi)祟?lèi)所做的事情只是給每層中的物體起一個(gè)吸人眼球的名字。

比如，如果你用5個(gè)或更少的夸克求解出了薛定諤方程，并發(fā)現(xiàn)只有兩種穩(wěn)定的排列方式——2個(gè)上夸克和1個(gè)下夸克組成一團(tuán)，或者2個(gè)下夸克和1個(gè)上夸克組成一團(tuán)，于是為了方便起見(jiàn)，人類(lèi)就給這兩種團(tuán)簇物質(zhì)添加了“包袱”，將它們分別命名為“質(zhì)子”和“中子”。同樣，如果你把薛定諤方程代入這些團(tuán)簇中，你會(huì)發(fā)現(xiàn)總共257種穩(wěn)定的聚集方式。人類(lèi)也為其添加了“包袱”，把這些質(zhì)子/中子的聚集團(tuán)統(tǒng)稱(chēng)為“原子核”，并給每種團(tuán)簇都起了名字：氫、氦……薛定諤方程還可以讓你計(jì)算出如何把原子組裝成更大的物體，不過(guò)這一次，穩(wěn)定的狀態(tài)非常之多，如果要全部命名會(huì)很不方便——于是，我們只命名了那些重要的級(jí)別（比如“分子”“晶體”）以及每個(gè)級(jí)別中最常見(jiàn)或最有趣的物體（比如“水”“石墨”“鉆石”）。

我認(rèn)為，這些復(fù)合物體是自然顯現(xiàn)出來(lái)的，因?yàn)樗鼈冏鳛槟承┓匠痰慕怙@現(xiàn)出來(lái)，而這些方程中只包含更加基本的物體。這種顯現(xiàn)過(guò)程十分微妙，很容易被忽略，因?yàn)閺臍v史的角度看，科學(xué)進(jìn)展通常是沿相反的順序發(fā)生的。比如，人類(lèi)知道太陽(yáng)的存在后，才意識(shí)到它們是由原子組成的；我們知道原子的存在后，才發(fā)現(xiàn)它們是由電子、質(zhì)子和中子組成的；我們知道中子的存在后，才發(fā)現(xiàn)它們是由夸克組成的。每一個(gè)對(duì)人類(lèi)而言十分重要的顯現(xiàn)之物，我們都用新概念為其創(chuàng)造出了新的“包袱”。

圖9-5中可以看到同樣的“人造包袱”的浮現(xiàn)過(guò)程。這里，我繪制了一幅粗糙的圖畫(huà)，將科學(xué)理論組織成一張譜系圖，其中的每一個(gè)理論從本質(zhì)上說(shuō)都能從更加基本的理論中推演而出。正如我們之前所提到的那樣，每個(gè)理論都包含兩部分——數(shù)學(xué)部分和文字部分，后者用以解釋它們是如何與我們的觀察相聯(lián)系的。比如，我們?cè)诘?章中看到了量子力學(xué)在教科書(shū)中的兩部分：數(shù)學(xué)部分（比如薛定諤方程）以及用平實(shí)的語(yǔ)言寫(xiě)就的基本假定（比如波函數(shù)坍縮的假設(shè)）。理論金字塔中的每一層都引入了新概念（比如“質(zhì)子”“原子”“細(xì)胞”“生物”“文化”），因?yàn)樗鼈兪褂闷饋?lái)很方便，抓住了本質(zhì)，而不用再求助于上層更基本的理論。人類(lèi)為它們引入了概念和文字——從本質(zhì)上說(shuō)，萬(wàn)物都可以從譜系圖最頂端的基本原理推演出來(lái)，盡管從實(shí)踐來(lái)說(shuō)，這種極端的還原論方法通常并沒(méi)有什么用。大致來(lái)說(shuō)，沿著譜系圖向下移動(dòng)，文字部分會(huì)越來(lái)越冗長(zhǎng)，而方程的數(shù)量則會(huì)不斷減少，在某些高度應(yīng)用化的領(lǐng)域（如醫(yī)藥學(xué)和社會(huì)學(xué)），方程的數(shù)量甚至?xí)禐榱恪?/span>相比之下，靠近頂端的理論都是高度數(shù)學(xué)化的，物理學(xué)家們?nèi)栽诳嗫嘧穼?，試圖以我們可以讀懂的形式來(lái)理解那些概念——如果有的話(huà)。

物理學(xué)的圣杯就是找到那個(gè)被打趣地稱(chēng)為“萬(wàn)物理論”的東西。萬(wàn)物理論又被稱(chēng)為T(mén)oE（Theory of Everything），從它可以推知一切——它將取代譜系圖頂端大大的問(wèn)號(hào)。第6章中我們?cè)懻撨^(guò)，我們知道某處缺失了一環(huán)——能將萬(wàn)有引力和量子力學(xué)統(tǒng)一起來(lái)的環(huán)節(jié)。而這個(gè)萬(wàn)物理論則可以完整地描述外部實(shí)在假說(shuō)所假定的外部物理實(shí)在。在本節(jié)開(kāi)頭，我曾聲稱(chēng)這樣的完整描述必須剔除人類(lèi)創(chuàng)造的“包袱”。這意味著它將不包含任何概念！也就是說(shuō)它是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)理論，不需要任何像量子力學(xué)教科書(shū)那樣的解釋或“假定”（數(shù)學(xué)家們完全可以研究那些缺乏任何內(nèi)稟含義，或與物理概念毫無(wú)關(guān)聯(lián)的抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——他們也常引以為傲）。

圖9-5　所有的理論組織起來(lái)，都可以放入上面這個(gè)譜系圖中。從理論上說(shuō)，本圖中每個(gè)理論都可以由在它之上的更加基本的理論推演出來(lái)。比如，狹義相對(duì)論可以由廣義相對(duì)論近似地推出（假設(shè)牛頓萬(wàn)有引力常數(shù)G等于0）；經(jīng)典力學(xué)可以由廣義相對(duì)論近似地推出（假設(shè)光速c為無(wú)限大）；流體力學(xué)及其各種概念如密度和壓力，可以由經(jīng)典力學(xué)中關(guān)于粒子如何相撞的理論推出。這些推演關(guān)系在圖中用箭頭符號(hào)來(lái)表示。然而，只有少部分箭頭能被人們很好地理解。比如，要從化學(xué)推出生物學(xué)或從生物學(xué)推出心理學(xué)，在實(shí)踐中很難實(shí)現(xiàn)。因?yàn)檫@些理論中，只有少部分和近似計(jì)算的某些方面是數(shù)學(xué)化的。目前物理學(xué)中發(fā)現(xiàn)的所有數(shù)學(xué)模型似乎都是對(duì)物理實(shí)在的有限方面的近似模擬。

當(dāng)然了，一位極其聰明的數(shù)學(xué)家一定可以?xún)H從這些公式就推知圖9-5中的整個(gè)理論譜系圖，只要通過(guò)推演出公式所描述的物理實(shí)在及其內(nèi)部居民的性質(zhì)、居民對(duì)世界的認(rèn)知，甚至他們發(fā)明的語(yǔ)言，就可以實(shí)現(xiàn)。這個(gè)純粹的萬(wàn)物數(shù)學(xué)理論可能非常簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單到足以印在T恤衫上。

這一切引出了一個(gè)問(wèn)題：是否真能找到一個(gè)不涉及任何“包袱”的外部實(shí)在的完整描述？如果有，這個(gè)外部實(shí)在中的物體及其相互關(guān)系的描述必須是完全抽象的，迫使所有語(yǔ)言和符號(hào)都只是標(biāo)簽，不具備任何事先規(guī)定的意義。相比之下，這些實(shí)體僅有的性質(zhì)都是由它們之間的關(guān)系所呈現(xiàn)出來(lái)的。

萬(wàn)物理論描述的外部實(shí)在，正是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

要回答上述問(wèn)題，我們需要再進(jìn)一步研究一下數(shù)學(xué)。對(duì)一個(gè)現(xiàn)代邏輯學(xué)家來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的精確定義是：一組相互聯(lián)系的抽象實(shí)體，比如整數(shù)或幾何圖形，比如畢達(dá)哥拉斯最喜歡的十二面體。這與我們大多數(shù)人對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知形成了鮮明的對(duì)比——在許多人看來(lái)，數(shù)學(xué)要么是一種虐待狂式的懲罰，要么是一個(gè)操控?cái)?shù)字的魔法袋子。與物理學(xué)一樣，數(shù)學(xué)的發(fā)展也追問(wèn)著更廣泛的問(wèn)題。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的是純抽象方式定義的結(jié)構(gòu)，無(wú)須任何“人造包袱”。想想那些不具任何內(nèi)稟意義、僅作為標(biāo)簽的數(shù)學(xué)符號(hào)吧！你寫(xiě)成任何形式都沒(méi)有關(guān)系：“2加2等于4”“2+2=4”“Dos más dos es igual a cuatro”^[51]。用什么符號(hào)來(lái)代表這些實(shí)體及其相互關(guān)系，是無(wú)關(guān)緊要的。整數(shù)僅有的性質(zhì)是由它們之間的關(guān)系所呈現(xiàn)出來(lái)的。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)并不是人類(lèi)發(fā)明出來(lái)的——我們只是發(fā)現(xiàn)了它們，并發(fā)明了用來(lái)描述它們的符號(hào)。千萬(wàn)不要混淆（我們發(fā)明的）數(shù)學(xué)語(yǔ)言和（我們發(fā)現(xiàn)的）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如果一個(gè)外星文明對(duì)每面平坦且全等的三維形狀感興趣，他們可能會(huì)發(fā)現(xiàn)圖6-2中的5個(gè)被地球人叫作“柏拉圖多面體”的形狀。他們可以為它們隨意起一些具有異“星”風(fēng)情的名字，但是他們卻無(wú)法任意創(chuàng)造出第6個(gè)形狀——因?yàn)樗静淮嬖?。正因如此，現(xiàn)代物理學(xué)中流行的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從3+1維的偽黎曼流形（pseudo-Riemannian manifolds）到希爾伯特空間，都是被我們發(fā)現(xiàn)而非發(fā)明出來(lái)的。

總而言之，上面的討論可以總結(jié)為以下兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

●外部實(shí)在假說(shuō)意味著，“萬(wàn)物理論”（外部物理實(shí)在的完整描述）沒(méi)有任何“包袱”。

●一個(gè)不帶任何“包袱”的描述，正是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

這兩條關(guān)鍵點(diǎn)恰恰證明了數(shù)學(xué)宇宙假說(shuō)，即被萬(wàn)物理論所描述的外部物理實(shí)在，就是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)^[52]。結(jié)果就是，如果你相信我們的外部實(shí)在是獨(dú)立于人類(lèi)存在的，那么你也必須相信我們的物理實(shí)在是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。只有它才是不含“包袱”的。也就是說(shuō)，我們都棲身在一個(gè)巨大的數(shù)學(xué)對(duì)象中，它比正十二面體還要精致優(yōu)雅，可能比卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifolds）、張量叢（tensor bundles）和希爾伯特空間等擁有嚇人專(zhuān)業(yè)名字的最前沿物理學(xué)概念更加錯(cuò)綜復(fù)雜。我們宇宙中的萬(wàn)事萬(wàn)物，都是純粹的數(shù)學(xué)——包括你在內(nèi)。

“等一等！”每當(dāng)一個(gè)物理學(xué)理論或主張?zhí)岢鲆恍┴酱鉀Q的問(wèn)題時(shí)，我的好友賈斯汀·本迪斯就會(huì)這樣喊道。而數(shù)學(xué)宇宙假說(shuō)則提出了三個(gè)此類(lèi)問(wèn)題：

●到底什么是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？

●為何我們的物理世界是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？

●它是否能作出一些可供檢驗(yàn)的預(yù)測(cè)？

我們將在第10章和第11章分別探討第二個(gè)和第三個(gè)問(wèn)題?，F(xiàn)在，讓我們開(kāi)始探索第一個(gè)問(wèn)題——第11章中，我們將回到這個(gè)問(wèn)題，進(jìn)行更詳細(xì)的討論。

“不朽對(duì)局”的棋局

前面我們看到了人類(lèi)如何為我們的描述添加上各種“包袱”?，F(xiàn)在，讓我們來(lái)看看對(duì)立面——數(shù)學(xué)抽象如何能消除“包袱”，剝離至萬(wàn)物赤裸的本質(zhì)。我們先來(lái)看看那個(gè)被稱(chēng)為“不朽對(duì)局”（Immortal Game）的棋局（見(jiàn)圖9-6）。對(duì)局中，白棋引人注目地犧牲了兩個(gè)車(chē)、一個(gè)象和一個(gè)后，用剩下的最后3個(gè)輕子完成了將死。這個(gè)對(duì)局最早于1851年出現(xiàn)在阿道夫·安德森（Adolf Anderssen）與萊昂內(nèi)爾·吉塞芮茨基（Lionel Kieseritzky）的對(duì)弈中。每年，同樣的棋局都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)在意大利的馬羅斯蒂卡（Marostica），世界各地的象棋愛(ài)好者會(huì)涌至此地，重復(fù)這個(gè)對(duì)局，有的棋手還會(huì)裝扮成棋子的樣子。一些棋手（包括我弟弟佩爾、他兒子西蒙和我兒子亞歷山大，圖9-6左一）會(huì)使用木頭做的棋子；還有一些人會(huì)用大理石或塑料做成不同形狀和大小的棋子，棋盤(pán)有的是棕色和米黃色相間，有的是黑白相間；還有一些則是虛擬的三維或二維計(jì)算機(jī)圖像（圖9-6右一）。但是你會(huì)覺(jué)得，這些細(xì)節(jié)都不重要——當(dāng)棋迷們用“美麗”這個(gè)詞來(lái)形容不朽對(duì)局時(shí)，他們并不是指棋手、棋盤(pán)和棋子具有吸引力，而是指一個(gè)更抽象的實(shí)體，一場(chǎng)抽象的比賽，或者說(shuō)是棋子運(yùn)動(dòng)的序列。

圖9-6　一場(chǎng)抽象的象棋比賽與棋子的顏色和形狀無(wú)關(guān)，也與棋子是在物理存在的棋盤(pán)還是虛擬的計(jì)算機(jī)渲染圖像上運(yùn)動(dòng)，或是所謂的代數(shù)記譜法上運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)——它都是同一場(chǎng)棋局。類(lèi)似地，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也與描述它的符號(hào)無(wú)關(guān)。

現(xiàn)在，讓我們來(lái)看看人類(lèi)是如何描述這些抽象實(shí)體的。首先，一段描述必須明確而具體，所以我們發(fā)明了客體、語(yǔ)言或其他符號(hào)來(lái)表示抽象的思想，比如，在美國(guó)，我們把可斜著走的棋子叫作“主教”（bishop）。其次，這個(gè)名字顯然是很隨意的，換個(gè)名字也無(wú)妨——實(shí)際上，法國(guó)人管這個(gè)棋子叫作“小丑”（fou），斯洛伐克人稱(chēng)之為“射手”（strelec），瑞典人稱(chēng)之為“跑者”（l pare），而波斯語(yǔ)稱(chēng)之為“象”（fil）。然而，我們可以引入一個(gè)強(qiáng)大的武器，將這些不同的稱(chēng)謂統(tǒng)一起來(lái)，讓不朽對(duì)局保持獨(dú)一無(wú)二的特性。這個(gè)武器就叫作“等價(jià)”。

●我們將同一個(gè)事物的兩個(gè)不同描述定義為“等價(jià)”。

●如果兩個(gè)描述是等價(jià)的，則它們描述的是同一個(gè)事物。

比如，我們都一致認(rèn)同，如果兩個(gè)對(duì)棋子位置的描述的不同點(diǎn)僅在于棋子的大小，或棋手母語(yǔ)對(duì)它的不同稱(chēng)謂，那這兩個(gè)描述就是等價(jià)的。

等價(jià)

如果兩個(gè)描述之間存在一個(gè)保留了所有關(guān)系的對(duì)應(yīng)性，那么這兩個(gè)描述就是等價(jià)的。

所有的語(yǔ)言、概念或符號(hào)，如果它們只出現(xiàn)在某些而非全部等價(jià)描述中，那么很顯然，它們就是可有可無(wú)的，因此都是“包袱”。那么，如果我們想要深入至不朽對(duì)局的真正本質(zhì)，到底要?jiǎng)冸x掉多少“包袱”呢？很顯然，答案是許多。因?yàn)橛?jì)算機(jī)在下棋時(shí)可以不涉及任何人類(lèi)的語(yǔ)言和概念（如顏色、材質(zhì)、大小和棋子的名字）。要完全理解我們到底可以走多遠(yuǎn)，需要先對(duì)“等價(jià)”下一個(gè)嚴(yán)格的定義。

象棋涉及抽象的實(shí)體（不同的棋子和棋盤(pán)上不同的方格）以及它們之間的關(guān)系。比如，棋子與方格的一種關(guān)系是前者在后者之上。還有一種關(guān)系是，棋子允許移動(dòng)到某個(gè)方格。比如，在我們的定義中，圖9-6中間的兩幅圖是等價(jià)的：三維的棋子棋盤(pán)和二維的棋子棋盤(pán)之間存在一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，不管三維的棋子位于哪個(gè)方格中，在二維棋盤(pán)中都能找到一個(gè)對(duì)應(yīng)的棋子位于對(duì)應(yīng)的方格中。同樣，對(duì)棋子位置的純英文描述與純西班牙文描述是等價(jià)的——只要你有一本英文和西班牙文相對(duì)應(yīng)的詞典，你就可以將西班牙文的描述翻譯成英文的描述。

當(dāng)報(bào)紙和網(wǎng)站在介紹棋局時(shí)，通常會(huì)采用另一種等價(jià)描述即所謂的“代數(shù)記譜法”（algebraic cless notation，見(jiàn)圖9-6右一）。這種形式中，棋子并不是以文字或物體的形式呈現(xiàn)的，而是用單個(gè)字母（比如，象用B）來(lái)表示，而方格用一個(gè)代表列的字母和一個(gè)代表行的數(shù)字來(lái)表示。由于圖9-6右圖中對(duì)棋局的抽象描述與一段在實(shí)體棋盤(pán)上下棋的視頻是等價(jià)的，所以，在后者中，所有不包含在前者中的描述都只是“包袱”——從棋盤(pán)的物理實(shí)體到棋子的形狀、顏色的名稱(chēng)。甚至代數(shù)記譜法的特性也是“包袱”——當(dāng)計(jì)算機(jī)下棋時(shí)，它們采用的是另一種抽象描述來(lái)代表棋子的位置，只涉及內(nèi)存中0和1組成的特定模式。那么，當(dāng)你剝離所有的“包袱”，還剩下什么呢？這些等價(jià)描述究竟在描述些什么呢？不朽對(duì)局本身，100%純凈，不含任何“添加劑”。

包袱與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

我們對(duì)抽象的棋子、棋盤(pán)及其相互關(guān)系的研究，是一個(gè)更廣泛的概念的例子，即數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這是現(xiàn)代數(shù)理邏輯中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)概念。我將在第11章給出一個(gè)更技術(shù)性的描述，但是現(xiàn)在，我們只需要這個(gè)非技術(shù)性定義就夠了：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是指一組相互關(guān)聯(lián)的抽象實(shí)體。

要理解它的含義，讓我們來(lái)看幾個(gè)例子。圖9-7左圖是一個(gè)擁有4個(gè)實(shí)體的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其中一些實(shí)體的關(guān)系是“喜歡”。在圖中，名叫“菲利普”的實(shí)體用一張圖片來(lái)代表，這張圖片擁有許多內(nèi)稟性質(zhì)，比如棕色頭發(fā)等。相比之下，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的實(shí)體是純粹抽象的，這意味著它們并不具有任何內(nèi)稟性質(zhì)。也就是說(shuō)，不管我們用什么符號(hào)來(lái)代表這些實(shí)體，都只是標(biāo)簽，而標(biāo)簽的性質(zhì)無(wú)關(guān)緊要——為了避免將符號(hào)的性質(zhì)賦予它們所代表的抽象實(shí)體，讓我們把圖片簡(jiǎn)化一下，得到中間的那張圖。中圖與左圖是等價(jià)的，因?yàn)椋绻憬⒁粋€(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系的“詞典”，即菲利普=1，亞歷山大=2，滑雪=3，滑冰=4，喜歡=R，那么所有的關(guān)系都保留下來(lái)了。比如，“亞歷山大喜歡滑冰”被翻譯為“2 R 4”，這個(gè)關(guān)系在中圖中同樣成立。

圖9-7　同一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的三個(gè)等價(jià)描述，數(shù)學(xué)家會(huì)稱(chēng)其為“4個(gè)元素的有序圖”。每個(gè)描述中都包含一些任意的“包袱”，但是它們所描述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)卻是100%無(wú)“包袱”的：它的4個(gè)實(shí)體沒(méi)有任何性質(zhì)，除了它們之間的關(guān)系，而這些關(guān)系也沒(méi)有任何性質(zhì)，除了它們所連接的元素的有關(guān)信息。

棋局可以單用符號(hào)來(lái)描述，而不用任何圖形。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也同樣如此。比如，圖9-7右圖給出了前述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的第三個(gè)等價(jià)描述，采用的形式是一個(gè)4×4的數(shù)表。在這個(gè)數(shù)表中，等于1的條目意味著，某個(gè)關(guān)系（“喜歡”）在該行對(duì)應(yīng)的元素與該列對(duì)應(yīng)的元素之間成立，所以，第1行第3列的“1”意思是“菲利普喜歡滑雪”。很顯然，這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的等價(jià)描述可以有很多種，但是所有這些等價(jià)描述都只描繪了同一個(gè)，也是唯一一個(gè)獨(dú)特的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。總而言之，一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的任何特定描述都包含“包袱”，但這個(gè)結(jié)構(gòu)自身卻不包含。不要混淆數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和等價(jià)描述，這一點(diǎn)至關(guān)重要：對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，即便是看起來(lái)最抽象的描述也不是結(jié)構(gòu)本身；結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)著所有等價(jià)描述組成的集合。表9-2總結(jié)了與數(shù)學(xué)宇宙理論有關(guān)的重要概念。

表9-2　與數(shù)學(xué)宇宙有關(guān)的重要概念的總結(jié)

對(duì)稱(chēng)性以及其他數(shù)學(xué)性質(zhì)

一些數(shù)學(xué)家喜歡爭(zhēng)論什么是真正的數(shù)學(xué)。當(dāng)然，在這個(gè)問(wèn)題上，他們沒(méi)有達(dá)成共識(shí)。不過(guò)，數(shù)學(xué)的一個(gè)流行定義是“對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的正式研究”。在這方面，數(shù)學(xué)家們確定了大量有趣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從我們很熟悉的東西，如立方體、二十面體（見(jiàn)圖6-2）和整數(shù)，到擁有奇異名字的東西，如巴拿赫空間（Banach spaces）、軌形（orbifolds）和偽黎曼流形。

數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)時(shí)，最重要的事就是證明與它們性質(zhì)有關(guān)的定理。然而，既然數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的實(shí)體及其相互關(guān)系都不允許擁有任何內(nèi)稟性質(zhì)，那數(shù)學(xué)家們究竟在研究什么性質(zhì)呢？

讓我們來(lái)看看圖9-8左圖所描述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它的各個(gè)元素之間沒(méi)有任何聯(lián)系，所以，沒(méi)辦法將各個(gè)實(shí)體區(qū)分開(kāi)來(lái)。這意味著，這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)除了“基數(shù)”（cardinality，基數(shù)是指它所包含的實(shí)體的數(shù)量）外，沒(méi)有任何性質(zhì)。數(shù)學(xué)家將這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱(chēng)為“8個(gè)元素的集合”，它唯一的性質(zhì)就是擁有8個(gè)元素。真是一個(gè)無(wú)趣的結(jié)構(gòu)！

圖9-8中間的圖片描述了一個(gè)不同的、更有趣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也擁有8個(gè)元素，但元素之間存在著關(guān)系。這個(gè)結(jié)構(gòu)的其中一個(gè)描述說(shuō)，它的元素是一個(gè)立方體的頂點(diǎn)，而關(guān)系則是相鄰頂點(diǎn)之間的連線，也就是立方體的邊。然而請(qǐng)牢記，不要將數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和描述混為一談——數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)自身不具備任何內(nèi)稟性質(zhì)，如大小、顏色、質(zhì)地或組分，它只包含8個(gè)相互關(guān)聯(lián)的元素，你可以選擇將其理解為立方體的8個(gè)頂點(diǎn)。實(shí)際上，圖9-8右圖是該數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的另一個(gè)等價(jià)描述，卻沒(méi)有提到任何幾何概念，如立方體、頂點(diǎn)和邊。

那么，既然這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的實(shí)體不具備任何內(nèi)稟性質(zhì)，那這個(gè)結(jié)構(gòu)自身是否擁有什么有趣的性質(zhì)呢（除了8個(gè)元素之外）？實(shí)際上，它真的有，即對(duì)稱(chēng)性！在物理學(xué)中，如果你將某物以某種方式變換一下，它還是保持原樣，這就叫對(duì)稱(chēng)。比如，如果把你的臉左右鏡像一下還是與以前一樣，那么它就是鏡像對(duì)稱(chēng)（mirror symmetry）的。同樣，圖9-8中圖中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也是鏡像對(duì)稱(chēng)的：如果你將元素1和2、3和4、5和6、7和8對(duì)調(diào)，它們的關(guān)系圖還是和從前完全一樣。它還具有某種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性（rotational symmetry）：如果你將立方體繞某一面旋轉(zhuǎn)90°，或者繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°，或者繞某一邊的中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，它還是與從前保持一樣。盡管我們直觀地認(rèn)為對(duì)稱(chēng)性與幾何有關(guān)，但是當(dāng)你看看圖9-8右圖時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)表同樣具有對(duì)稱(chēng)性——如果你用某些特定的方式為這8個(gè)元素重新編號(hào)后，再通過(guò)擴(kuò)展行列數(shù)，對(duì)數(shù)表重新排序，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，你得到了一個(gè)與從前完全相同的數(shù)表。

在哲學(xué)上有一個(gè)著名的棘手問(wèn)題，叫作“無(wú)窮后退問(wèn)題”（infinite regress problem）。舉個(gè)例子，如果我們說(shuō)，一顆鉆石的性質(zhì)可以用碳原子的性質(zhì)和排列來(lái)解釋?zhuān)荚拥男再|(zhì)可以用它內(nèi)部質(zhì)子、中子和電子的性質(zhì)和排列來(lái)解釋?zhuān)|(zhì)子的性質(zhì)可以用夸克的性質(zhì)和排列來(lái)解釋等，那么如果我們想要解釋各個(gè)零件的性質(zhì)，看起來(lái)注定要這樣永遠(yuǎn)繼續(xù)下去，無(wú)窮盡也。數(shù)學(xué)宇宙假說(shuō)為這個(gè)問(wèn)題提供了一個(gè)激進(jìn)的解決辦法——在最底層，實(shí)在是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，所以它的各部件根本不具備任何內(nèi)稟性質(zhì)！也就是說(shuō)，從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)宇宙假說(shuō)暗示著我們居住在一個(gè)“關(guān)系實(shí)在”（relational reality）中，因?yàn)槲覀冎茉馐澜绲男再|(zhì)并不是來(lái)源于它的終極構(gòu)件，而是來(lái)源于這些構(gòu)件之間的相互關(guān)系^[53]。這樣看來(lái)，外部物理實(shí)在不僅僅是它各個(gè)構(gòu)件的簡(jiǎn)單加總，因?yàn)樗鼡碛性S多有趣的性質(zhì)，而它的基本構(gòu)件卻不具備任何內(nèi)稟性質(zhì)。

圖9-8　中圖描述了一個(gè)擁有8個(gè)元素（用黑點(diǎn)來(lái)表示）的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，元素之間有相互關(guān)系（用線表示）。你可以把元素理解為立方體的頂點(diǎn)，把關(guān)系理解為立方體的邊，連接著相關(guān)聯(lián)的頂點(diǎn)。但這個(gè)理解完全是一個(gè)可有可無(wú)的“包袱”。右圖給出了同一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的等價(jià)描述，不包含任何幾何圖形，比如，第5列第6行的條目為“1”，意味著元素5和元素6之間的關(guān)系成立。這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)擁有許多有趣的性質(zhì)，包括鏡像對(duì)稱(chēng)性和某些旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。與之相比，在左圖描述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，元素間沒(méi)有任何關(guān)系，也不具備任何有趣的性質(zhì)，除了它的基數(shù)為8。

圖9-7和圖9-8中所畫(huà)出的幾個(gè)特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)都屬于同一類(lèi)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，叫作“圖”（graphs）——抽象的元素，其中一些兩兩相連。你可以用其他圖來(lái)描述與圖6-2中的十二面體等柏拉圖多面體相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。還有一個(gè)圖的例子是Facebook上的好友網(wǎng)絡(luò)——其中，所有的元素對(duì)應(yīng)著所有的Facebook用戶(hù)，如果兩個(gè)用戶(hù)是好友關(guān)系，那他倆就相連。盡管數(shù)學(xué)家對(duì)圖研究得很多，但它們只是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)眾多類(lèi)別中的其中一個(gè)。我們將在第11章對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的各種細(xì)節(jié)進(jìn)行更深入的探討，但是現(xiàn)在，讓我們先來(lái)看一些簡(jiǎn)單的例子，好讓你了解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是多么多樣化。

許多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)著不同種類(lèi)的數(shù)字。比如，所謂的自然數(shù)1、2、3……一起組成了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這里的元素是數(shù)字，它們之間有著各種各樣的關(guān)系。一些關(guān)系（比如等于、大于和除以）可能在兩個(gè)數(shù)字之間成立（比如，“15除以5”），一些關(guān)系可能在三個(gè)數(shù)字之間成立（比如“17是12與5的和”），還有一些關(guān)系可能在其他數(shù)量的數(shù)字之間成立。漸漸地，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了更多種類(lèi)的數(shù)字，它們都能形成自己的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，比如整數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）、有理數(shù)（包括分?jǐn)?shù)）、實(shí)數(shù)（包括2的平方根）、復(fù)數(shù)（包括-1的平方根）和超限數(shù)（包括無(wú)窮大）。當(dāng)我閉上眼，腦中想著數(shù)字5時(shí)，它看起來(lái)是黃色的。但是，在所有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，數(shù)字本身都不具備任何內(nèi)稟性質(zhì)，它們唯一的性質(zhì)就是與其他數(shù)字之間的關(guān)系。比如，5具有的一個(gè)性質(zhì)是4與1的加和，但它不是黃色，也不是由任何東西制成的。

還有一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)著不同類(lèi)別的空間。比如，我們學(xué)過(guò)的三維歐幾里得空間就是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在這里，元素就是三維空間中的點(diǎn)，以及被理解為距離和角度的各種實(shí)數(shù)。還有各種各樣的關(guān)系。比如，如果三個(gè)點(diǎn)位于一條直線上，那它們就能滿(mǎn)足一個(gè)關(guān)系。還有許多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)著四維甚至更高維度的歐幾里得空間。數(shù)學(xué)家們還發(fā)現(xiàn)了許多其他更廣義的空間，形成了它們自身的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，比如所謂的閔氏空間（Minkowski spaces）、黎曼空間（Riemann spaces）、希爾伯特空間、巴拿赫空間和豪斯多夫空間（Hausdorff spaces）。許多人曾認(rèn)為，我們的三維物理空間就是一個(gè)歐幾里得空間。其實(shí)，正如我們?cè)诘?章中看到的那樣，愛(ài)因斯坦終結(jié)了這種看法。他先是用狹義相對(duì)論提出，我們棲身在一個(gè)閔氏空間中（包含時(shí)間作為第四維度）。接著，他的廣義相對(duì)論又提出，我們其實(shí)生活在一個(gè)黎曼空間中，因?yàn)樗梢詮澢?。然后，正如我們?cè)诘?章看到的那樣，量子力學(xué)問(wèn)世了。它告訴我們，我們其實(shí)居住在一個(gè)希爾伯特空間中。再次強(qiáng)調(diào)，這些空間中的點(diǎn)并不是由任何構(gòu)件組成的，它們沒(méi)有顏色、沒(méi)有材質(zhì)，也沒(méi)有任何其他內(nèi)稟性質(zhì)。

盡管目前已知的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)又多又奇妙，但還是有更多的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等待著人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。每一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)都可以通過(guò)分析來(lái)確定它的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。人們發(fā)現(xiàn)許多結(jié)構(gòu)都具備有趣的對(duì)稱(chēng)性。令人著迷的是，物理學(xué)上最重要的發(fā)現(xiàn)之一就是我們的物理實(shí)在也具有內(nèi)在的對(duì)稱(chēng)性。比如，物理定律擁有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，也就是說(shuō)，我們的宇宙中沒(méi)有一個(gè)特殊的方向可以被稱(chēng)為“上”。它們似乎還具有平移對(duì)稱(chēng)性，也就是說(shuō)，沒(méi)有一個(gè)特殊的地方可以被稱(chēng)為空間的中心。我們剛才提到的大多數(shù)空間都擁有美麗的對(duì)稱(chēng)性，其中一些符合我們物理世界的觀測(cè)對(duì)稱(chēng)。比如，歐幾里得空間同時(shí)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性（空間旋轉(zhuǎn)之后與之前沒(méi)什么兩樣）和平移對(duì)稱(chēng)性（空間平移后與之前沒(méi)什么兩樣）。四維閔氏空間的對(duì)稱(chēng)性更多：如果你在空間和時(shí)間維度之間做一種廣義旋轉(zhuǎn)，它與從前沒(méi)什么兩樣。愛(ài)因斯坦認(rèn)為，這解釋了為何近光速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間會(huì)變慢，我們?cè)谏弦徽略岬竭^(guò)這件事。20世紀(jì)，人們還發(fā)現(xiàn)了自然界中許多更加微妙的對(duì)稱(chēng)性，這些對(duì)稱(chēng)性構(gòu)成了愛(ài)因斯坦相對(duì)論、量子力學(xué)和粒子物理學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型的基石。

需要注意的是，這些對(duì)物理學(xué)來(lái)說(shuō)至關(guān)重要的對(duì)稱(chēng)性正是來(lái)源于實(shí)在的基本構(gòu)件缺乏任何內(nèi)稟性質(zhì)，也就是說(shuō)，來(lái)源于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的最深含義與本質(zhì)。如果你給一個(gè)無(wú)色球體的一邊涂上黃色，那它的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性就被破壞掉了。同樣，如果一個(gè)三維空間中的點(diǎn)擁有某種性質(zhì)，可以讓一些點(diǎn)與其他點(diǎn)擁有本質(zhì)上的不同，那這個(gè)空間就失去了它的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性和平移對(duì)稱(chēng)性。對(duì)空間來(lái)說(shuō)，“少即是多”，因?yàn)辄c(diǎn)擁有的性質(zhì)越少，空間所具有的對(duì)稱(chēng)性就越多。

如果數(shù)學(xué)宇宙假說(shuō)是正確的，我們的宇宙是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，那么，一個(gè)極其聰明的數(shù)學(xué)家就能夠從它的描述中推演出所有物理學(xué)理論。他將如何做到這一點(diǎn)呢？我們并不知道，但是我很肯定，他的第一步一定是計(jì)算出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性。

在本章開(kāi)頭的時(shí)候，一位教授曾作出可怕的預(yù)言，說(shuō)我那些關(guān)于數(shù)學(xué)與物理之間關(guān)系的論文太過(guò)瘋狂，將毀掉我的前程?，F(xiàn)在，我已經(jīng)將這些想法的第一部分和盤(pán)托出：我認(rèn)為我們的外部物理實(shí)在是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這聽(tīng)起來(lái)確實(shí)很瘋狂。然而，這只是一個(gè)熱身。接下來(lái)，一切將變得更加瘋狂，因?yàn)槲覀儗⑷ヌ剿鲾?shù)學(xué)宇宙假說(shuō)蘊(yùn)含的啟示和可檢驗(yàn)的預(yù)言！除此之外，我們將被無(wú)情地領(lǐng)入一個(gè)新的多重宇宙，它是如此廣袤無(wú)垠，即使是量子力學(xué)的第三層多重宇宙在它面前也黯然失色。不過(guò)在此之前，我們需要回答一個(gè)棘手的問(wèn)題。我們的物理世界隨時(shí)間而變化，但數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)卻一成不變，它們只是簡(jiǎn)單地存在著。既然如此，我們的世界怎能是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)呢？下一章，我們將一起解決這個(gè)問(wèn)題。

◆從古至今，人們都很迷惑，為什么數(shù)學(xué)能如此精確地描述物理世界。

◆從那時(shí)起，物理學(xué)家在自然界發(fā)現(xiàn)了更多能用數(shù)學(xué)公式描述的形狀、模式和規(guī)律。

◆物理實(shí)在的內(nèi)在結(jié)構(gòu)中包含幾十個(gè)純粹的數(shù)字。從本質(zhì)上說(shuō)，所有測(cè)量出來(lái)的常數(shù)都可以由這些數(shù)字計(jì)算出。

◆一些重要的物理實(shí)體，如空蕩的空間、基本粒子和波函數(shù)似乎都是純數(shù)學(xué)化的，因?yàn)樗鼈儍H有的內(nèi)稟性質(zhì)都是數(shù)學(xué)性質(zhì)。

◆外部實(shí)在假說(shuō)是說(shuō)，存在一個(gè)完全獨(dú)立于人類(lèi)的外部物理實(shí)在，被大部分（但并非所有）物理學(xué)家接受。

◆有了一個(gè)足夠廣泛的數(shù)學(xué)定義，外部實(shí)在假說(shuō)便暗含著數(shù)學(xué)宇宙假說(shuō)，即我們的物理世界是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

◆我們的物理世界不僅能被數(shù)學(xué)所描述，它本身就是數(shù)學(xué)（一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)），使得我們成為一個(gè)巨大數(shù)學(xué)對(duì)象中擁有自我意識(shí)的那個(gè)部分。

◆一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一組實(shí)體及其相互關(guān)系的抽象集合。這些實(shí)體沒(méi)有“包袱”；除了彼此之間的相互關(guān)系之外，它們不具備任何性質(zhì)。

◆一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以擁有許多有趣的性質(zhì)（比如對(duì)稱(chēng)性），盡管它的實(shí)體和關(guān)系都不具備任何內(nèi)稟性質(zhì)。

◆數(shù)學(xué)宇宙假說(shuō)解決了聲名狼藉的“無(wú)窮后退問(wèn)題”。在這個(gè)問(wèn)題中，自然界物體的性質(zhì)只能由它的組成構(gòu)件的性質(zhì)來(lái)解釋?zhuān)M成構(gòu)件的性質(zhì)又需要進(jìn)一步解釋?zhuān)瑥亩苌鰺o(wú)窮無(wú)盡的問(wèn)題。而數(shù)學(xué)宇宙假說(shuō)認(rèn)為，自然界物體的性質(zhì)不是源自終極構(gòu)件的性質(zhì)（它根本不具備任何性質(zhì)），而是源于這些構(gòu)件之間的相互關(guān)系。