圖元法是一種利用包含信息的圖像符號直接表示每個張量數(shù)據(jù)點的方法。在了解具體的圖元法實現(xiàn)手段之前，我們有必要了解張量數(shù)據(jù)的基本數(shù)學結(jié)構(gòu)。以流體力學中流體微團的變形率張量為例，流體微團的應變率張量是一個三維二階實對稱張量，通過矩陣形式表示：

其中主對角線的ε1、ε2、ε3代表坐標軸方向的變形速度，θ1、θ2、θ3代表坐標軸夾角的剪切應變率。由線性代數(shù)理論，存在正交矩陣T，使得：

即使得原張量矩陣對角化。并且，矩陣T的三個列矢量分別是上述對角矩陣的互相正交的特征矢量（特征方向），σ1、σ2、σ3是與特征矢量相對應的特征值。通過這個數(shù)學變換，原張量數(shù)據(jù)所包含的信息，即六個獨立分量，被等價變換為三個實特征值和對應的互相正交的特征矢量所包含的信息，而后者正是張量數(shù)據(jù)可視化的圖元法主要依賴的理論基礎。

在眾多可供選擇的圖元中，三維橢球圖元是最為常見的可視化元素。將橢球中心置于數(shù)據(jù)原點，橢球的三個主軸方向?qū)谌齻€特征矢量方向，三個軸長對應于相應的特征值大小。如此，張量場中每一規(guī)則格點的數(shù)據(jù)都可以通過取向、大小和形狀不同的橢圓來對應表示，實現(xiàn)了多分量數(shù)據(jù)的統(tǒng)一可視化。

將橢球作為圖元的方法有易見的優(yōu)點：橢球的幾何特征和張量數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的合理對應，因而容易辨別每個分離點的張量數(shù)據(jù)特征。但是，橢球圖元也有其局限性：①特征值的符號無法通過橢球的幾何特征表現(xiàn)，而只能通過顏色標記等其他方法區(qū)分；②橢球有其自身的光滑幾何表面，不合適的視角很容易影響觀者對特征方法和特征值數(shù)據(jù)的觀察判定；③在三維情況下，密集的數(shù)據(jù)點容易發(fā)生堆積、層疊，從而影響視線；④單一圖元表達的信息量局限于最基本的層面，無法表現(xiàn)出張量數(shù)據(jù)的互相關聯(lián)和局域性特征。事實上，特征值符號、圖元視角缺陷和區(qū)域結(jié)構(gòu)缺乏這三個問題較為普遍地存在于使用離散型圖元法的張量可視化問題。

因為缺乏對特征值符號的最優(yōu)表現(xiàn)方法，橢球以及其他圖元一般僅用于正定矩陣張量（所有特征值均為正）的可視化，如腦成像中的擴散張量等，而較少地應用于既有拉伸又有壓縮的地應力問題。

為了克服橢球的視角問題，使用高級圖元的方法被提出，如Westin使用的球、盤和棒的復合圖元組合（圖5-29）。Kindlmann使用超二次曲面圖元將橢球、長方體、圓柱體的最佳特征整合在一起。這些方法都有效地豐富了圖元法的可視化表現(xiàn)力。

圖5-29 橢圓半徑、圓盤半徑和棒長分別對應于最小特征值、中間特征值和最大特征值