阿喀琉斯能否超載烏龜

阿喀琉斯與烏龜賽跑

當“神話”與“好萊塢”相遇時……

2004年轟動一時的電影《特洛伊》相信大家都看過吧。這部電影雖有眾多很有魅力的人物登場，但無論怎么說主人公還是非布拉德·彼特飾演的阿喀琉斯莫屬。

作為希臘的傳奇斗士，又是馬拉松選手的阿喀琉斯，在哲學家齊諾所提出的悖論里也出現過。按悖論所說，即使是天下無敵的阿喀琉斯，在賽跑時如果比烏龜后出發(fā)的話，也永遠無法趕上烏龜。

假設阿喀琉斯的跑步速度比烏龜快10倍，而烏龜在阿喀琉斯前100米處出發(fā)。

與烏龜同時出發(fā)的阿喀琉斯在向烏龜前進的方向趕去的同時，烏龜也會向前行進一定距離。烏龜以阿喀琉斯的1/10的速度行進，在阿喀琉斯到達100米處時，烏龜向前行進了10米，阿喀琉斯再趕到此位置時，烏龜又會在阿喀琉斯前面10米的1/10即1米處。

圖39

如果照此進行下去，烏龜與阿喀琉斯之間的距離會逐漸縮小，但烏龜總是在阿喀琉斯的前面，哪怕是一點點。最終即使阿喀琉斯的速度比烏龜快10倍也無法超越烏龜。

解析一下邏輯的謬誤

如果實際進行賽跑，阿喀琉斯肯定能夠追上烏龜，這是眾人皆知的事實。但是要想有理有據地反駁齊諾悖論并不是一件簡單的事情。而在數學史上出現“兩數無限次相加其和也是有限的”理論之后，我們就可以以數學方式推翻此悖論了。

阿喀琉斯在追趕烏龜過程中，跑100米、10米、1米、0.1米……所用的時間都比0大，但是將其所用時間無限相邊得到的值卻是有限的。所以阿喀琉斯不是永遠無法超過烏龜，而只是在一定的時間內而已。

比如說，阿喀琉斯跑最初的100米需要10分鐘，那么計算一下超過烏龜所需總時間的話就是1＋1/10＋1/100＋……按照“無限序列數之和”的求解方法計算的話其和就是10/9，也就是說在10/9分鐘后阿喀琉斯將超過烏龜。

還可以更簡單地解釋這一問題。出發(fā)1分鐘后，阿喀琉斯在距出發(fā)點100米處，而烏龜在110米處。但是在2分鐘后阿喀琉斯在距出發(fā)點的200米處，而烏龜在120米處而已，所以至多2分鐘后阿喀琉斯就已經超過烏龜了。

說謊者悖論

在古希臘時期曾經流行很多悖論，其中“克里特人艾皮米尼第斯說‘所有克里特人都說謊’”這一悖論就很有名。

這同我們所熟知的“這篇文章說謊”的“說謊者悖論”是一樣的。如果這篇文章說的是真實的，那么，根據文章所表達的含義該文章也在說謊，則這篇文章本身是真實的；如果這篇文章說謊，那么它所敘述的那篇文章就是真實的，從而出現即使是真實的，也是在說謊的現象。

悖論就是包含著這樣的邏輯性矛盾。有這樣一個故事，有一個程序員試著在電腦里輸入悖論命令，正確的結果和錯誤的結果被無限次反復輸出。

在數學史上出現的這些悖論就像令電腦混亂一樣也曾使當時的數學家很困惑，但同時它們也為鞏固數學理論基礎做出了貢獻。

自己能給自己理發(fā)嗎？

此外，還有數理哲學家伯特蘭·羅素提出的“理發(fā)師悖論”。這一悖論描述某人問某村的理發(fā)師有沒有競爭對手。理發(fā)師回答說：

“沒有競爭對手。這個村子除了自己理發(fā)的以外，都是我給理發(fā)?！?/p>

得到這個回答的人很想知道這個理發(fā)師是否會給自己理發(fā)。這個理發(fā)師給自己理發(fā)，還是不給自己理發(fā)呢？

如果這個理發(fā)師給自己理發(fā)，就與他所說的只給不自己理發(fā)的人理發(fā)的前提相違背。因此這個理發(fā)師不能給自己理發(fā)。

相反，這個理發(fā)師不給自己理發(fā)，那么他就成為“不自己理發(fā)的人”中的一員，因此根據自己的觀點最終要自己給自己理發(fā)。

這不是煙斗

畫家勒內·瑪格利特的畫，使人聯(lián)想起“說謊者悖論”?，敻窭锾鼐漠嬃艘粋€漂亮的煙斗，然后寫上“Ceci n’est pas une pipe”（這不是煙斗）。

明明畫了個煙斗卻說不是煙斗，確實很荒唐。但是嚴格來說畫布上畫著的只是有煙斗樣子的畫而已，并不是真實的煙斗。

圖40

作者作此畫的目的在于批判那些將與實物相近的形象當成實物的人，同時也傳達了希望人們摒棄這種根深蒂固的連帶性習慣的信息。看到這幅畫就會聯(lián)想起數學的悖論，這可能也是數學研究者的通病吧。