錢幣的學(xué)問(wèn)

古今中外的錢幣多種多樣，與錢幣有關(guān)的數(shù)學(xué)更是豐富多彩，趣味無(wú)窮。讓我們以現(xiàn)在我國(guó)通行的人民幣為例，一起來(lái)討論一些與錢幣有關(guān)的問(wèn)題。

我們所看到的硬幣的面值有1分、2分、5分、1角、5角和1元；紙幣的面值有1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元和100元，一共19種。但這些面值中沒(méi)有3、4、6、7、8、9，這又是為什么呢？

事實(shí)上，我們只要來(lái)看一看1、2、5如何組成3、4、6、7、8、9，就可以知道原因了。

3＝1＋2＝1＋1＋1

4＝1＋1＋2＝2＋2＝1＋1＋1＋1

6＝1＋5＝1＋1＋2＋2＝1＋1＋1＋1＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋1＝2＋2＋2

7＝1＋1＋5＝2＋5＝2＋2＋2＋1＝1＋1＋1＋2＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1

8＝1＋2＋5＝1＋1＋1＋5＝1＋1＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋1＋2＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝2＋2＋2＋2

9＝2＋2＋5＝1＋1＋2＋5＝1＋1＋1＋1＋5＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝1＋1＋1＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋2＋2＝1＋2＋2＋2＋2

從以上這些算式中就可知道，用1、2和5這幾個(gè)數(shù)就能以多種方式組成1～9的所有數(shù)。這樣，我們就可以明白一個(gè)道理，人民幣作為大家經(jīng)常使用的流通貨幣，自然就希望品種盡可能少，但又不影響使用。下面我們就來(lái)解答一些實(shí)際問(wèn)題。

例1　將一張1元的人民幣兌換成若干張1角、2角、5角的人民幣，共有幾種兌換方法？

［分析與解］如果只有5角面值的鈔票，那么5＋5＝10，就只有一種兌換方法；如果有一張5角的鈔票，其余是1角、2角面值的，那么5＋2＋2＋1＝10，5＋2＋1＋1＋1＝10，5＋1＋1＋1＋1＋1＝10，就有三種兌換方法；如果沒(méi)有5角面值的鈔票，只有1角、2角面值的鈔票，那么2＋2＋2＋2＋2＝10，2＋2＋2＋2＋1＋1＝10，2＋2＋2＋1＋1＋1＋1＝10，2＋2＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝10，2＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝10，1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝10，就有6種兌換方法。

這樣，總兌換方法數(shù)為1＋3＋6＝10（種）。

例2　有3枚5分的硬幣、2枚1分的硬幣、5枚1元的硬幣，用這些硬幣中的1～3枚能得出多少種不同的錢數(shù)？

［分析與解］如果只用1枚，錢數(shù)就有5分、1分、1元三種；如果用2枚，就有：5分＋5分＝1角，1分＋1分＝2分，1元＋元＝2元，5分＋1分＝6分，5分＋1元＝1元零5分，1分＋1元＝1元零1分共6種；如果用3枚，就有5分＋5分＋5分＝1角5分，5分＋5分＋1分＝1角1分，5分＋1分＋1分＝7分，5分＋1分＋1元＝1元零6分，1元＋1元＋1元＝3元，1分＋1分＋1元＝1元零2分，5分＋5分＋1元＝1元1角，1元＋1元＋1分＝2元零1分，1元＋1元＋5分＝2元零5分，共9種。

這樣，共有3＋6＋9＝18種不同的錢數(shù)。

試一試：

1．把50元面額的錢幣兌換成若干張1元、2元、5元的鈔票，共有幾種兌換方法？

2．在4張2元的紙幣、3張5元的紙幣中，選出1～6張能得出多少種不同的錢數(shù)？

余數(shù)的妙用

興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師出了這樣一道題：我喜歡數(shù)學(xué)小靈通我喜歡數(shù)學(xué)小靈通……依次排列，第999個(gè)漢字是什么？我利用從《數(shù)學(xué)小靈通》上學(xué)到的解答方法試著做了起來(lái)。因?yàn)椤拔蚁矚g數(shù)學(xué)小靈通”這8個(gè)字是依次重復(fù)的，那么，一個(gè)循環(huán)周期就有8個(gè)數(shù)，把8個(gè)數(shù)看成一組。999÷8＝124（組）……7（個(gè)），這就是說(shuō)，第999個(gè)漢字應(yīng)該是第125組的第7個(gè)字——“靈”。

同學(xué)們，你們說(shuō)第2001個(gè)漢字是什么呢？

工程師、化學(xué)家和數(shù)學(xué)家住在一家老客棧的三個(gè)相鄰房間里。當(dāng)晚先是工程師的咖啡機(jī)著了火，他嗅到煙味醒來(lái)，拔出咖啡機(jī)的電插頭，將之扔出窗外，然后接著睡覺(jué)。過(guò)一會(huì)兒化學(xué)家也嗅到煙味醒來(lái)，他發(fā)現(xiàn)原來(lái)是煙頭燃著了垃圾桶。他自言自語(yǔ)道：“怎樣滅火呢？應(yīng)該把燃料溫度降低到燃點(diǎn)以下，把燃燒物與氧氣隔離。澆水可以同時(shí)做到這兩點(diǎn)?！庇谑撬牙巴线M(jìn)浴室，打開(kāi)水龍頭澆滅了火，就回去接著睡覺(jué)。數(shù)學(xué)家在窗外看到了這一切，所以，當(dāng)過(guò)了一會(huì)兒他發(fā)現(xiàn)他的煙灰燃著了床單時(shí)，他可一點(diǎn)兒也不擔(dān)心。說(shuō)：“嗨，解是存在的！”就接著睡覺(jué)了。

數(shù)學(xué)家、生物學(xué)家和物理學(xué)家坐在街頭咖啡屋里，看著人們從街對(duì)面的一間房子走進(jìn)走出。他們先看到兩個(gè)人進(jìn)去。時(shí)光流逝。他們又看到三個(gè)人出來(lái)。物理學(xué)家：“測(cè)量不夠準(zhǔn)確?！鄙飳W(xué)家：“他們進(jìn)行了繁殖?！睌?shù)學(xué)家：“如果現(xiàn)在再進(jìn)去一個(gè)人，那房子就空了。”

一天，數(shù)學(xué)家覺(jué)得自己已受夠了數(shù)學(xué)，于是他跑到消防隊(duì)去宣布他想當(dāng)消防員。消防隊(duì)長(zhǎng)說(shuō)：“您看上去不錯(cuò)，可是我得先給您一個(gè)測(cè)試?！毕狸?duì)長(zhǎng)帶數(shù)學(xué)家到消防隊(duì)后院小巷，巷子里有一個(gè)貨棧，一只消防栓和一卷軟管。消防隊(duì)長(zhǎng)問(wèn)：“假設(shè)貨棧起火，您怎么辦？”數(shù)學(xué)家回答：“我把消防栓接到軟管上，打開(kāi)水龍，把火澆滅?！毕狸?duì)長(zhǎng)說(shuō)：“完全正確！最后一個(gè)問(wèn)題：假設(shè)您走進(jìn)小巷，而貨棧沒(méi)有起火，您怎么辦？”數(shù)學(xué)家疑惑地思索了半天，終于答道：“我就把貨棧點(diǎn)著?！毕狸?duì)長(zhǎng)大叫起來(lái)：“什么？太可怕了！您為什么要把貨棧點(diǎn)著？”數(shù)學(xué)家回答：“這樣我就把問(wèn)題化簡(jiǎn)為一個(gè)我已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題了。”

數(shù)學(xué)的組成是：50%公式，50%證明，50%想像力。拓?fù)鋵W(xué)家不能區(qū)分咖啡杯與面包圈。統(tǒng)計(jì)學(xué)家的頭在烤爐腳在寒冰時(shí)，會(huì)說(shuō)：“平均感覺(jué)是良好的?！?/p>

一隊(duì)工程師在丈量一根旗桿的高度，他們只有一根皮尺，不好固定在旗桿上，因?yàn)槠こ呖偸锹湎聛?lái)。一位數(shù)學(xué)家路過(guò)，拔出旗桿，很容易就量出了數(shù)據(jù)。他離開(kāi)后，一位工程師對(duì)另一位說(shuō)：“數(shù)學(xué)家總是這樣，我們要的是高度，他卻給我們長(zhǎng)度！”

工程師認(rèn)為自己的方程與現(xiàn)實(shí)很接近。物理學(xué)家認(rèn)為現(xiàn)實(shí)與自己的方程很接近。數(shù)學(xué)家根本不在乎。

物理教授走過(guò)校園，遇到數(shù)學(xué)教授。物理教授在進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，他總結(jié)出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)方程，似乎與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合，他請(qǐng)數(shù)學(xué)教授看一看這個(gè)方程。一周后他們碰頭，數(shù)學(xué)教授說(shuō)這個(gè)方程不成立?？赡菚r(shí)物理教授已經(jīng)用他的方程預(yù)言出進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，而且效果頗佳，所以他請(qǐng)數(shù)學(xué)教授再審查一下這個(gè)方程。又是一周過(guò)去，他們?cè)俅闻鲱^。數(shù)學(xué)教授告訴物理教授說(shuō)這個(gè)方程的確成立，“但僅僅對(duì)于正實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單情形成立?！?/p>

工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家同時(shí)接到一個(gè)任務(wù)：將一根釘子釘進(jìn)一堵墻。工程師造了一件萬(wàn)能打釘器，即能把任何一種可能的釘子打進(jìn)任何一種可能的墻里的機(jī)器。物理學(xué)家對(duì)于榔頭、釘子和墻的強(qiáng)度做了一系列的測(cè)試，進(jìn)而發(fā)展出一項(xiàng)革命性的科技——超低溫下超音速打釘技術(shù)。數(shù)學(xué)家將問(wèn)題推廣到N維空間，考慮一個(gè)1維帶扭結(jié)的釘子穿透一個(gè)N－1維超墻的問(wèn)題。很多基本定理被證明。當(dāng)然啦，這個(gè)題目之深?yuàn)W使得一個(gè)簡(jiǎn)單解的存在性都遠(yuǎn)非顯然。

一位農(nóng)夫請(qǐng)了工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家來(lái)，想用最少的籬笆圍出最大的面積。工程師用籬笆圍出一個(gè)圓，宣稱這是最優(yōu)設(shè)計(jì)。物理學(xué)家將籬笆拉開(kāi)成一條長(zhǎng)長(zhǎng)的直線，假設(shè)籬笆有無(wú)限長(zhǎng)，認(rèn)為圍起半個(gè)地球總夠大了。數(shù)學(xué)家嘲笑了他們一番。他用很少的籬笆把自己圍起來(lái)，然后說(shuō)：“我現(xiàn)在是在外面?！?/p>

物理學(xué)家和工程師乘著熱氣球，在大峽谷中迷失了方向。他們高聲呼救：“喂——！我們?cè)谀膬?？”過(guò)了大約15分鐘，他們聽(tīng)到回應(yīng)在山谷中回蕩：“喂——！你們?cè)跓釟馇蚶?！”物理學(xué)家道：“那家伙一定是個(gè)數(shù)學(xué)家?！惫こ處煵唤獾溃骸盀槭裁?？”物理學(xué)家道：“因?yàn)樗昧撕荛L(zhǎng)的時(shí)間，給出一個(gè)完全正確的答案，但答案一點(diǎn)也沒(méi)有用。

牛頓說(shuō)過(guò)：“如果說(shuō)我比別人看得遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏?。”那么，如果我看得沒(méi)有別人遠(yuǎn)，是不是因?yàn)榫奕苏驹谖业募绨蛏希?/p>

常函數(shù)和指數(shù)函數(shù)e^x走在街上，遠(yuǎn)遠(yuǎn)看到微分算子，常函數(shù)嚇得慌忙躲藏，說(shuō)：“被它微分一下，我就什么都沒(méi)有啦！”指數(shù)函數(shù)不慌不忙道：“它可不能把我怎么樣，我是e^x！”指數(shù)函數(shù)與微分算子相遇。指數(shù)函數(shù)自我介紹道：“你好，我是e^x?！蔽⒎炙阕拥溃骸澳愫茫沂莇／dy！”

證明所有大于2的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)，不同專業(yè)的人給出不同的證明：數(shù)學(xué)家：3是質(zhì)數(shù)，5是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，由數(shù)學(xué)歸納可知，所有大于2的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。物理學(xué)家：3是質(zhì)數(shù)，5是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，9是實(shí)驗(yàn)誤差，11是質(zhì)數(shù)，……工程師：3是質(zhì)數(shù)，5是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，9是質(zhì)數(shù)，11是質(zhì)數(shù)，……計(jì)算機(jī)程序員：3是質(zhì)數(shù)，5是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，……統(tǒng)計(jì)學(xué)家：讓我們來(lái)試幾個(gè)隨機(jī)抽取的數(shù)：17是質(zhì)數(shù)，23是質(zhì)數(shù)，11是質(zhì)數(shù)，……

世界上有兩種數(shù)學(xué)家：會(huì)數(shù)數(shù)的和不會(huì)數(shù)數(shù)的。世界上有兩種人：一種相信世界上的人分為兩種，一種不相信。世界上有兩種人：一種可以被歸類于兩種人之一，一種不可以。

Pi是什么？數(shù)學(xué)家：Pi是圓周長(zhǎng)與直徑的比。工程師：Pi大約是22／7。計(jì)算機(jī)程序員：雙精度下Pi是3．141592653589。營(yíng)養(yǎng)學(xué)家：你們這些死心眼的數(shù)學(xué)腦瓜，“派”是一種既好吃又健康的甜點(diǎn)！

物理學(xué)家、天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家走在蘇格蘭高原上，碰巧看到一只黑色的羊?！鞍?，”天文學(xué)家說(shuō)道，“原來(lái)蘇格蘭的羊是黑色的?！薄暗昧税?，僅憑一次觀察你可不能這么說(shuō)?！蔽锢韺W(xué)家道，“你只能說(shuō)那只黑色的羊是在蘇格蘭發(fā)現(xiàn)的?！薄耙膊粚?duì)，”數(shù)學(xué)家道，“由這次觀察你只能說(shuō)：在這一時(shí)刻，這只羊，從我們觀察的角度看過(guò)去，有一側(cè)表面上是黑色的?！?/p>