任務(wù)4　掌握珠算除法算

3.4.1 掌握商的定位法

商的定位法就是確定商數(shù)位數(shù)的方法。商的定位法有多種，常用的有：公式定位法、固定個位檔（點(diǎn)）定位法。

1）公式定位法

公式定位法也叫通用定位法，適用于各種計算方法。它是根據(jù)被除數(shù)位數(shù)與除數(shù)位數(shù)用公式來確定商的位數(shù)，定位公式為：

公式一：a＝m－n

公式二：a＝m－n＋1

式中　a——商的位數(shù)；

　　　m——被除數(shù)的位數(shù)；

　　　n——除數(shù)的位數(shù)。

用被除數(shù)首位數(shù)與除數(shù)首位數(shù)進(jìn)行比較來選擇用哪個公式進(jìn)行定位，分為以下三種情況：

（1）被除數(shù)首位小于除數(shù)首位，用公式一，即a＝m－n。如474.88÷6.4＝74.2，被除數(shù)首位“4”小于除數(shù)首位“6”，故用公式一定位，商的位數(shù)為：m－n＝3－1＝2位。

（2）被除數(shù)首位大于除數(shù)首位，用公式二，即a＝m－n＋1。如86.245÷3.67＝23.5，被除數(shù)首位“8”大于除數(shù)首位“3”，故用公式二定位，商的位數(shù)為：m－n＋1＝2－1＋1＝2位。

（3）被除數(shù)首位等于除數(shù)首位，比較后位，直至比較出大小，定位方法同上。如2 750÷2.5＝1 100，因首位相同，所以比較第二位，被除數(shù)第二位數(shù)“7”大于除數(shù)第二位數(shù)“5”，故用公式二定位，商的位數(shù)為：m－n＋1＝4－1＋1＝4位。若被除數(shù)與除數(shù)的各位都相等時，用公式二進(jìn)行定位，如20÷20＝1。

2）盤上公式定位法

把公式定位法原理運(yùn)用到算盤上定位，叫做“盤上公式定位法”，又稱“首位檔定位法”。它是指經(jīng)運(yùn)算后，根據(jù)商數(shù)的首位數(shù)落在哪一檔上來確定用哪個公式進(jìn)行定位。用這種方法進(jìn)行定位，要依據(jù)運(yùn)用什么除法來運(yùn)算。

運(yùn)用不隔位商除法和歸除法時，一般是將被除數(shù)從算盤左邊第二檔起撥入，即算盤左邊留出一個空檔；運(yùn)用隔位商除法時，將被除數(shù)從算盤左邊第三檔起撥入，即算盤左邊留出兩個空檔。這樣，當(dāng)運(yùn)算完畢后，如果算盤左邊第一檔無商數(shù)，即用公式一進(jìn)行定位；如果算盤左邊第一檔有商數(shù)，即用公式二進(jìn)行定位。

這種定位方法可概括為“位數(shù)相減，滿檔加1”，“滿檔”即指算盤左邊第一檔有商數(shù)。

3）固定個位檔（點(diǎn)）定位法

這是一種算前定位法，又稱固定個位點(diǎn)定位法，它是在除算前，在算盤上預(yù)先選定一個恰當(dāng)位置（兩檔之間）作為商的小數(shù)點(diǎn)。運(yùn)算完畢，該小數(shù)點(diǎn)左面一檔即為商的個位檔。

首先，在算盤的橫梁或框上刻制如下：

其次，用公式確定被除數(shù)的起撥檔。

不隔位商除法、歸除法：b＝m－n

隔位商除法：b＝m－n－1

式中 b——被除數(shù)起撥檔。

3.4.2 掌握基本除法

1）商除法

（1）一位除法

一位除法是指除數(shù)只有一個非零數(shù)字的除法。

①布置除數(shù)，先求m－（n＋1）的值。

②估商與置商：估商用九九口訣心算，置商規(guī)則可以概括如下：

等位除，隔位商（夠除，隔位商）。

添位除，挨位商（不夠除，挨位商）。

即如果取被除數(shù)的有效數(shù)字個數(shù)與除數(shù)的有效數(shù)字個數(shù)相同時，若被除數(shù)大于或等于除數(shù)，則隔位置商；否則，因被除數(shù)小于除數(shù)，被除數(shù)必須添一位后才能除以除數(shù)，則挨位置商。

③減積檔次：商與除數(shù)的乘積的十位數(shù)從商右面第一檔減去，個位數(shù)從商的右面第二檔減去。

（2）多位除法

多位除法是指除數(shù)是兩個或兩個以上非零數(shù)字組成的除法。

它的運(yùn)算步驟和方法與一位除法基本相同，只是由于除數(shù)位數(shù)較多，容易出現(xiàn)估商不準(zhǔn)影響計算速度；減積錯檔，造成計算失準(zhǔn)等情況。所以要特別注意多位商除法中的估商和減積檔次。具體運(yùn)算步驟如下：

①布被除數(shù)。

②估商與置商：估商用九九口訣心算。置商規(guī)則同一位除法。

③減積檔次：在一次除法的運(yùn)算方法和步驟中已經(jīng)明確：商與除數(shù)的乘積的十位數(shù)，從商的右面第一檔減去，個位數(shù)，從商的右面第二檔減去。多位除法的減積檔次，是以一位除法為基礎(chǔ)的。商和除數(shù)最高位數(shù)字相乘，其減積檔次與一位除法完全相同，除數(shù)位次每右移一檔，其減積檔次也相應(yīng)右移一檔。除數(shù)是第幾位，它與商的乘積的十位數(shù)就從商的右面第幾檔減去。在正常乘減過程中，只要指不離檔，按上次減積的個位檔就是本次減積十位檔的規(guī)律，依次運(yùn)算下去，檔次是不會減錯。

④運(yùn)算結(jié)果：除盡時，按定點(diǎn)定位法確定的正一位，即為商的個位，盤面數(shù)值即為商數(shù)；除不盡時，按要求的精確度除到一定位數(shù)，若商的精確度為0.01，則商數(shù)只需求到小數(shù)第二位，然后判斷余數(shù)是否等于或大于除數(shù)的1/2，若余數(shù)大于等于除數(shù)的一半，就作“5入”處理（商的第二位小數(shù)加1），否則舍去。

（3）補(bǔ)商

在多位數(shù)除法運(yùn)算過程中，有時因估商偏小，乘減后才發(fā)現(xiàn)余數(shù)仍大于或等于除數(shù)。這時不必重新計算，可用補(bǔ)商來調(diào)整商數(shù)。商除法的補(bǔ)商方法是把試商加1，同時隔位減一次除數(shù)；試商補(bǔ)幾，就隔位減幾倍除數(shù)。

（4）退商

商除法運(yùn)算過程中，心算估商不僅可能偏小，有時還可能偏大，結(jié)果，當(dāng)減試商與除數(shù)的乘積時，會遇到中途不夠減的情況。這時也可以不必重新計算，而以退商的方法來調(diào)整試商。商除法的退商方法是：從試商上減去1，隔位加還已經(jīng)除過的那幾位除數(shù)，然后再用調(diào)整后的試商，去乘尚未乘減的那幾位除數(shù)，并將其積從被除數(shù)的相應(yīng)檔位中減去。

2）歸除法

（1）九歸口訣

歸除法是運(yùn)用口訣進(jìn)行除法運(yùn)算的，有九歸口訣、退商口訣和商九口訣，所以學(xué)習(xí)歸除法首先必須熟記和熟練使用這些口訣。這里只介紹九歸口訣。九歸口訣是根據(jù)被除數(shù)1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字分別除以1、2、3、4、5、6、7、8、9各數(shù)應(yīng)得的一位商數(shù)或應(yīng)余的余數(shù)編制而成的，所以，每句口訣中都包括除數(shù)、被除數(shù)、商數(shù)或余數(shù)，九歸口訣共61句。

一歸（用1除）：逢一進(jìn)一，逢二進(jìn)二，逢三進(jìn)三，逢四進(jìn)四，逢五進(jìn)五，逢六進(jìn)六，逢七進(jìn)七，逢八進(jìn)八，逢九進(jìn)九。

二歸（用2除）：逢二進(jìn)一，逢四進(jìn)二，逢六進(jìn)三，逢八進(jìn)四，二一添作五。

三歸（用3除）：逢三進(jìn)一，逢六進(jìn)二，逢九進(jìn)三，三一三余一，三二六余二。

四歸（用4除）：逢四進(jìn)一，逢八進(jìn)二，四二添作五，四一二余二，四三七余二。

五歸（用5除）：逢五進(jìn)一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。

六歸（用6除）：逢六進(jìn)一，逢十二進(jìn)二，六三添作五，六一下加四，六二三余二，六四六余四，六五八余二。

七歸（用7除）：逢七進(jìn)一，逢十四進(jìn)二，七一下加三，七二下加六，七三四余二，七四五余五，七五七余一，七六八余四。

八歸（用8除）：逢八進(jìn)一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六余二，八六七余四，八七八余六。

九歸（用9除）：逢九進(jìn)一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。

（2）運(yùn)算方法和步驟

①置數(shù)。如采用盤上公式定位法，將被除數(shù)從算盤左邊第二檔起撥入；如采用固定個位檔定位法，則按公式m－n的計算結(jié)果確定被除數(shù)的起撥檔。

②運(yùn)用口訣。用除數(shù)首位除被除數(shù)首位來求商數(shù)，即用九歸口訣來估商，這個商叫初商，要通過乘減后才是確定的商數(shù)。

③減積。從初商的右邊一檔起減初商與除數(shù)第二位直至末位各數(shù)的積，減積時應(yīng)做到“指不離檔”，每減一次手指往后移一檔，上一次乘減的個位檔即為下一次乘減的十位檔。

④定位記商。用盤上公式定位法（首檔無商，m－n；首檔有商，m－n＋1）或按固定個位檔定位法（m－n）進(jìn)行定位并記商，能除盡，算盤上的數(shù)即商數(shù)，不能除盡，按精確度要求取舍。

（3）補(bǔ)商

如果初商與除數(shù)首位以外的各數(shù)乘減后，商數(shù)右邊一檔起的余數(shù)首位大于或等于除數(shù)首位，則說明這個商數(shù)求得偏小了，需進(jìn)行補(bǔ)商。補(bǔ)商的方法是初商暫不與除數(shù)首位以外的各數(shù)相乘，而是先用“逢幾進(jìn)幾”口訣進(jìn)行補(bǔ)商，然后用補(bǔ)商后的商與除數(shù)首位以外的各數(shù)相乘，乘積從被除數(shù)中減去。

（4）退商

用九歸口訣求得的補(bǔ)商有時也會偏大，這時就得用退商口訣來退商。退商口訣如下：

這九句口訣無須死記硬背，只要理解即可。即當(dāng)余數(shù)不夠減初商與除數(shù)的乘積時，在初商中減1，再在補(bǔ)商的右一檔加上除數(shù)的首位數(shù)。退商的方法是在初商中減去1，再在商數(shù)右邊一檔起加還已經(jīng)與初商乘減過的前幾位除數(shù)（包括除數(shù)的首位數(shù)）。注意，從被除數(shù)或余數(shù)中減退商后的商數(shù)與未乘減過的除數(shù)的乘積時，要做到手指不離檔，即退一還除過數(shù)后，手指要指在最末位檔，退商后的商數(shù)與未乘減過的除數(shù)的乘積就從這一檔開始乘減。

（5）撞歸

當(dāng)除數(shù)和被除數(shù)首位相同，但除數(shù)第二位大于被除數(shù)第二位時，如使用九歸口決，會發(fā)現(xiàn)被除數(shù)不夠減除，這時，應(yīng)使用撞歸口訣。撞歸口訣共九句，如下所示。

這九句口訣無須死記硬背，只要理解其要領(lǐng)即可。即當(dāng)發(fā)現(xiàn)除數(shù)和被除數(shù)首位相等且除數(shù)第二位大于被除數(shù)第二位時，直接將被除數(shù)的首位數(shù)改作商數(shù)“9”，作為初商，并在下一檔加上除數(shù)的首位數(shù)，然后再從初商的右邊一檔起減初商與除數(shù)第二位直至末位各數(shù)的積。