一元函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率，描述了當(dāng)自變量變化時，函數(shù)的變化情況．對于二元函數(shù)z＝f（x，y），當(dāng)x，y同時變化時，函數(shù)的變化情況較為復(fù)雜．為此，我們先討論二元函數(shù)關(guān)于其中一個自變量的變化率．

定義1　設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在點（x0，y0）的某個鄰域內(nèi)有定義，如果把y固定在y0時，一元函數(shù)f（x，y0）在點x0處可導(dǎo)，即極限

存在，則稱此極限為函數(shù)z＝f（x，y）在點（x0，y0）處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為

類似地，把一元函數(shù)f（x0，y）在點y0處的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)z＝f（x，y）在點（x0，y0）處對y的偏導(dǎo)數(shù)，記為

如果函數(shù)z＝f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)每一點（x，y）處對x（或?qū)）的偏導(dǎo)數(shù)都存在，這個偏導(dǎo)數(shù)就是x，y的函數(shù)，稱為函數(shù)z＝f（x，y）對x（或?qū)）的偏導(dǎo)函數(shù)，記為

一般地，在不致混淆的情況下，偏導(dǎo)函數(shù)簡稱為偏導(dǎo)數(shù)．

偏導(dǎo)數(shù)的概念可推廣到二元以上的多元函數(shù)的情況．

根據(jù)定義，求函數(shù)對某一自變量的偏導(dǎo)數(shù)時，只要把其余自變量都看成常數(shù)，然后求這“一元”函數(shù)對這一自變量的導(dǎo)數(shù)．因此，關(guān)于一元函數(shù)求導(dǎo)的基本法則對求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然適用．

例1　求z＝2x2＋3xy－6y2在點（1，0）處的偏導(dǎo)數(shù)．

解法1　把y看成常數(shù)，對x求導(dǎo)得

將x看成常數(shù)，對y求導(dǎo)得

將（1，0）代入，就得

解法2　設(shè)f（x，y）＝2x2＋3xy－6y2，則

所以

證　因為

所以

解　把y看成常數(shù)，得

這種關(guān)于自變量的對稱性的概念和結(jié)果可推廣到二元以上的多元函數(shù)的情況．

證　把y和z看成常數(shù)，得

由于函數(shù)關(guān)于自變量是對稱的，故

所以

二元函數(shù)z＝f（x，y）在點（x0，y0）處的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義：

圖6.12

如果一元函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)，則f（x）在點x0處一定連續(xù)．但是，如果二元函數(shù)z＝f（x，y）在點（x0，y0）處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，只能說明函數(shù)在點（x0，y0）處沿著平行于坐標(biāo)軸的方向是連續(xù)的，并不能保證函數(shù)在點（x0，y0）處連續(xù)．

例如，函數(shù)

在點（0，0）對x的偏導(dǎo)數(shù)

在點（0，0）對y的偏導(dǎo)數(shù)

但由6.2例1知此函數(shù)在點（0，0）不連續(xù)．

二元函數(shù)z＝f（x，y）的兩個偏導(dǎo)函數(shù)fx（x，y），fy（x，y）仍是x，y的二元函數(shù)，因此可以繼續(xù)討論它們對x和y的偏導(dǎo)數(shù)．我們把fx（x，y）和fy（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)稱為f（x，y）的二階偏導(dǎo)數(shù)．

類似可定義其他三個二階偏導(dǎo)數(shù)：

其中fxy（x，y），fyx（x，y）稱為f（x，y）的二階混合偏導(dǎo)數(shù)．

類似地，可定義三階、四階、…、n階偏導(dǎo)數(shù)．我們把二階及二階以上偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)．

例5　求函數(shù)z＝x ln（xy）的二階偏導(dǎo)數(shù)．

例6　求函數(shù)z＝x4＋2xy2＋y3的二階偏導(dǎo)數(shù)．

在上面的兩個例子中，都有

也就是說，混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的先后次序無關(guān)．一般地，有如下定理：

一元函數(shù)y＝f（x）如果可微，則函數(shù)增量Δy可用自變量增量Δx的線性函數(shù)來近似．在實際問題中，有時需要研究二元函數(shù)中兩個變量都取得增量時因變量所獲得的增量，即全增量Δz＝f（x＋Δx，y＋Δy）－f（x，y）．與一元函數(shù)一樣，我們希望用自變量的增量Δx和Δy的線性函數(shù)來近似它．

定義2　設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在點（x，y）的某個鄰域內(nèi)有定義，給x一個增量Δx和y一個增量Δy，使得（x＋Δx，y＋Δy）也在該鄰域內(nèi)，如果函數(shù)在點（x，y）相應(yīng)的增量

可表示為

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點處都可微，則稱函數(shù)為D內(nèi)的可微函數(shù)．

由上述定義可知，若函數(shù)f（x，y）在點（x，y）處可微，則函數(shù)f（x，y）在點（x，y）處連續(xù)．

因為若函數(shù)f（x，y）在點（x，y）處可微，則由式（2）

從而

所以f（x，y）在點（x，y）處連續(xù)．

下面討論函數(shù)z＝f（x，y）可微分的條件．

定理2（可微的必要條件）　如果函數(shù)z＝f（x，y）在點（x，y）處可微，則函數(shù)在點（x，y）處的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx（x，y），fy（x，y）存在，并且

證　因為函數(shù)z＝f（x，y）在點（x，y）處可微，所以式（2）成立．令Δy＝0，這時ρ＝｜Δx｜，所以式（2）變?yōu)?/p>

f（x＋Δx，y）－f（x，y）＝AΔx＋o（｜Δx｜）．

上式兩邊同除以Δx，再令Δx→0，得

因而偏導(dǎo)數(shù)fx（x，y）存在且等于A．

同理可證fy（x，y）＝B．所以式（3）成立．證畢．

我們知道，一元函數(shù)在一點可微與可導(dǎo)是等價的．但對于二元函數(shù)，兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在時，雖然可形式地寫出fx（x，y）Δx＋fy（x，y）Δy，但它不一定是函數(shù)的全微分．

例如，函數(shù)

在點（0，0）處有fx（0，0）＝0及fy（0，0）＝0，但函數(shù)在點（0，0）處不連續(xù)，因而是不可微的．

由以上討論可知，偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的必要條件而不是充分條件．但當(dāng)兩個偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)時，函數(shù)就是可微的．

定理3（可微的充分條件）　如果函數(shù)z＝f（x，y）的兩個偏導(dǎo)數(shù)在點（x，y）處連續(xù)，則函數(shù)在點（x，y）處可微．

類似于一元函數(shù)的情形，通常將Δx，Δy分別記為dx，dy，并分別稱為自變量x，y的微分．這樣函數(shù)z＝f（x，y）的全微分可寫成

以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義和結(jié)論可以推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)．例如，如果三元函數(shù)u＝f（x，y，z）可微，則

例7　求函數(shù)z＝x2＋4xy2＋y2的全微分．

解　因為

所以

解　因為

在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們引入邊際和彈性的概念來分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點的變化率與相對變化率．這些概念也可以推廣到多元函數(shù)微分學(xué)中去，并被賦予更豐富的經(jīng)濟(jì)含義．例如，某種品牌的電視機(jī)營銷人員在開拓市場時，除了關(guān)心本品牌電視機(jī)的價格取向外，更關(guān)心其他品牌同類電視機(jī)的價格情況，以決定自己的營銷策略．即該品牌電視機(jī)的銷售量QA是它的價格PA及其他品牌電視機(jī)價格PB的函數(shù)QA＝f（PA，PB）．

例9　隨著養(yǎng)雞工業(yè)化程度的提高，雞肉價格（用PB表示）會不斷下降．現(xiàn)估計明年雞肉價格將下降5％，且豬肉需求量（用QA表示）對雞肉價格的交叉彈性為0.85，問明年豬肉的需求量將如何變化？

解　由于雞肉與豬肉互為替代品，故雞肉價格的下降將導(dǎo)致豬肉需求量的下降．

解?。?）QA對PA的彈性為

當(dāng)PA＝50，PB＝5時，

（2）QA對PA的交叉彈性為

當(dāng)PA＝50，PB＝5時，

由以上兩例可知，不同交叉彈性的值能反映兩種商品間的相關(guān)性，具體就是：當(dāng)交叉彈性大于零時，兩商品互為替代品；當(dāng)交叉彈性小于零時，兩商品為互補品；當(dāng)交叉彈性等于零時，兩商品為相互獨立的商品．

一般地，對函數(shù)z＝f（x，y）給出如下定義：

定義3　設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在（x，y）處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)對x的相對改變量

特別地，如果z＝f（x，y）中z表示需求量，x表示價格，y表示消費者收入，則ηx表示需求對價格的彈性，ηy表示需求對收入的彈性．

1．求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

（1）z＝x2－3xy－4y2－x＋2y＋1；

（5）u＝ln（1＋x＋y2＋z2）；

2．設(shè)f（x，y）＝x2y2－2y，求fx（2，3），fy（0，1）．

3．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：

（1）z＝x3y2－3xy3－xy；

（2）z＝xexsin y．

4．設(shè)f（x，y，z）＝xy2＋yz2＋zx2，求fxx（0，0，1），fxz（1，0，2），fyz（0，－1，0）．

6．求下列函數(shù)的全微分：

（1）z＝x2y＋y2；

（2）z＝exy；

（5）z＝x2y3，x＝2，y＝－1，Δx＝0.02，Δy＝0.01；

（6）z＝ln（1＋x2＋y2），x＝1，y＝2；

（7）u＝xyz．

7．X公司和Y公司是機(jī)床行業(yè)的兩個競爭對手．這兩家公司的主要產(chǎn)品的供給函數(shù)分別為PX＝1000－5QX；PY＝1600－4QY．X公司和Y公司現(xiàn)在的銷售量分別是100個單位和250個單位．

（1）X公司和Y公司當(dāng)前的價格彈性是多少？

（2）假定Y降價后，使QY增加到300個單位，同時導(dǎo)致X的銷售量QX下降到75個單位，試問X公司產(chǎn)品的交叉價格彈性是多少？