最容易通過數(shù)學(xué)分析求解的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即物體在與偏離平衡位置的位移大小成正比，方向總是指向平衡位置的回復(fù)力作用下的振動(dòng)。在現(xiàn)實(shí)中，很多系統(tǒng)的振動(dòng)不是嚴(yán)格的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但是任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以看作許多不同頻率不同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。本講將講述振動(dòng)疊加的原則和方法。

一、振動(dòng)疊加研究背景

17世紀(jì)的研究者奠定了處理振動(dòng)問題的物理基礎(chǔ)并提供了數(shù)學(xué)工具。到了18世紀(jì)，振動(dòng)力學(xué)已從物理學(xué)中獨(dú)立出來(lái)，最主要的成就為線性振動(dòng)理論的形成，它是與數(shù)學(xué)中的常微分方程和偏微分方程同步發(fā)展的。這一時(shí)期對(duì)振動(dòng)力學(xué)作出了貢獻(xiàn)的研究者幾乎都是數(shù)學(xué)家，離散系統(tǒng)振動(dòng)理論在18世紀(jì)中葉基本成熟。1747年歐拉（Euler）在研究空氣中聲傳播時(shí)也建立了等剛度彈簧聯(lián)結(jié)等質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的模型，他不僅列出了運(yùn)動(dòng)微分方程并求出精確解，而且發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的振動(dòng)是各簡(jiǎn)諧振動(dòng)振型的疊加，特定振型的出現(xiàn)取決于初始條件。

弦線振動(dòng)理論在18世紀(jì)建立。1746年D'Alembert在研究均勻弦線振動(dòng)時(shí)，同時(shí)考慮弦線位移隨時(shí)間和弦上位置的變化導(dǎo)出描述弦線振動(dòng)的波動(dòng)方程并求出行波解。1748年Euler沿用D'Alembert的方法處理了非光滑初始條件。1753年Daniel Bernoulli用無(wú)窮多個(gè)振動(dòng)模態(tài)的疊加得到弦線振動(dòng)的駐波解。

在研究振動(dòng)的過程中也遇到一些問題。在18世紀(jì)，振動(dòng)的研究多半由數(shù)學(xué)家完成，而振動(dòng)疊加的研究就更加像一個(gè)數(shù)學(xué)課題多于像一個(gè)物理課題，因此它需要更好的數(shù)學(xué)工具和證明。Daniel Bernoulli用無(wú)窮多個(gè)振動(dòng)模態(tài)的疊加得到弦線振動(dòng)的駐波解，但是在過程中其數(shù)字處理并不嚴(yán)格。1759年Lagrange從駐波解出發(fā)推導(dǎo)出行波解，從而在物理上充分理解了均勻弦線的振動(dòng)規(guī)律。直到1811年Fourier提出函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開，一種更為有效的數(shù)學(xué)工具才問世。

二、振動(dòng)疊加的數(shù)學(xué)描述及物理解析

1．同方向同頻率振動(dòng)的疊加

設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在直線上同時(shí)參與了兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這兩個(gè)獨(dú)立振動(dòng)的振動(dòng)方程分別表示為

x1=A1cos（ωt+φ1）（20-1）

x2=A2cos（ωt+φ2）（20-2）

它的合運(yùn)動(dòng)為x=x1+x2。

在振幅相同，即A1=A2=A時(shí)，由三角函數(shù)和差化積公式可得

容易看出式（20-3）表達(dá)的合振動(dòng)還是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但振幅變?yōu)?Acos，初相位變?yōu)?img class="h-pic" src="http://image.guayunfan.com/attached/image/20200309/19585/24d6ef3b-187e-4b6b-9591-91d7d0959e6d.jpg" alt="">。

在振幅不等時(shí)，用旋轉(zhuǎn)矢量來(lái)分析。如圖20-1所示，由于兩個(gè)振動(dòng)的頻率相同，則它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)中A1和A2之間夾角不隨時(shí)間變化，相當(dāng)于合振幅矢量A以相同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，且大小不變。從而我們得出，在振幅不同時(shí)，其合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由余弦定理可以得出合振幅大小為

圖20-1

由圖20-1中關(guān)系可得合振動(dòng)的初相位為

2．兩個(gè)同方向不同頻率振動(dòng)的疊加

若兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加，為簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)過程，取兩振動(dòng)的振幅、初相位相同。此時(shí)兩個(gè)振動(dòng)分別表示為

x1=Acos（ω1t+φ）（20-6）

x2=Acos（ω2t+φ）（20-7）

由和差化積公式有

若有|ω2-ω1|遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于ω1或ω2，將產(chǎn)生“拍”的現(xiàn)象，這時(shí)的合振幅將隨時(shí)間緩慢地發(fā)生周期性變化，如圖20-2所示。其變化周期為

振幅變化的頻率稱為拍頻，大小為

圖20-2

3．相互垂直振動(dòng)的疊加

若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)參與了兩個(gè)方向相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它的合運(yùn)動(dòng)一般而言為平面上的曲線運(yùn)動(dòng)。如果這兩個(gè)垂直方向的振動(dòng)頻率相同，則質(zhì)點(diǎn)在x，y方向的振動(dòng)方程可寫為

x=A1cos（ωt+φ1）（20-11）

y=A2cos（ωt+φ2）（20-12）

消除其中的時(shí)間因子之后，可以得到有關(guān)x，y的方程f（x，y）=0，即

式（20-13）就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程。從式（20-13）可以看出，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡由兩個(gè)垂直方向振動(dòng)的初相差決定。如果初相差為π的整數(shù)倍，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條直線，稱為線振動(dòng)；如果初相差為π／2的奇數(shù)倍，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓（或者圓），稱為橢圓振動(dòng)（A1=A2時(shí)為圓振動(dòng)）。除了消去時(shí)間因子，還可以用振幅矢量法分別作x，y方向的旋轉(zhuǎn)矢量圖，通過投影得出一個(gè)個(gè)軌跡點(diǎn)，連接起來(lái)之后同樣可以得到質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程，這一圖形稱為李薩如圖形。值得注意的是，這一運(yùn)動(dòng)不一定具有周期性，但兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率比是整數(shù)時(shí)，合運(yùn)動(dòng)仍為周期運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)是有規(guī)則的圖形。圖20-3是幾種典型頻率比、典型相位差情況下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，即部分李薩如圖。

由上面討論可以看出，對(duì)于同方向的振動(dòng)疊加，由于總位移等于各分位移的矢量和，所以給出有限多個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，都可以將它們相加來(lái)得到總位移，即x=xi，其中xi=Aicos（ωit+φi）。對(duì)于兩個(gè)方向不同的振動(dòng)疊加，要么消去時(shí)間因子，要么找對(duì)坐標(biāo)軸，用旋轉(zhuǎn)矢量法進(jìn)行投影找出坐標(biāo)后連接各點(diǎn)，兩種方法都可得到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。前一種方法所得結(jié)果是精確解，第二種方法做起來(lái)容易，但結(jié)果粗糙。但是第一種方法具有較高的要求，參數(shù)t一般是不易消去的，所以第二種方法更具有應(yīng)用上的廣泛性。

圖20-3

兩種方法都可以推廣到高維情況。若有n個(gè)不同方向的振動(dòng)，找出其中一組基x1，x2，…，xi（i≤n），若能夠消去時(shí)間因子得到關(guān)于這組基的方程f（x1， x2，…xi）=0，則這個(gè)方程就是質(zhì)點(diǎn)在n維空間的運(yùn)動(dòng)軌跡。同時(shí)，我們可以將對(duì)應(yīng)的振動(dòng)在這組基上用旋轉(zhuǎn)矢量法投影得出坐標(biāo)，所有點(diǎn)的集合就是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

三、振動(dòng)疊加的其他表示形式及優(yōu)缺點(diǎn)

若質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了n個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合運(yùn)動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。若它的振幅相等，相位差依次有一恒定值δ。則可以有復(fù)數(shù)形式的計(jì)算，設(shè)分振動(dòng)為

xj=Acos［ωt+（j-1）δ］（j=0，1，2，…，n）

其有復(fù)數(shù)形式

xj=Ae-i（ωt+（j-1）δ）（j=0，1，2，…，n）

合運(yùn)動(dòng)為

所以，合成振動(dòng)的三角函數(shù)表達(dá)式為

從這個(gè)結(jié)論容易看出，n個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。復(fù)數(shù)形式來(lái)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在振動(dòng)個(gè)數(shù)很多的時(shí)候可以輕易地將三角函數(shù)求和轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列求和，大大簡(jiǎn)化了問題，最后的結(jié)論簡(jiǎn)潔明了。缺點(diǎn)在于這種形式處理數(shù)據(jù)時(shí)，對(duì)分振動(dòng)的要求很高，不具有普遍適用性。

四、振動(dòng)疊加理論的意義及影響

振動(dòng)疊加的理論在信號(hào)的處理當(dāng)中十分重要。通常得到的信號(hào)都是許多簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加起來(lái)的，但是我們所需要的只是其中一部分，這時(shí)就需要把其余的信號(hào)過濾掉，這里所運(yùn)用的就是振動(dòng)疊加和分解的知識(shí)。一般地，運(yùn)用傅里葉變換將時(shí)域上的振動(dòng)轉(zhuǎn)換為頻域上的信號(hào)，這樣連續(xù)的振動(dòng)就轉(zhuǎn)換為離散的一條條線段，便于將需要的信號(hào)從噪聲中分離出來(lái)。

我們首次使用振動(dòng)疊加是在超聲波波長(zhǎng)的測(cè)量這一物理實(shí)驗(yàn)中。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，用反射面制造兩個(gè)平行的平面，其中一個(gè)作為聲源，另一個(gè)為反射面。這樣在聲源處可以接收到兩個(gè)振動(dòng)，分別作為x，y方向的振動(dòng)。將這兩個(gè)振動(dòng)疊加就可在示波器上顯示出李薩如圖。進(jìn)一步移動(dòng)反射面，當(dāng)示波器上第二次出現(xiàn)相同的李薩如圖時(shí)，兩者之間距離的差就是超聲波的波長(zhǎng)。

五、課后習(xí)題

20-1 已知兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為x1=5cos 與x2=6cos ，振動(dòng)位移單位為m，求：

（1）合振動(dòng)的振幅及初相位；

（2）設(shè)另一同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為x3=7cos（10t+φ3），問初相位為何值時(shí)，x1+x3的振幅最大、最??？

20-2 質(zhì)點(diǎn)參與下列互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：

請(qǐng)說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡。