酷知識?靠譜的濃度

為什么名校里也有許多不靠譜的人？

feng

先引用美國物理學(xué)家費(fèi)曼 Feynman 的一句話：

When I was at Cornell, I was rather fascinated by the student body, which seems to me was a dilute mixture of some sensible people in a big mass of dumb people.

翻譯：

「當(dāng)我在康奈爾大學(xué)的時候，我覺得學(xué)生群體很有意思。他們仿佛是一些靠譜的人被稀釋在人數(shù)巨大的傻缺群中?！?/p>

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我有幸也曾經(jīng)求學(xué)于美國西岸一所名校。在那里讀書的日子里，有些遭遇也讓我不禁疑惑：我靠，似乎什么人都能進(jìn)這所聞名世界的學(xué)府呀。后來用數(shù)學(xué)推算一下，倒也不奇怪了。

「名校不靠譜同學(xué)」這個現(xiàn)象，可以用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的 type I & type II error 來解釋。這個概念又可以被稱作假陽性（false positive）、假陰性（false negative）。簡單來說，就是誤把正的判斷成反的，和誤把反的判斷成正的這兩種錯誤。

這兩種誤判往往有著內(nèi)在，不可調(diào)和的對立。當(dāng)你試圖減低其中一種誤判的時候，往往不可避免要增加另一種誤判的概率。比如，如果你把每一個嫌疑犯都判為有罪的話，你就不會漏掉真兇，但是你也很可能錯殺不少無辜。反之你如果假設(shè)所有人都無罪的話，固然不會冤枉好人，但是也放過不少罪犯。

我們假設(shè)那些申請名校的人，或者說社會上，不靠譜的人本來就很多，比如 95% 的人都是不靠譜的。而名校的錄取過程是為了盡量篩除這些不靠譜的人，留下那 5% 靠譜的同學(xué)。但是名校的申請過程肯定是不完美的，比如會有以下情況：

靠譜同學(xué)被錄取的概率：80%

不靠譜卻被錄取（admissions mistake）的概率：10%

靠譜同學(xué)的錄取率是不靠譜同學(xué)錄取率的 8 倍之多，按說這已經(jīng)是一個不錯的錄取流程了。但是我們來看看結(jié)果。假設(shè)有 1000 人申請。根據(jù)剛才的假設(shè)，其中

1000 * 95% = 950 人是不靠譜的。其中被錄取的

950 * 10% = 95 人

而靠譜的同學(xué)數(shù)：

1000 * 5% = 50 人，其中被錄取的：

50 * 80% = 40 人

最后錄取總?cè)藬?shù)：

95 + 40 = 135 人，其中不靠譜的人數(shù)占比

95/135 = 70%

而這是一個總錄取比例僅有 13.5% （差不多是 Cornell 的水平），并且能夠相當(dāng)準(zhǔn)確甄別靠譜與不靠譜申請者的學(xué)校。

所以，名校中也有大量不靠譜的人存在，只是濃度比社會均值低了一些而已。其根本原因是名校再仔細(xì)的篩選機(jī)制，也架不住潮水般的龐大的社會上的傻缺群體。雖然盡可能降低誤判概率，但是那些漏網(wǎng)的傻缺也足以讓名校中的靠譜同學(xué)稀釋在茫茫的傻缺海洋中了。這也導(dǎo)致了回答開頭所引用的費(fèi)曼先生那句話。

另外，多學(xué)習(xí)基本的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)常識，受益終身。大家可以設(shè)想另一個（非常真實(shí)的）例子。假設(shè)有一種罕見的絕癥可以通過體檢檢查出來。正常人群中，這個絕癥的發(fā)病率是 0.1%。如果你身懷該絕癥，被查出的概率是 99.9%；如果你是健康的，卻被誤判成患有該絕癥的概率是 0.1%（這也就是剛才說的 false positive）。按說這個檢查已經(jīng)是非常準(zhǔn)確了。

假設(shè)你是一個普通人，體檢中發(fā)現(xiàn)是陽性。你其實(shí)健康的概率是多少？

這里我就不具體推算了。計(jì)算方法跟剛才的 「名校傻缺」同。結(jié)果是 50%。這不能算什么好消息，但至少還不是一個已經(jīng)絕望的地步。在你決定把你的余生盡情揮霍和享樂之前，你至少應(yīng)該再去測試一次。

不過這 50% 前提是「你是一個普通人」。如果你是屬于該疾病的高危人群，那么就不是這個結(jié)果了。這就涉及 Bayesian statistics 中所說的 prior。而我們的整個推算也是遵循了 Bayesian statistics 的思維。這一切都沒什么難的（樓下一位留言說是初中生可以理解的。我同意）。但是據(jù)說美國曾經(jīng)把上面這道有關(guān)假陽性的題考了考醫(yī)生，大多數(shù)不能夠正確解答。這說明了基本的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識是多么的欠缺，哪怕在受過高度教育的人中。

不要成為這樣一個人。學(xué)好數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)。這可能在你人生的某個時刻，讓你做出關(guān)乎生死存亡的正確決定。

2014-07-08