《哥德?tīng)?、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成》一?shū)的作者曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，他小時(shí)候曾經(jīng)有一個(gè)最讓他激動(dòng)的想法：3﹢3﹢3，用3個(gè)3和自身運(yùn)算！

但我小時(shí)候并不覺(jué)得這很令人激動(dòng)，因?yàn)槲液茉缇椭溃?個(gè)3相加就是3乘以3。但我好奇的是，這會(huì)有什么樣的應(yīng)用題呢？每次買 3個(gè)蘋(píng)果，連續(xù)買了 3次，問(wèn)一共買了多少個(gè)蘋(píng)果？這聽(tīng)上去似乎不太自然。

后來(lái)我才知道，長(zhǎng)方形的面積計(jì)算就是乘法應(yīng)用最常見(jiàn)的例子。而倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)更是讓我大開(kāi)眼界——在比較兩個(gè)相差甚遠(yuǎn)的數(shù)量時(shí)，我們可以利用乘法的關(guān)系，直接使用“我比你多多少倍”的句型！

于是我自然往下想了下去，如果拿3個(gè)3和自己相乘，會(huì)得到什么呢？后來(lái)我知道了乘方的概念。乘方，或者叫冪，這個(gè)概念并不是自古就有的。古希臘人發(fā)明了平方和立方，但只用于面積、體積的計(jì)算。在當(dāng)時(shí)，4 次方、5 次方是沒(méi)有任何實(shí)際意義的。隨著人類文明的進(jìn)步，人們需要應(yīng)付的數(shù)字也越來(lái)越龐大。重復(fù)對(duì)折紙張、增長(zhǎng)率的疊加和賭博游戲中的翻番都會(huì)涉及相同數(shù)量的連乘。于是，到了文藝復(fù)興時(shí)期，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始用乘方來(lái)表示把同一個(gè)數(shù)連乘多次的結(jié)果，a^b就表示b個(gè)a相乘。和科技、建筑、能源、生產(chǎn)力一樣，發(fā)明大數(shù)記號(hào)也成了人類歷史中不可缺少的一環(huán)。

利用乘方的記號(hào)，我們已經(jīng)能表示宇宙中幾乎所有有意義的數(shù)了，整個(gè)宇宙的基本粒子數(shù)量也不過(guò)10⁸⁰。

但不知大家是否曾想過(guò)，乘方之上究竟是什么？

很容易想到，比乘方更大一級(jí)的運(yùn)算就是把b個(gè)“a次方”重疊起來(lái)。不過(guò)，這里我們卻遇到了一個(gè)之前不曾遇到的問(wèn)題：究竟應(yīng)該等于，還是？我們不妨親自算一算，不同算法得到的結(jié)果相差有多遠(yuǎn)：

難道用兩種不同的計(jì)算順序得到的結(jié)果總是相同的嗎？換a＝3試試：

哇，這下可就差遠(yuǎn)了。可以想象，如果把“a次方”再多迭代幾次，從右往左算和從左往右算會(huì)差得更多?？植赖氖?，我們通常約定，當(dāng)有多重指數(shù)時(shí)，運(yùn)算正是按照從右往左算的順序進(jìn)行的。試想，若有一種運(yùn)算專門用來(lái)表示b個(gè)a構(gòu)成的指數(shù)塔，這種運(yùn)算的威力會(huì)有多大。

1947年，當(dāng)英國(guó)數(shù)學(xué)家魯本·古德斯坦（Reaben Goodstein）研究前一節(jié)提到的那個(gè)序列時(shí)，他遇到了一些連乘方也無(wú)法表達(dá)出來(lái)的大數(shù)。于是，古德斯坦便正式提出了這種超越乘方的運(yùn)算。他把b個(gè)指數(shù)a迭代的結(jié)果記為^ba，也就是把b放在a的左上角（見(jiàn)圖 1）。這也就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的“超級(jí)冪”。在國(guó)外的一些論壇上，有時(shí)也能看見(jiàn)a^^b的表示方法，便于在純文本格式下傳播。

不過(guò)，當(dāng)時(shí)古德斯坦并沒(méi)有用超級(jí)冪（superexponentiation）一詞，而是用的tetration一詞。這是由前綴“四”（tetra-）和迭代（iteration）一詞合成的，意即排在加法、乘法、乘方之后的第四級(jí)運(yùn)算。事實(shí)上，tetration比superexponentiation更常用一些。網(wǎng)上甚至有一個(gè)tetration論壇，論壇里活躍著一群熱愛(ài)tetration的數(shù)學(xué)玩家。

圖1

超級(jí)冪是一個(gè)極為厲害的運(yùn)算，它的增長(zhǎng)速度非常驚人。在很小的數(shù)之間進(jìn)行超級(jí)冪運(yùn)算，就有可能得到一個(gè)巨大的天文數(shù)字。³2等于＝16，而⁴2就等于＝65536。那么，⁵2等于多少呢？它應(yīng)當(dāng)?shù)扔?的65 536次方，其結(jié)果是一個(gè)上萬(wàn)位的數(shù)。那⁶2呢？¹⁰⁰100呢？大家自己去想象吧。

這時(shí)，我們仿佛重新遇到了我小學(xué)時(shí)代的困惑：超級(jí)冪有什么用途？我們能用超級(jí)冪編出什么應(yīng)用題來(lái)？剛才說(shuō)到，古希臘人生活太簡(jiǎn)單，不知道乘方有什么實(shí)際意義?，F(xiàn)在，我們自己似乎也變成了窘迫的古希臘人。是否隨著人類文明的進(jìn)一步發(fā)展，未來(lái)人會(huì)隨手使用超級(jí)冪，并在某本數(shù)學(xué)書(shū)上分析 21世紀(jì)的人類為什么還要如此吃力地發(fā)明超級(jí)冪呢？我覺(jué)得有可能，不過(guò)這并不重要?，F(xiàn)在的我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力并不是解釋生活中的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力是數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科本身。超級(jí)冪在生活中沒(méi)有實(shí)際意義，并不妨礙我們發(fā)明超級(jí)冪這個(gè)記號(hào)。

人類的想象力是無(wú)止境的。即使超級(jí)冪已經(jīng)大到?jīng)]有任何實(shí)際意義的地步，大家還是會(huì)問(wèn)，再把“a次超級(jí)冪”迭代b層（注意運(yùn)算順序仍是從最深那一層開(kāi)始），又會(huì)得到什么？是否就得到了第五級(jí)的運(yùn)算呢？或許你馬上就意識(shí)到了，這樣擴(kuò)展上去是沒(méi)有盡頭的，每一級(jí)運(yùn)算迭代之后都能產(chǎn)生更高一級(jí)的運(yùn)算。雖然此時(shí)腦子已經(jīng)有點(diǎn)亂了，但是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)格性和理想性告訴我們，利用某種清晰的數(shù)學(xué)符號(hào)和遞歸法則，我們一定有辦法定義出等級(jí)越來(lái)越高的運(yùn)算來(lái)。

圖2

古德斯坦厲害就厲害在這兒。他定義了古德斯坦記號(hào)G（n，a，b），以此表示a與b之間的第n級(jí)運(yùn)算。當(dāng)n＝0時(shí)，規(guī)定G（0，a，b）＝b﹢1。也就是說(shuō)，第0級(jí)運(yùn)算是一個(gè)一元運(yùn)算——自然數(shù)的后繼。當(dāng)n＝1時(shí)，規(guī)定邊界值示對(duì)G（1，a，0）的值進(jìn)行上一級(jí)操作（后繼操作），并重復(fù)迭代b次，其結(jié)果也就是a加上b。一般地，有：

G（n，a，b）＝G（n-1，a，G（n，a，b-1））

其中邊界值為：

……

這就形式化地給出了第n級(jí)運(yùn)算的意思。

其實(shí)，類似的東西不止一次地被提出過(guò)。高德納（Knuth）箭頭記號(hào)也是一種常用的大數(shù)表示方法，其思想與古德斯坦記號(hào)幾乎完全一樣。阿克曼（Ackermann）函數(shù)也是一個(gè)神速增長(zhǎng)的函數(shù)，它的定義也有異曲同工之處。很多外文數(shù)學(xué)論壇則用a［n］b來(lái)表示a與b之間的第n級(jí)運(yùn)算，是我比較喜歡的一種符號(hào)。

當(dāng)然，有a［n］b，必然會(huì)有a［a［n］b］b，從而又會(huì)有a［a［a［n］b］b］b……沒(méi)有最大的數(shù)，只有更大的數(shù)。人腦和數(shù)學(xué)是兩個(gè)神奇的東西，沒(méi)有什么數(shù)大到人腦想不出來(lái)，也沒(méi)有什么數(shù)大到數(shù)學(xué)表示不出來(lái)。僅僅在腦中試想一下100［100］100，你的思維就已經(jīng)超越了整個(gè)宇宙的大小了。