最速下降線

Brachistochrone

伽利略在1630年提出一個(gè)問題：“一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，從一個(gè)給定點(diǎn)到不在它垂直下方的另一點(diǎn)，如果不計(jì)摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時(shí)間最短？”他說這曲線是圓，可是這是一個(gè)錯(cuò)誤的答案。瑞士數(shù)學(xué)家約翰.伯努利在1696年再次提出這個(gè)最速下降線的問題（problemofbrachistochrone），征求解答。次年已有多位數(shù)學(xué)家得到正確答案，其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達(dá)和伯努利家族的成員。這個(gè)問題的正確答案是連接兩個(gè)點(diǎn)上凹的唯一一段旋輪線。

圖1　最速下降線演示儀

實(shí)驗(yàn)裝置

本演示儀器有三條固定的軌道：一條直線、一條任意曲線和一條下凹的擺線，擺線看上去似乎是最長的。這三條軌道的起點(diǎn)和終點(diǎn)是完全相同的，如圖1所示。

現(xiàn)象觀察

把三個(gè)球分別放在三條軌道頂端的擋板前，用手拿開擋板，三球從頂端同時(shí)下滑。結(jié)果表明，雖然下凹曲線軌道的路線最長，但沿著它下降的球反而最先到達(dá)終點(diǎn)。

現(xiàn)象解密

物體沿軌道下降的速度不僅取決于軌道的長度，而且還與軌道的形狀有關(guān)。重力的作用使三個(gè)球下落，球所受重力沿運(yùn)動(dòng)軌跡切線方向的分量越大，下落的速度就越快。而擺線軌跡是一條圓滾曲線，重力在它陡峭的切線方向上的分量比較大，球下落速度比較快，先到達(dá)終點(diǎn)；而直線和另一條曲線的軌道雖然短，但球下落的速度較擺線上的球慢，后到達(dá)終點(diǎn)。

那么，這條最速下降線的軌跡又是什么呢？

圖2　A、B固定的折線路徑

假設(shè)球與軌道間無摩擦力，球下落的運(yùn)動(dòng)路徑為如圖2所示的AOB。若小球由A到O的速度是V₁，由O到B的速度是V₂，則從A到B所花的時(shí)間：

所花時(shí)間最短，需取極值，即滿足

由此可得

如果路徑變成如圖3的折線，

圖3　A、B固定的多折線路徑

因?yàn)?img class="row2" src="http://image.guayunfan.com/attached/image/20200309/19377/c701ae39-3b97-425e-b914-f1c2599cf20f.jpg" alt="img83">

同理可得

所以

如果將A、B之間的路徑越折越多，即越切越細(xì)，則可以發(fā)現(xiàn)，在每一點(diǎn)會(huì)有=k，這里k為常數(shù)。

又因?yàn)槊恳稽c(diǎn)的V=，這里取y向下為正，如圖4所示。

圖4　A、B固定的曲線路徑

得

由此可得

其中c為常數(shù)。

令

可得

因此

積分得

由初始條件

圖5　旋輪線

所以c₁=0

代入得

再令

最后得

這是旋輪線方程，如圖5所示。因此結(jié)論是：最速下降線的軌跡是旋輪線。

知識拓展

當(dāng)一個(gè)圓沿著一條直線滾動(dòng)時(shí)，圓邊上一點(diǎn)的軌跡叫做旋輪線或擺線。擺線具有很重要的性質(zhì)：等時(shí)性。即若一質(zhì)點(diǎn)從一段擺線任意點(diǎn)出發(fā)，在重力作用下沿?cái)[線向下滑，則此質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最低點(diǎn)所需的時(shí)間與出發(fā)點(diǎn)的位置無關(guān)。擺線另一有趣的性質(zhì)是：質(zhì)點(diǎn)在重力場中沿著擺線從高處某一點(diǎn)滑到低處的另一點(diǎn)所用的時(shí)間，比沿著任何曲線（包括直線）在同樣兩點(diǎn)間滑下的時(shí)間都短。所以擺線也稱為最速下降線。

這個(gè)解答所蘊(yùn)含的基本觀點(diǎn)的發(fā)展，導(dǎo)致了一門新學(xué)科——變分學(xué)的產(chǎn)生。歐拉從現(xiàn)實(shí)生活中的極大、極小問題提煉出數(shù)學(xué)問題和解題技巧，創(chuàng)立了“變分學(xué)”這一新的數(shù)學(xué)分支。要得到最速下降線問題的完備解答，需要用到變分學(xué)的知識。

思考題

1.最速下降線軌道的參數(shù)方程是什么？

2.你能夠運(yùn)用變分學(xué)知識，求出質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，從一個(gè)給定點(diǎn)到不在它垂直下方的另一點(diǎn)的最快時(shí)間嗎？

3.在騎自行車的時(shí)候，車輪上粘著一張?zhí)羌?，糖紙的運(yùn)動(dòng)軌跡就是最速下降線的軌跡，為什么？