神奇的黃金分割的發(fā)現(xiàn)

“黃金”象征著貴重，黃金分割有著廣泛的應(yīng)用。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對五星圖懷有特別的敬意，他們把五星圖作為學(xué)派的章。傳說，他們有條“幫規(guī)”，凡畢氏學(xué)派成員都要佩帶五星圖的紀(jì)念章，人們推測，可能是因為他們掌握了正五邊形和五星圖的作圖方法引以自豪。

畢氏學(xué)派在研究五星圖的過程中，發(fā)現(xiàn)了五星圖的一種奧秘:在正五邊形中，相鄰頂點的兩條對角線(也就是五星圖的兩條邊)互相將對方分割成一長一短兩部分，它們滿足一種和諧的關(guān)系式:

全線段:較長的=較長的:較短的，而且較長的一段正好等于正五邊形的邊長。

如圖:AC與BE相交于G，互相將對方分割成一長一短兩部分，我們不難看出:

等腰△AEB～等腰△FEA

∴EB∶EA=EA∶EF

又因為EA=EG，EF=GB

∴EB∶EG=EG∶GB

同理可證CA∶CG=CG∶GA

這樣，畢氏學(xué)派發(fā)現(xiàn)了線段的一種“奇妙分割”法，如圖，在線段AB上取一點P，把AB分成AP、PB兩段，且滿足

AB∶AP=AP∶PB

他們采用如下幾何方法將線段AB進(jìn)行這種分割:

以AB為一邊作正方形ABCD(如圖)，取AD的中點為E，延長DA至F，使EF=EB。作正方形AFGP，則點P即為所求的“奇妙分割”的分點(讀者不難自己證明)。

數(shù)學(xué)史家推測，畢氏學(xué)派畫五星圖就是以這種“奇妙分割”作依據(jù)的。

大約在畢達(dá)哥拉斯之后150多年，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯深入研究了上述“奇妙分割”。歐多克斯是柏拉圖的學(xué)生，對天文、幾何、醫(yī)學(xué)和法律等方面都做出不少貢獻(xiàn)。在數(shù)學(xué)方面，他最大的功勞是，創(chuàng)立了比例論。歐幾里得《幾何原本》第五卷《比例論》大部分是引用了歐多克斯的成果。歐多克斯的比例論完全排除了畢達(dá)哥拉斯的限制，把可公度線段的比與不公度線段的比都包括在內(nèi)。他從比例論的角度研究畢氏學(xué)派的“奇妙分割”，并把這樣分割中較短線段與較長線段之比叫做“中外比”。因為點P將AB分成兩部分，其中較長部分是全線段與較短部分的比例中項。歐多克斯發(fā)現(xiàn)這種線段之間的中外比例關(guān)系存在于許多圖形中。最有趣的是，五星圖中的每一條線段，都跟比它稍長的那條線段形成“中外比”。歐多克斯避免把無理數(shù)當(dāng)作數(shù)，他不用數(shù)表達(dá)比。對于線段長度、角的大小及其他的量和量的比，都避免給予數(shù)值。因此，他沒有給出“中外比”的數(shù)值。

文藝復(fù)興時期的歐洲，由于繪畫藝術(shù)的發(fā)展，促進(jìn)了對“奇妙分割”的研究。當(dāng)時，出現(xiàn)了好幾位身兼幾何學(xué)家的畫家，著名的有帕奇歐里、丟勒、達(dá)·芬奇等人。他們把幾何學(xué)上圖形的定量分析用到一般的繪畫藝術(shù)，從而給繪畫藝術(shù)確立了科學(xué)的理論基礎(chǔ)。

1525年丟勒制定了一種繪圖的比例法則，其間揭示了中外比在繪畫中的重要地位。丟勒認(rèn)為，在所有矩形中，短邊與長邊滿足中外比的矩形最美觀。因為這樣的矩形，“以短邊為邊，在這個矩形中分出一個正方形后，余下的矩形與原來的矩形相似，仍是一個服從中外比的矩形”，這使人們產(chǎn)生一種“和諧”的感覺。帕奇歐里首先把“中外比”稱為“神圣比例”。并在1509年出版的《神圣比例》一書中論述了它，中外比被披上了神秘的外衣。后來達(dá)·芬奇把欣賞的重點轉(zhuǎn)到使線段構(gòu)成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黃金分割”這一名稱。

黃金分割中的分點叫做“黃金分割點”?！爸型獗取庇纸小包S金比”，從古希臘直到現(xiàn)在都有人認(rèn)為這種比例在造型藝術(shù)中有美學(xué)價值。如工藝美術(shù)或日用品的長和寬的設(shè)計中常用這比例，舞臺上的報幕員站在舞臺寬度的黃金分割點的位置時最美觀、最佳;古代的不少建筑物，其高與寬的比也是黃金比。在中世紀(jì)，黃金比被作為美的信條而統(tǒng)治著當(dāng)時歐洲的建筑和藝術(shù)。

自從無理數(shù)被確認(rèn)后，人們有可能給出黃金比的數(shù)值。

設(shè)AB=l，AP=a，則PB=l－a

∵

∴a³+al－l²=0

∴a=(考慮到a＜l)

可見黃金比。人們把這個數(shù)叫做“黃金數(shù)”。前面我們已經(jīng)看到黃金數(shù)與斐波那契數(shù)有關(guān)，它還與優(yōu)選法有關(guān)。優(yōu)選法中普遍常用的方法是0.618法，所謂0.618就是黃金的近似值，因此，0.618法也稱為黃金分割法。

現(xiàn)代醫(yī)學(xué)研究還表明，黃金比對人們自我保健有重要作用:人生存的最佳氣溫約23℃，它恰巧是正常體溫(37℃)的0.618倍;吃飯最好只吃六、七成飽;攝入的飲食最好是“六分粗，四分精”;運(yùn)動與靜養(yǎng)的比例關(guān)系最好是“四分動，六分靜”。