劉徽發(fā)明“重差術(shù)”

劉徽是我國三國時(shí)代的魏國人，可能是山東人。他曾從事度量衡考校工作，研究過天文歷法，但主要是研究數(shù)學(xué)。

劉徽自幼就學(xué)習(xí)《九章算術(shù)》，對(duì)該書有獨(dú)到的研究，他不迷信古人，對(duì)《九章算術(shù)》中許多問題的解法不滿意，于公元263年完成了《九章算術(shù)注》，對(duì)《九章算術(shù)》的公式和定理給出了合乎邏輯的證明，對(duì)其中的重要概念給出了嚴(yán)格的定義，為我國古代數(shù)學(xué)建立了完備的理論。

劉徽創(chuàng)造了一種測(cè)量可望而不可即目標(biāo)的方法，叫做“重差術(shù)”。重差術(shù)也叫“海島算經(jīng)”，附在《九章算術(shù)》之后，共有九個(gè)問題。

劉徽說:“凡望極高，測(cè)絕深而兼知其遠(yuǎn)者必用重差，勾股則必以重差為率，故曰重差也?！边@段話的意思是，重差用于測(cè)不可到達(dá)物的距離。用兩次測(cè)量之差，再利用相似比來進(jìn)行計(jì)算。

“海島算經(jīng)”的第一個(gè)問題是“測(cè)海島高及距離?！鳖}目原文是:

“今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，今后表與前表參相直。從前表卻行123步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻行一127步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高及去表各幾何?！卑船F(xiàn)代數(shù)學(xué)浯言譯出，就是:“為了求出海島上的山峰AB的高度，在D和E處樹立標(biāo)桿DC和EF，標(biāo)桿高都是3丈，兩標(biāo)桿相距1000步，AB、CD和EF在同一平面內(nèi)。從標(biāo)桿DC退后123步到G點(diǎn)，看到島峰A和標(biāo)桿頂端C在一條直線上;從標(biāo)桿FE退后127步到H點(diǎn)，也看到島峰A和標(biāo)桿頂端正在一條直線上。求島峰高AB及水平距離BE?！?/p>

為解此題，可令標(biāo)桿高為h，兩標(biāo)桿的距離為d，第一次退a₁，第二次退a₂。又設(shè)島高為x，BE為y。

按劉徽的作法是，作EL∥AG交BH于L點(diǎn)。

∵△ELH～△ACE

△EHF～△AEK

∴

∴

已知EC=DF=d，HL=FH－FL=FH－DG=a₂－a₁，EF=h，可得:

又∵△CDG～△AKC

∴

已知KC=yDG=a₁AK=CD=h所以

在上面公式里是兩個(gè)差數(shù)之比，所以叫重差術(shù)，也有人說因?yàn)閮纱斡玫牟頰₂－a₁，所以叫重差。

劉徽也得到了上面的公式，其公式為:

島高=

其中“表”就是標(biāo)桿，“卻行”就是后退。

將“海島算經(jīng)”第一題的數(shù)據(jù)代入公式，可得x=1506步，y=30750步。

“海島算經(jīng)”本來不獨(dú)立成書，是附在《九章算術(shù)》中“勾股”章后面的一個(gè)附錄，主要講用勾股定理進(jìn)行測(cè)量的補(bǔ)充和發(fā)展。到公元7世紀(jì)唐朝初年，才從《九章算術(shù)》中抽出來成為一部獨(dú)立著作。因?yàn)榈谝活}是關(guān)于測(cè)量海島的高和遠(yuǎn)，所以起名《海島算經(jīng)》。

現(xiàn)傳本《海島算經(jīng)》的九個(gè)問題中，有三個(gè)問題需要觀測(cè)兩次;有四個(gè)問題要觀測(cè)三次;還有兩個(gè)問題要觀測(cè)四次。所有的觀測(cè)和計(jì)算，都是應(yīng)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行的，雖然沒有引入三角函數(shù)，但是利用線段之比，同樣可得結(jié)果。

重差術(shù)是我國數(shù)學(xué)上的一個(gè)創(chuàng)造。