奇妙的數(shù)字

數(shù)字花絮

十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，像五彩繽紛的花絮。四種運(yùn)算符號(hào)＋、－、×、÷，如變幻多姿的魔棒。數(shù)字與符號(hào)的組合分化，則構(gòu)建一道道迷人的風(fēng)景線，它牽動(dòng)著多少智者的神經(jīng)，激蕩起幾多想像和思考。

一代代人的耕耘培育，使數(shù)學(xué)園地繁花似錦，光彩奪目。這里的每一個(gè)數(shù)字都是一朵彩色的花瓣，這里的每一道問題都誘發(fā)出迷人的魅力。一些題隱去了數(shù)字，只呈現(xiàn)一片虛幻的空白。每一塊空白又都是一個(gè)等待回答的問號(hào)，撲朔迷離，直令人魂?duì)繅?mèng)繞。

再?zèng)]有比“懸念”更能激發(fā)思考了！空白虛幻之中卻又隱藏種種技巧。數(shù)字趣題雖沒有像應(yīng)用題、故事或游戲趣題那樣的事件、情節(jié)，往往只透露一點(diǎn)點(diǎn)信息，卻要求從已知的點(diǎn)滴信息中，推出它的整體面貌。它像一團(tuán)霧，像一個(gè)謎，雖然一時(shí)看不清，抓不住，卻又有著實(shí)實(shí)在在的答案。這樣，就更加激人深思，引人思考。一經(jīng)入目，必欲弄個(gè)水落石出。

數(shù)字趣題中，有的是在一個(gè)算式中只保留部分?jǐn)?shù)字，而將另一些數(shù)字隱去，只用“□”、“☆”或其他文字符號(hào)來替代。要求根據(jù)已有的數(shù)字，運(yùn)用分析、推理，將被隱去的數(shù)字復(fù)原，使算式完整，成立。這種趣題，在我國(guó)古代稱為“蟲蝕算”，意思是，本來很完整的算式，被書蟲啃蝕了，因而，數(shù)字便殘缺不全。有的只提供一些數(shù)字，要求添加運(yùn)算符號(hào)或巧妙組合，使它們符合規(guī)定的條件。

有的是通過數(shù)字的排列組合出現(xiàn)一些奇妙的有規(guī)律的現(xiàn)象。如幻方、數(shù)陣，它們縱橫或周邊，在同一直線上的各個(gè)數(shù)字之和，都為同一數(shù)值，奇幻迷人。

數(shù)字趣題，依其表現(xiàn)形式，常見的有以下數(shù)種：

1．豎式謎

2．橫式謎

3．填空謎

4．幻方

5．?dāng)?shù)陣

解數(shù)字謎，要根據(jù)四則運(yùn)算的法則、規(guī)律，對(duì)照已知條件，理清數(shù)與數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，先易后難，由此及彼，使被隱去或要求填寫的數(shù)字，一個(gè)一個(gè)地暴露出來。從而撥開迷霧，顯出“廬山真面目”?；梅胶蛿?shù)陣的制作，則更有一套獨(dú)特的方法。

解數(shù)字趣題，如同偵察員破案一樣，開始如理亂麻，漸漸便理清線索，繼而順藤摸瓜，最終便真相大白了！

豎式謎

在加、減、乘、除四則運(yùn)算中，比較復(fù)雜的題目，都要先列豎式進(jìn)行演算。

常見的豎式，都是單純的求和或差，或積或商。豎式謎，卻只提供不完全的條件。有時(shí)給出幾個(gè)或一個(gè)數(shù)字，隱去了其他各數(shù)；有時(shí)一個(gè)數(shù)字也沒有，只用“□”或“★”等特殊符號(hào)，把豎式的框架顯示出來。

這種豎式看上去像一團(tuán)迷霧，撲朔迷離，簡(jiǎn)直是個(gè)沒解開的謎。只有熟練算法、算理，根據(jù)已提供的點(diǎn)滴信息，分析、推理，順藤摸瓜，才能使一個(gè)個(gè)隱去的數(shù)字重新出現(xiàn)。

解加、減法的豎式謎，主要根據(jù)進(jìn)位、退位情況，進(jìn)行分析、判斷。乘、除法，除了考慮進(jìn)、退位問題，還要根據(jù)乘、除法的法則，認(rèn)真推敲。一般要先將容易找出的數(shù)字填出來，這樣，未知數(shù)的范圍便越來越小，最終便可找出全部隱藏的數(shù)字。

解數(shù)字謎，如同偵察員破案一樣，新奇、有趣。

例1解：加數(shù)都是兩位數(shù)，從第一個(gè)加數(shù)個(gè)位是5與和的個(gè)位數(shù)是9，可以推斷第二個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)必定是4。即5＋？＝9。從和的百位數(shù)與十位數(shù)是18，可斷定，兩個(gè)加數(shù)的十位數(shù)都是9，這樣，謎便揭開了。

例2解：三個(gè)加數(shù)，只知道其中兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位分別是7、5，而和的個(gè)位卻是8，肯定是進(jìn)位造成的。從7＋5＋？＝□8，可判斷另一個(gè)加數(shù)的個(gè)位必為6，十位上5＋□＋7＝□7，可斷定：□加上個(gè)位進(jìn)上來的1是5，去掉進(jìn)上來的1應(yīng)是4。百位上2＋□＝6，可知：□＝4，去掉進(jìn)上來的1，□＝3。

例3解：這個(gè)減法算式，只告知了減數(shù)是1，被減數(shù)、減數(shù)都不知道！全式應(yīng)有八個(gè)數(shù)字，其中七個(gè)都是未知數(shù)，初看是比較難解的。但是認(rèn)真分析一下減法算式各部分的數(shù)位，便可以找到突破口。被減數(shù)有四位，減去1后，差卻成了三位數(shù)，只有相減時(shí)連續(xù)退位，才會(huì)如此。那么，什么數(shù)減去1需要向高位借數(shù)呢？只有“0”！而最高位退1后成了0，表明被減數(shù)的最高位就是“1”。這樣，就可以斷定被減數(shù)是1000。知道了被減數(shù)和減數(shù)，差就迎刃而解了。

例4解：個(gè)位上，被減數(shù)是7，差是6，可知減數(shù)是1。十位上，減數(shù)是8，差是9，可知被減數(shù)必小于8，借位后才使差比減數(shù)大的。那么，？－8＝9，可知被減數(shù)十位上是7。再看百位，因?yàn)楸粶p數(shù)是四位數(shù)。相減后，成了三位數(shù)，差的百位數(shù)又是9，從而斷定，被減數(shù)的百位上是0，千位上必定是1了。

例5解：這是個(gè)三位數(shù)與一位數(shù)相乘的算式。被乘數(shù)只知道十位數(shù)是2，積只知道個(gè)位數(shù)是2，乘數(shù)是7，其余都是未知數(shù)！但是從個(gè)位的一個(gè)數(shù)與7相乘，積的個(gè)位數(shù)是2，可推斷被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是6。6×7＝42，十位上進(jìn)4。被乘數(shù)的十位數(shù)是2，20×7＝140，加上進(jìn)位的4，積的十位應(yīng)是8，進(jìn)位1。從積是三位數(shù)，可斷定被乘數(shù)的百位數(shù)必為1（因?yàn)槿舸笥?，積則為四位數(shù)了?。?×7＝7，加上進(jìn)上來的1，積的百位數(shù)便是8了。

例6解：這是個(gè)四位數(shù)與兩位數(shù)相乘的算式。從乘數(shù)的個(gè)位數(shù)9和部分積個(gè)位是7，可推知被乘數(shù)的個(gè)位是3，進(jìn)2。據(jù)此，推知被乘數(shù)的十位是8，8×9＝72，加上進(jìn)位2，才符合積的十位數(shù)得4的要求。再根據(jù)積的百位數(shù)是5，推知被乘數(shù)百位是2，2×9＝18，加上進(jìn)位7，得5，進(jìn)2。繼而推知被乘數(shù)千位是5，5×9＝45，加上進(jìn)位2，才可得積的千位數(shù)7。

從被乘數(shù)是5283和第二部分積中的5，可以推斷乘數(shù)的十位數(shù)，因?yàn)楸怀藬?shù)的前兩位是5、2，經(jīng)過嘗試，乘數(shù)的十位數(shù)只能是3。

至此，其他各數(shù)字，便容易得出了。

例7解：為了分析，我們將題中的關(guān)鍵位置用字母標(biāo)出。

算式中，只有被乘數(shù)與2的積是四位數(shù)，與A、B的積都仍是三位，從而斷定A＝B＝1。以此為突破口，再追尋其他。

其中，部分積D與完全積中的C，也很明顯是1。D由“□×2”得來，最大的一位數(shù)乘2也只能進(jìn)1。由D＝1，斷定C＝1。

知道D＝1，“D＋E”又進(jìn)位，推斷E不是8必是9。如果E是8，則F非6即7，但是F＋8＝9，所以E不可能是8。

部分積“GH□”和“E8□”都是被乘數(shù)與1相乘得到的，所以，E＝G＝9，H＝8。

知道了H＝8，從“8＋K＝□2”斷定K＝4。K是被乘數(shù)與2相乘得到的，乘2后積的尾數(shù)是4的只有2或7。

再通過一些試算，算式中的數(shù)字，便一個(gè)個(gè)都推斷了出來。

例8解：在乘法中，積的位數(shù)估算方法是：看被乘數(shù)與乘數(shù)首數(shù)相乘的積：

首數(shù)相乘滿10時(shí)：

積的位數(shù)＝被乘數(shù)位數(shù)＋乘數(shù)位數(shù)

首數(shù)相乘不滿10時(shí)：

積的位數(shù)＝被乘數(shù)位數(shù)＋乘數(shù)位數(shù)－1

本題是三位數(shù)與兩位數(shù)相乘，積為四位數(shù)?？芍?，屬首數(shù)相乘不滿10的。由此斷定，被乘數(shù)的首位是1。再由兩部分積首位相加不進(jìn)位，斷定被乘數(shù)的十位數(shù)也只能是1。被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)，則根據(jù)積是四位數(shù)，參照乘數(shù)的十位數(shù)8，相乘后，部分積的首位不能滿10，斷定必是2。

例9解：這個(gè)除式中，除了告知商中兩個(gè)數(shù)字外，其余的全是未知數(shù)！初看很難。但是，當(dāng)認(rèn)真觀察全式后，便可發(fā)現(xiàn)線索：除數(shù)是兩位數(shù)，與商的首位相乘，其積是三位數(shù)，而與商中的8相乘，則積是兩位數(shù)了，從而可斷定：①商的首位是9；②除數(shù)的首位是1；③除數(shù)的個(gè)位數(shù)字，一定小于或等于2。因?yàn)椋?□中個(gè)位若是3，與8乘積就是三位數(shù)了；個(gè)位若是1，與商的首位9乘，又不是三位數(shù)了?？芍?，必為2。即除數(shù)是12。

再看商的十位數(shù)。從商98□7，對(duì)照除式是落下一位不夠除的，才連落兩位數(shù)，這樣，又可斷定，十位上的商是0。

已經(jīng)知道了除數(shù)和商，被除數(shù)便是：12×9807＝117684。

例10解：首先要找出解題的突破口。

從余數(shù)是0，表明商與除數(shù)相乘得138，即“2□×6＝138”，一個(gè)數(shù)乘6個(gè)位是8的只有3和8，但是2□方框中若是8，便不合題意，因?yàn)?8×6≠138。

確定了除數(shù)是23，23×6＝138，則被除數(shù)的個(gè)位數(shù)也必是8。

再從商的十位數(shù)□與除數(shù)23相乘得184，即23×□＝184，可知商的十位數(shù)也是8。

商的百位數(shù)已知是1，與除數(shù)23相乘仍是23，從首商差的數(shù)字是19，可推斷被除數(shù)的首位數(shù)字應(yīng)是4。

例11解：這是除數(shù)是三位數(shù)的除法。

商的百位是1，它與除數(shù)相乘的積個(gè)位是5，可知除數(shù)的個(gè)位也是5，即除數(shù)是215，從而可知第一次相減余55，拉下9，得559。被除數(shù)的千位數(shù)必是7。

再看559被215除應(yīng)商幾呢？從相減余下9，可知商的百位數(shù)是2。余129，再拉下0，繼續(xù)除。

除數(shù)215的多少倍是1290呢？從而又確定了商的個(gè)位數(shù)是6。

例12解：這道題被除數(shù)是六位數(shù)，除數(shù)和商都是三位數(shù)，這么復(fù)雜的除式，知道的數(shù)字只有一個(gè)8，要將那些隱去的數(shù)字都找出來，就要有偵察員破案的精神。

從除數(shù)與8相乘的積是三位數(shù)，而除數(shù)與商的百位和個(gè)位相乘都得四位數(shù)，說明商的百位和個(gè)位都比8大，那就只能是9了。

即完全商是989。

從除數(shù)乘9得四位數(shù)，斷定除數(shù)百位是1，否則與8乘也是四位數(shù)了。

同理，商的十位數(shù)也必須比較小。經(jīng)對(duì)照商與乘積關(guān)系，反復(fù)嘗試，確定了除數(shù)是112。這樣，其他各數(shù)便不難推斷了。

例13解：這是一道六位數(shù)除以兩位數(shù)，商是四位數(shù)的除法算式。整個(gè)算式中，只知道商的末位數(shù)字是5，要我們把全部數(shù)字都找出來，真是個(gè)難解的謎！從何處下手呢？

首先要認(rèn)真觀察算式特點(diǎn)，由易到難，順藤摸瓜。一般都是從除數(shù)、商與被除數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)。

在除法中，余數(shù)必須小于除數(shù)，落下被除數(shù)中的一位后，仍不夠除，必須在商的空位上補(bǔ)0。由豎式特點(diǎn)，可判定商的百位數(shù)是0。

商的千位數(shù)是幾呢？從商的百位數(shù)是0，可推斷，被除數(shù)的首位數(shù)和第一次余數(shù)的首位數(shù)必定是1，由此，又可推斷，如果除數(shù)是11，商的千位數(shù)是9，如果除數(shù)是99，商的千位數(shù)是1。因?yàn)槿粩?shù)減去兩位數(shù)，余數(shù)是1的，只能是100－99，而從除式的末尾看，商與除數(shù)的積只有兩位數(shù)，除數(shù)若是99，那么與商的末位數(shù)5相乘，便是三位數(shù)了！所以，除數(shù)只能是11。

同樣，根據(jù)除式的特點(diǎn)及已推知除數(shù)是11，可斷定，商數(shù)的十位數(shù)也是9。

這樣，整個(gè)算式便可恢復(fù)原狀了。

例14解：這道小數(shù)除法算式中，竟然連一個(gè)已知數(shù)都沒有。但是卻要求根據(jù)算法、算理把全部數(shù)字都補(bǔ)上去，真是奇妙！從哪里尋找突破口？

我們知道，小數(shù)除法最后一個(gè)不完全積的右端必有若干個(gè)0，這是它與整數(shù)除法的特殊之處。這就決定了它的商和除數(shù)的最后一位數(shù)字，必然為一個(gè)是5，另一個(gè)是偶數(shù)，否則，它們的積，便不可能是整十、整百、整千……了。

從這道式的特點(diǎn)看，商的十分位是0。首次商后的余數(shù)，數(shù)字在1～9之間，若不考慮小數(shù)點(diǎn)，補(bǔ)0后為100～900之間。定下這個(gè)數(shù)之后，便可進(jìn)一步分析除數(shù)和商的末位數(shù)了。

除數(shù)是三位數(shù)與商的末位相乘得整百的數(shù)只有：125×4＝500，225×4＝900。

如果除數(shù)是125（實(shí)際是1．25），則被除數(shù)是130（實(shí)際是1．25＋0．05＝1．3）。

如果除數(shù)是225（實(shí)際是2．25），則被除數(shù)是234（實(shí)際是2．25＋0．09＝2．34）。

經(jīng)檢驗(yàn)，這兩種情況都符合題意。

橫式謎

橫式謎比豎式謎更為復(fù)雜、迷人。

豎式謎只是四則運(yùn)算中的一種，橫式謎則常把加、減、乘、除四則運(yùn)算貫穿在一個(gè)題目中，有著更大的靈活性。

解橫式謎，不能孤立地只看一數(shù)一式，必須兼顧上下左右的聯(lián)系，使所填數(shù)字適應(yīng)整體要求。

例1將0、1、2……9這十個(gè)數(shù)字，不遺漏，不重復(fù)，分別填入□中，組成三道算式：

　　　　□＋□＝□

　　　　□－□＝□

　　　　□×□＝□□

解：這類問題，雖然要多作嘗試，但也要找準(zhǔn)突破口，否則，胡亂嘗試，費(fèi)時(shí)費(fèi)功也難找到正確答案。

這道題，首先要確定0的位置。經(jīng)分析，前兩式不可能含0。0只能在第三式的積中。兩數(shù)的積含0的有：2×5＝10，4×5＝20，6×5＝30，8×5＝40，共四道算式。這樣，就把嘗試的范圍大大地縮小了！

經(jīng)驗(yàn)證，如下填法可符合要求：

　　　　7＋1＝8

　　　　9－6＝3

　　　　5×4＝20

例2　將1～9九個(gè)數(shù)字，不重復(fù)，不遺漏，填入下列式中的□，使等式成立。

□□÷□＝□□÷□＝□□÷□

解：全式中含有三道算式，都是兩位數(shù)除以一位數(shù)，解題應(yīng)從商入手。商只能是一位數(shù)，若是兩位數(shù)，則重復(fù)的數(shù)字太多，三道算式便不能把1～9九個(gè)數(shù)字都包括進(jìn)去。

這樣，只能從商是2～9各式中去嘗試、篩選。

商是2　　商是3　　商是4　　商是5

18÷9　　27÷9　　36÷9　　45÷9

16÷8　　24÷8　　32÷8　　40÷8

14÷7　　21÷7　　28÷7　　35÷7

10÷5　　18÷6　　24÷6　　30÷6

15÷5　　20÷5　　25÷5

12÷4　　16÷4　　20÷4

12÷3　　15÷3

商是6　　商是7　　商是8　　商是9

54÷9　　63÷9　　72÷9　　81÷9

48÷8　　56÷8　　64÷8　　72÷8

42÷7　　49÷7　　56÷7　　63÷7

36÷6　　42÷6　　48÷6　　54÷6

30÷5　　35÷5　　40÷5　　45÷5

24÷4　　28÷4　　32÷4　　36÷4

18÷3　　21÷3　　24÷3　　27÷3

12÷2　　14÷2　　16÷2　　18÷2

從這一些算式中，按照要求進(jìn)行分析，把式中含有重復(fù)數(shù)字的式子全部剔除，余下的式子若符合條件，便是正確的解。

我們發(fā)現(xiàn)，只有商是7或9的有符合要求的算式。即：

21÷3＝49÷7＝56÷8

或：

27÷3＝54÷6＝81÷9

例3　在下列式中，每個(gè)□內(nèi)填入一個(gè)大于1的數(shù)字，使等式成立。

［□×（□3＋□）］²＝8□□9

解：可采用“層層剝筍”的方法，逐步縮小謎底的范圍。

把方括號(hào)內(nèi)看作一個(gè)數(shù)，此式便成為：一個(gè)數(shù)的平方是四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)是八千幾百幾十九。

我們知道，在乘法中，被乘數(shù)與乘數(shù)的首數(shù)相乘滿十的，積的位數(shù)＝被乘數(shù)位數(shù)＋乘數(shù)位數(shù)。由此，縮小了方括號(hào)中數(shù)的估算范圍。

經(jīng)試算，能滿足等式右端條件的完全平方數(shù)只有93，即：93²＝8649，從而斷定：方括號(hào)內(nèi)的數(shù)必須是93。

再分析方括號(hào)內(nèi)各□應(yīng)填的數(shù)。

把小括號(hào)看成一個(gè)數(shù)，則是□×□□＝93，93分解成因數(shù)相乘是3×31，可知小括內(nèi)的數(shù)和應(yīng)為31。由“□3＋□＝31”，可推知是23＋8。這樣，全式便破譯出來了：

［3×（23＋8）］²＝8649

例4　將1～8八個(gè)數(shù)字，分別填入下式□內(nèi)，使全式的值最小：

□□×□□×□□×□□

解：這是兩位數(shù)相乘的算式，要使相乘得的積最小，必須使各數(shù)的高位數(shù)字盡可能小。

根據(jù)這個(gè)原則，填寫的順序應(yīng)是：

從左至右，先將1、2、3、4填在各個(gè)數(shù)的十位上，再從右至左，將8、7、6、5填在各個(gè)數(shù)的個(gè)位上。最后便得到：

15×26×37×48

例5　將1～9這九個(gè)數(shù)字，分別填入九個(gè)□內(nèi)，使算式的值為最大。

□□□×□□□×□□□

解：要使乘積最大，同樣，要遵循“把比較大的數(shù)都填在高位上”的原則。據(jù)此，可先從左至右，在各數(shù)的百位上分別填9、8、7，再從右至左，在各數(shù)的十位上填6、5、4，最后再從右至左，在各數(shù)的個(gè)位上填3、2、1。結(jié)果得：

941×852×763

填空謎

例1　把4、5、6、7、8、9、10、11八個(gè)數(shù)，分別填在等號(hào)兩端的□里，使等式成立。

□＋□＋□＋□＝□＋□＋□＋□

解：因?yàn)榈忍?hào)兩端各有四個(gè)數(shù)，只要它們的和相等，等式便能成立。題中八個(gè)數(shù)的總和是60，則等號(hào)兩邊的四個(gè)數(shù)的和應(yīng)各為30。這八個(gè)數(shù)還有如下特點(diǎn)：4＋11＝15，5＋10＝15，9＋6＝15，7＋8＝15，只需把這四組數(shù)兩兩一組，或?qū)⒚恳唤M的兩個(gè)數(shù)分開于等號(hào)兩端即可。因此，填法有：

（1）4＋11＋5＋10＝9＋6＋7＋8

（2）4＋11＋6＋9＝5＋10＋7＋8

（3）4＋5＋7＋8＝6＋9＋5＋10

例2　0．25、0．75、22．5、______、______。

解：這類題的各個(gè)數(shù)間都存在一定的相互關(guān)系，并不是彼此孤立毫無聯(lián)的。它們都隱含著遞增、遞減或倍數(shù)關(guān)系。要認(rèn)真地觀察、分析，找出其中的規(guī)律。

本題的各數(shù)，愈向后愈大，而且相鄰兩數(shù)間，后一個(gè)數(shù)總是它前一個(gè)數(shù)的3倍。發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律后，往后的數(shù)便可很容易的填出來了。

即：6．75（2．25×3）、20．25（6．75×3）

例3　0、1、1、2、3、5、8、______、______。

解：這道題初看似無規(guī)律：數(shù)字雖然逐漸增多，但增多的部分并不相同，又不成倍數(shù)關(guān)系。仔細(xì)分析后，便可發(fā)現(xiàn)：后面的數(shù)總是它前面兩個(gè)數(shù)的和，這樣，問題便迎刃而解了。接下去應(yīng)填：13（5＋8＝13）、21（8＋13＝21）。

例4　解：每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都比分母大，而且差數(shù)都是3。因此可推斷最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是23＋3＝26，即“？”處應(yīng)填26。

例5　解：每個(gè)圖中，上端的數(shù)是被除數(shù)，下端的兩個(gè)數(shù)是除數(shù)和商。因此，？＝63÷9＝7。

例6　解：這類題必須仔細(xì)觀察，反復(fù)分析，才能發(fā)現(xiàn)共同的規(guī)律，否則，把部分?jǐn)?shù)間的關(guān)系當(dāng)作共同特點(diǎn)，便誤入歧途了。本題對(duì)頂?shù)膬蓚€(gè)數(shù)間存在共同規(guī)律，即較大的數(shù)都是較小數(shù)的2倍。題中不存在小數(shù)，因此，與19相對(duì)的數(shù)應(yīng)是19×2＝38，即：？＝38。

例7　解：這三組數(shù)，初看毫無聯(lián)系。實(shí)際，每組數(shù)的第一個(gè)數(shù)都是第二、三兩個(gè)數(shù)和的2倍。即：

　　　　36＝（15＋3）×2

　　　　24＝（5＋7）×2

據(jù)此，？＝（13＋8）×2＝42

例8　請(qǐng)你把27、32、50、72各分成任意的四個(gè)數(shù)，將分成的四個(gè)數(shù)分別填入各個(gè)括號(hào)中，使等式成立。

（1）分解27：（?。?＝（　）－2＝（?。?＝（?。?

（2）分解32：（?。?＝（?。?＝（?。?＝（?。?

（3）分解50：（?。?＝（?。?＝（?。?＝（　）÷4

（4）分解72：（?。?＝（　）－5＝（?。?＝（　）÷5

解：這類問題假如全靠嘗試是十分麻煩的。分解成的四個(gè)數(shù)，分別填入四個(gè)括號(hào)，各式得數(shù)要相等，四個(gè)數(shù)的和還必須等于原數(shù)。

怎樣分解原數(shù)便成了關(guān)鍵！

從乘式入手，從最小的數(shù)1試驗(yàn)，而后再調(diào)整。以（1）為例，若乘式填1，則全式仍保持相等就成了：

（0）＋2＝（4）－2＝（1）×2＝（4）÷2

式子雖成立了，但是分解的四個(gè)數(shù)和為：0＋4＋1＋4＝9，是27的三分之一！所以，乘式原來填的1太小了，應(yīng)再擴(kuò)大3倍，這樣再保持等式成立，便成了：

（4）＋2＝（8）－2＝（3）×2＝（12）÷2

各式的結(jié)果都等于6。

分解的四個(gè)數(shù)和是：4＋8＋3＋12＝27。

其他各題，讀者自己填填看。

例9　找出頭、腳數(shù)字間的規(guī)律，把“？”換成數(shù)。

解：尋找數(shù)字間的內(nèi)在關(guān)系，可以把每個(gè)圖作為獨(dú)立的個(gè)體，考察頭、腳間三個(gè)數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。也可以把三個(gè)人當(dāng)作一個(gè)整體，考察數(shù)字的演化過程，用數(shù)字間加、減、乘、除，找出存在的共同規(guī)律。

若從頭上的數(shù)字變化，僅三個(gè)人5→4→？看不出規(guī)律。經(jīng)嘗試，每個(gè)人“頭上”的數(shù)，都是“腳”上數(shù)字和的一半?？芍?？”是（2＋8）÷2＝5。

例10　將“？”填上合適的數(shù)：

解：頭手共三個(gè)數(shù)。

若把三人當(dāng)作整體，仍看不出頭上數(shù)的變化規(guī)律。把每個(gè)人當(dāng)作獨(dú)立的個(gè)體。經(jīng)嘗試，前二人頭上數(shù)的規(guī)律為：中數(shù)為兩邊數(shù)的差。從而可知“？”應(yīng)填上“2”，即5－3的差。

例11解：第一人頭手三數(shù)是19、21、23。

第二個(gè)人頭手三數(shù)是71、73、75。

都是連續(xù)的三個(gè)奇數(shù)。第三人手中的兩個(gè)數(shù)也是奇數(shù)，可知“？”應(yīng)填“5”。

例12解：小動(dòng)物的四條腿和尾上都有數(shù)字。共五個(gè)。要我們求解的是尾上的數(shù)字。應(yīng)考慮尾上的數(shù)可能是由四條腿上的數(shù)字而來。

通過多方嘗試，第一個(gè)動(dòng)物中，前兩腿中兩數(shù)和與后兩腿中兩數(shù)和相減，差為5。即：（8＋6）－（4＋5）＝5。可知后一動(dòng)物中，？＝（3＋9）－（4＋2）＝6。

例12解：小姑娘的頭、手、足共有五個(gè)數(shù)字。頭上的數(shù)字很可能是其余數(shù)字的計(jì)算結(jié)果。

經(jīng)檢驗(yàn)，兩手?jǐn)?shù)字和與兩足數(shù)字和的差，恰為頭上數(shù)字。

可知：？＝（4＋15）－（13＋3）＝3

例14解：三角形內(nèi)角三個(gè)數(shù)的和恰為中心數(shù)?？芍浚?＋8＋1＝18

幻方

例1　將1～9九個(gè)自然數(shù)，空格內(nèi)，使橫、堅(jiān)、斜對(duì)角每三個(gè)數(shù)的和都是15。

解：在一個(gè)由若干個(gè)排列整齊的數(shù)組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱列及對(duì)角線的幾個(gè)數(shù)之和都相等，具有這種性質(zhì)的圖表，稱為“幻方”。我國(guó)古代稱為“河圖”、“洛書”，又叫“縱橫圖”。

由三行三列數(shù)組成的幻方，稱為“三階幻方”。制作這種幻方的方法是：把九個(gè)自然數(shù)，按照從小到大的遞增次序斜排，然后把上、下兩數(shù)對(duì)調(diào)，左、右兩數(shù)也對(duì)調(diào)，最后再把中部四個(gè)數(shù)各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。

幻方的神氣奇有趣，還不僅僅表現(xiàn)在縱、橫、斜和為15，它具備的許多奇妙特性，人們尚未充分認(rèn)識(shí)。

例1　將1～9九個(gè)自然數(shù)，填在3×3正方形表格內(nèi)，使其中每一橫行、每一豎列及任一條對(duì)角線上的三數(shù)之和都不等，并且相鄰的兩個(gè)數(shù)在圖中位置也相鄰。

解：具備題中特征的稱為“反幻方”。

據(jù)美國(guó)當(dāng)代科普作家加德納研究發(fā)現(xiàn)，符合上述條件的反幻方，只有兩個(gè)，即：反幻方也很有趣，瞧，它的數(shù)字排列酷似個(gè)螺旋，前一個(gè)由外向內(nèi)轉(zhuǎn)，后一個(gè)由內(nèi)向外轉(zhuǎn)。

這使我們想到古代的回文詩。

鶯啼岸柳

月明弄

夜睛春

這是一首聯(lián)珠頂真的回文詩，自外向內(nèi)再自內(nèi)向外，如螺旋，可讀作：鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明。

明月夜睛春弄柳，睛春弄柳岸啼鶯。

看一下，它們多么相像！

例2　上海博物館存有一塊伊斯蘭教徒佩帶的玉掛，它是從浦東陸家嘴附近一個(gè)名叫陸深的墓中發(fā)現(xiàn)的。據(jù)考證，陸深是三國(guó)時(shí)東吳大將陸遜的后人。玉掛的正面刻有：“萬物非主，惟其真宰，穆罕默德為其使者?！庇駫斓姆疵鎱s整齊地刻著16個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，經(jīng)過專家的破譯，原來是個(gè)四階完全幻方。請(qǐng)你認(rèn)真地計(jì)算一下，這個(gè)幻方有哪些更奇特的特點(diǎn)？

解：這個(gè)幻方具有如下特點(diǎn)：

①縱、橫、對(duì)角線四數(shù)之和（34）都相等。

②對(duì)角線“折斷”平行線上四數(shù)之和也相等，如：

11＋13＋4＋6＝3＋5＋14＋12

　　　　　?。?4

14＋2＋3＋15＝5＋9＋12＋8

　　　　　　＝13＋16＋4＋1

　　　　　?。?1＋7＋6＋10

③幻方中，任何一個(gè)2×2正方形中四數(shù)之和也是相等的，例如：

8＋11＋13＋2＝11＋14＋2＋7

　　　　　?。?4＋1＋7＋12

　　　　　?。?4……

④幻方中，任何一個(gè)3×3正方形，它的四個(gè)角數(shù)字之和也是34如：

8＋9＋14＋3＝11＋6＋1＋16

　　　　　 ＝34……

數(shù)陣

數(shù)陣是由幻方演化出來的另一種數(shù)字圖?；梅揭话憔鶠檎叫巍D中縱、橫、對(duì)角線數(shù)字和相等。數(shù)陣則不僅有正方形、長(zhǎng)方形，還有三角形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形，甚至多種圖形的組合。變幻多姿，奇趣迷人。一般按數(shù)字的組合形式，將其分為三類，即輻射型數(shù)陣、封閉型數(shù)陣、復(fù)合型數(shù)陣。

數(shù)陣的特點(diǎn)是：每一條直線段或由若干線段組成的封閉線上的數(shù)字和相等。

它的表達(dá)形式多為給出一定數(shù)量的數(shù)字，要求填入指定的圖中，使其具備數(shù)陣的特點(diǎn)。

解數(shù)陣問題的一般思路是：

1．求出條件中若干已知數(shù)字的和。

2．根據(jù)“和相等”，列出關(guān)系式，找出關(guān)鍵數(shù)——重復(fù)使用的數(shù)。

3．確定重復(fù)用數(shù)后，對(duì)照“和相等”的條件，用嘗試的方法，求出其他各數(shù)。有時(shí)，因數(shù)字存在不同的組合方法，答案往往不是唯一的。

一、輻射型數(shù)陣

例1　將1～5五個(gè)數(shù)字，分別填入的五個(gè)○中，使橫、豎線上的三個(gè)數(shù)字和都是10。

解：已給出的五個(gè)數(shù)字和是：

1＋2＋3＋4＋5＝15

題中要求橫、豎每條線上數(shù)字和都是10，兩條線合起來便是20了。20－15＝5，怎樣才能增加5呢？因?yàn)橹行牡囊粋€(gè)數(shù)是個(gè)重復(fù)使用數(shù)。只有5連加兩次才能使五個(gè)數(shù)字的和增加5，關(guān)鍵找到了，中心數(shù)必須填5。確定了中心數(shù)后，按余下的1、2、3、4，分別填在橫、豎線的兩端，使每條線上數(shù)的和是10，便可以了。

例2　將1～7七個(gè)數(shù)字，分別填入各個(gè)○內(nèi)，使每條線上的三個(gè)數(shù)和相等。

解：共有3條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為3的倍數(shù)。

設(shè)中心數(shù)為a，則a被重復(fù)使用了2次。即，

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a

28＋2a應(yīng)能被3整除。

（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3

其中28÷3＝9余1，所以2a÷3應(yīng)余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三數(shù)。

當(dāng)a＝1時(shí)，28＋2a＝30　30÷3＝10，其他兩數(shù)的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和為9分成三組填入兩端即可。

同理可求得a＝4、a＝7兩端應(yīng)填入的數(shù)。

例3　將從1開始的連續(xù)自然數(shù)填入各○中，使每條線上的數(shù)字和相等。

解：共有三條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為3的倍數(shù)。

設(shè)中心數(shù)為a，a被重復(fù)使用了兩次，即：

1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a

55＋2a應(yīng)能被3整除。

（55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3

其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3應(yīng)余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑選。

在a＝1時(shí)，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心數(shù)若填1，各條線上的數(shù)字和應(yīng)為19。但是除掉中心數(shù)1，在其余九個(gè)數(shù)字中，只有兩組可滿足這一條件，即：

9＋7＋2＝18

8＋6＋4＝18

7＋5＋3＝15

所以，a不能填1。

經(jīng)試驗(yàn)，a＝7時(shí)，余下的數(shù)組合為12（19－7＝12），也不能滿足條件。因此，確定a只能填4。

例4　將1～9九個(gè)數(shù)字，填入各○中，使縱、橫兩條線上的數(shù)字和相等。

解：1～9九個(gè)數(shù)字和是：

1＋2＋3＋……＋9＝5×9＝45

把45平分成兩份：45÷2＝22余1。

這就是說，若使每行數(shù)字和為23，則需把1重復(fù)加一次，即中心數(shù)填1；若使數(shù)字和為24，中心數(shù)應(yīng)填3……?？偠灾?，因45÷2余數(shù)是1，只能使1、3、5、7、9各個(gè)奇數(shù)重復(fù)使用，才有可能使橫、豎行的數(shù)字和相等。因而，此題可有多種解法。但中心數(shù)必須是9以內(nèi)的奇數(shù)。

例5　將1～11十一個(gè)數(shù)字，填入各○中，使每條線段上的數(shù)字和相等。

解：圖中共有五條線段，全部數(shù)字的總和必須是5的倍數(shù)，每條線上的數(shù)字和才能相等。

1～11十一個(gè)數(shù)字和為66，66÷5＝13余1，必須再增加4，可使各線上數(shù)字和為14。共五條線，中心數(shù)重復(fù)使用4次，填1恰符合條件。

此題的基本解法是：中心數(shù)重復(fù)使用次數(shù)與中心數(shù)的積，加上原余數(shù)1，所得的和必須是5的倍數(shù)。據(jù)此，中心數(shù)填6、11均可得解。

二、封閉型數(shù)陣

例1　把2、3、4、5、6、7六個(gè)數(shù)字，分別填入○中，使三角形各邊上的數(shù)字和都是12。

解：要使三角形每邊上的數(shù)字和都是12，則三條邊的數(shù)字和便是12×3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36與27相差9。

三個(gè)角頂?shù)臄?shù)字都重復(fù)使用兩次，只有這三個(gè)數(shù)字的和是9，才能符合條件。確定了角頂?shù)臄?shù)字，其他各數(shù)通過嘗試便容易求得了！

這題還可有許多解法，上例只是其中一種。

例2　把1～9九個(gè)數(shù)字，分別填入○中，使每邊上四個(gè)數(shù)的和都是21。

解：要使三角形每條邊上的數(shù)字和是21，則三條邊的數(shù)字和便是：21×3＝63。而1～9九個(gè)數(shù)字的和只有45。45比63少18，只有使三角形三個(gè)頂角的數(shù)字和為18，重復(fù)使用兩次，才能使總和增加18。所以應(yīng)確定頂點(diǎn)的三個(gè)數(shù)。上面是填法中的一種。確定了頂角的數(shù)后，其他各數(shù)便容易了。

例3　有四個(gè)互相聯(lián)系的三角形。把1～9九個(gè)數(shù)字，填入○中，使每個(gè)三角形中數(shù)字的和都是15。

解：每個(gè)三角形數(shù)字和都是15，四個(gè)三角形的數(shù)字和便是：15×4＝60，而1～9九個(gè)數(shù)字和只有45。45比60少15。怎樣才能使它增加15呢？靠數(shù)字重復(fù)使用才能解決。

中間的一個(gè)三角形，每個(gè)頂角都連著其他三角形，每個(gè)數(shù)字都被重復(fù)使用兩次。因此，只要使中間的一個(gè)三角形數(shù)字和為15，便可以符合條件。因此，它的三個(gè)頂角數(shù)字，可以分別為：

1、9、52、8、52、7、64、6、52、9、43、8、43、7、58、6、1把中間的三角形各頂角數(shù)字先填出，其他各個(gè)三角形便容易解決了。

三、符形數(shù)謎

由數(shù)學(xué)符號(hào)、文字符號(hào)或圖形等組合成的數(shù)學(xué)問題，幽深、隱秘，妙趣橫生。

符、形問題撲朔迷離，初看無從下手。但只要認(rèn)真分析一下題目的特點(diǎn)，它與“蟲蝕算”有些相似，仍然可以從中找出隱含的“蛛絲馬跡”。

解這類問題，要根據(jù)組成題目的各種條件和其中的已知數(shù)目，上下或前后對(duì)照，綜合分析，發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)部聯(lián)系，找出一兩個(gè)突破口，便可使問題破譯。

四、橫式謎

例1　想想×算算＝嘻嘻哈哈

解：這個(gè)算式的特點(diǎn)是：相乘的兩個(gè)兩位數(shù)，每個(gè)數(shù)的數(shù)字分別相同，積的前兩位和后兩位數(shù)字也分別相同。兩個(gè)兩位數(shù)相乘所得的積又是四位數(shù)。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，“想”和“算”必須＞3，否則，積只能是三位數(shù)，也即“想×算”積應(yīng)進(jìn)位。由此，可作如下嘗試：

44×33＝1452　55×33＝1815

66×33＝2178　77×33＝2541

88×33＝2904　99×33＝3267

上述乘數(shù)是33的，積都不合要求。

55×44＝2420　66×44＝2904

77×44＝3388　88×44＝3872

99×44＝4356

其中：77×44＝3388符合題目條件。

例2　abcd×9＝dcba

解：abcd是四位數(shù)，與9相乘仍得四位數(shù)，表明被乘數(shù)首數(shù)a×9沒有進(jìn)位，a只能是1，由積的尾數(shù)a進(jìn)1，推知“d＝9”，再結(jié)合進(jìn)位情況和積的數(shù)序，推知“b＝8”，“c＝0”，從而得解：

1089×9＝9801

例3　不同的字母代表1～9中的不同數(shù)字，要使兩道式同時(shí)成立，各字母應(yīng)是什么數(shù)字？

A×B＝CD，E＋F＝DC

解：觀察算式，可見積與和是逆序數(shù)，因此，可先從結(jié)果尋求突破口。

由于各個(gè)字母代表的數(shù)字不同，試取的積應(yīng)該是它的逆序數(shù)同時(shí)是另外兩個(gè)不同數(shù)字的乘積，如：12＝3×4，21＝3×7，而若選48則肯定不行，因?yàn)?8＝6×8，式子本身便重復(fù)了“8”。

經(jīng)驗(yàn)證，可作如下填法：

3×7＝21

8＋4＝12

例5　“如、花、歲、月”各代表一個(gè)什么數(shù)字，能使下面三個(gè)等式成立？

①　如＋花×歲＋月＝18

②　如×花－歲＋月＝18

③　如×歲＋花－月＝18

解：這種文字謎可以用“消量法”解。

將①式與③式相加，可消去“月”字：

（如＋花×歲＋月）＋（如×歲＋花－月）＝18＋18

如＋花＋花×歲＋如×歲＝36

如＋花＋歲×（花＋如）＝36

（如＋花）×（歲＋1）＝36

即：（如＋花）×（歲＋1）的積是36。

36可分解為：

36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6

可知：（如＋花）和（歲＋1）必為上述五個(gè)乘式中的一個(gè)。

（歲＋1）的值不可能少于2，也不可能大于10。（如＋花）的值不可能小于3，也不可能大于17。所以，（如＋花）與（歲＋1）的值只有四種可能：

①　“歲＋1＝3　如＋花＝12”

②　“歲＋1＝4　如＋花＝9”

③　“歲＋1＝9　如＋花＝4”

④　“歲＋1＝6　如＋花＝6”經(jīng)驗(yàn)證，只有②成立?？芍?/p>

“歲＝3，月＝1，如＝5，花＝4”。

五、符號(hào)謎

例1　在□內(nèi)填入“＋”、“－”號(hào)，使等式成立

　　1□23□4□56□7□8□9＝100

解：解這類題目仍要先觀察等號(hào)右端的數(shù)，根據(jù)這個(gè)結(jié)果的大小，確定算式中數(shù)間的符號(hào)。本題的結(jié)果是100，比式中任何一個(gè)數(shù)都大得多，便可肯定在式中的23、56之前必須用“＋”號(hào)，而后再用“＋”或“－”，試算其他各數(shù)，直到符合最后結(jié)果是100為止。

這題的正確填法是：

1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100

例2　左端是一位數(shù)的四則運(yùn)算，請(qǐng)?zhí)钊耄ⅲ?、×、÷、（）等符?hào)，使等式成立。

①9　8　7　6　5　4　3　2　1＝100

解：算式的結(jié)果是100，如果全用“＋”，9～1九個(gè)數(shù)的和是45（簡(jiǎn)算用中間項(xiàng)5乘以項(xiàng)數(shù)9）。顯然，需用乘號(hào)。倘在較小的數(shù)間填“×”，與100仍相差很多，因此需在較大的數(shù)間填“×”。經(jīng)試算，8×9＝72，余下七個(gè)數(shù)的和是4×7＝28，相加恰是100。即：

9×8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝100

②9　9　9　9　9＝17

解：結(jié)果是17，等號(hào)左端的數(shù)是五個(gè)9。9＋8＝17。因此，必須把其中的四個(gè)9，通過添加運(yùn)算符號(hào)，使其得數(shù)為8，才能保證最后結(jié)果為17。通過試算：

（9×9－9）÷9＝8

這樣，整個(gè)算式可組合為：

（9×9－9）÷9＋9＝17

例3　改動(dòng)下式中的一個(gè)運(yùn)算符號(hào)，使下式成立。

1＋2＋3＋4＋5＋……＋19＋20＝200

解：這是個(gè)連續(xù)數(shù)相加的算式，確定改動(dòng)哪一個(gè)符號(hào)，必須先知道已知的和200與實(shí)際和的差數(shù)。1～20各數(shù)的實(shí)際和是：

　　總和＝（首項(xiàng)＋尾項(xiàng)）×（項(xiàng)數(shù)÷2）

　　　　（1＋20）×（20÷2）＝210

210比已知的和多10，即210－200＝10

因此，只要在算式中，將“＋10”改為“－10”即可以了。

例4　在下式合適的位置添上（）、〔〕和（），使等式成立。

1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝9081

解：本題的最后結(jié)果是9081，數(shù)目較大，求解有一定難度，但仍可用“層層剝筍”的方法，縮小推導(dǎo)范圍。

將9081分解得：

9081＝1009×9

因此，｛?。恢每啥ǎ矗?/p>

｛?。?＝9081

1009－8＝1001。而1001＝7×11×13＝77×13。據(jù)此，可將8前的算式用添括號(hào)的方法，使它成為結(jié)果為77和13相乘的兩個(gè)算式。經(jīng)試算，（1＋2）×3＋4＝13（5＋6）×7＝77。

從而，可以確定各種括號(hào)的位置。即：

｛〔（1＋2）×3＋4〕×（5＋6）×7＋8｝×9＝9081。

例5　用六個(gè)9組成等于100的算式。

解：本題沒有規(guī)定六個(gè)9的組合形式，因此，每一個(gè)數(shù)可以是9，也可以是99，或999……。各數(shù)間的運(yùn)算符號(hào)也沒有特殊要求，＋、－、×、÷、（）、〔〕、｛｝完全可根據(jù)自己需要選用，只要把六個(gè)9組合成算式使結(jié)果為100，便符合題目的要求了！因此，有時(shí)可以有許多種解法。

如，本題可組合為：

解1：99＋99÷99＝100

解2：（999－99）÷9＝100

解3：9×9＋9＋9＋9÷9＝100

解4：99÷9×9＋9÷9＝100。

例6　在下列算式中加上運(yùn)算符號(hào)，使每一道算式都不相同，但結(jié)果卻都等于5。

①　5○5○5○5○5＝5

②　5○5○5○5○5＝5

③　5○5○5○5○5＝5

④　5○5○5○5○5＝5

⑤　5○5○5○5○5＝5

解：解這類問題沒有固定規(guī)律，只有不斷地反復(fù)嘗試，才能找到答案。

下面是參考答案。

①　5＋5＋5－5－5＝5

②　5÷5－5÷5＋5＝5

③　5÷5×5＋5－5＝5

④　5×5÷5×5÷5＝5

⑤　5×5－5×5＋5＝5。

例7　用五個(gè)3組成十一道算式，在數(shù)字間加上不同的運(yùn)算符號(hào)，使它們的結(jié)果依次等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

①　3○3○3○3○3＝0

②　3○3○3○3○3＝1

③　3○3○3○3○3＝2

④　3○3○3○3○3＝3

⑤　3○3○3○3○3＝4

⑥　3○3○3○3○3＝5

⑦　3○3○3○3○3＝6

⑧　3○3○3○3○3＝7

⑨　3○3○3○3○3＝8

⑩　3○3○3○3○3＝9

　3○3○3○3○3＝10

解：填符號(hào)的方法不是唯一的。下面是參考答案。

①　3×3－3－3－3＝0

②　3－3÷3－3÷3＝1

③　3×3÷3－3÷3＝2

④　3×3÷3＋3－3＝3

⑤　3×3÷3＋3÷3＝4

⑥　3＋3＋3÷3＋3＝5

⑦　3×3－3＋3－3＝6

⑧　3×3－3＋3÷3＝7

⑨　3＋3＋3－3＋3＝8

⑩　3×3÷3＋3＋3＝9

　3＋3＋3＋3÷3＝10

例8　下面各式，等號(hào)兩端的數(shù)字是一樣的，請(qǐng)?jiān)诘忍?hào)右端的○中，填上與等號(hào)左端不同的運(yùn)算符號(hào)，使等式成立。

①　1×2×3＝1○2○3

②　4×2－1＝4○2○1

③　8÷4＋1＝8○4○1

④　3×2＋2×1＝3○2○2○1

⑤　4×2＋3×1＝4○2○3○1

解：答案是：

①　1×2×3＝1＋2＋3

②　4×2－1＝4＋2＋1

③　8÷4＋1＝8－4－1

④　3×2＋2×1＝3＋2×2＋1

⑤　4×2＋3×1＝4＋2×3＋1。

例9　下面的七道算式結(jié)果都等于1，數(shù)字間應(yīng)加上哪些符號(hào)，算式才能成立？

①　1○2○3＝1

②　1○2○3○4＝1

③　1○2○3○4○5＝1④　1○2○3○4○5○6＝1

⑤　1○2○3○4○5○6○7＝1

⑥　1○2○3○4○5○6○7○8＝1

⑦　1○2○3○4○5○6○7○8○9＝1。

解：下面是參考答案：

①?。?＋2）÷3＝1

②　1×2＋3－4＝1

③　〔（1＋2）÷3＋4〕÷5＝1

④　1×2×3－4＋5－6＝1

⑤　1×2＋3＋4＋5－6－7＝1

⑥　（1×2×3－4＋5－6＋7）÷8＝1

⑦　〔1＋2）÷3＋4〕÷5＋6－（7＋8－9）＝1

例10　下面的三道算式，運(yùn)算結(jié)果都錯(cuò)了，能否不改動(dòng)數(shù)字，只加入適當(dāng)?shù)睦ㄌ?hào)使等式仍成立？

①　78＋84÷3＋21＝75

②　573－273＋149＝151

③　500÷250×8－1500＝1

解：解這類問題，首先應(yīng)算出式子的結(jié)果，再對(duì)兩個(gè)不同的結(jié)果作比較如：78＋84÷3＋21＝78＋28＋21＝127，大于75，則考慮使算式得數(shù)變小，從而確定括號(hào)所加的位置。這三題可以是：

①　（78＋84）÷3＋21＝75

②　573－（273＋149）＝151

③500÷（250×8－1500）＝1

例11　在下列各式左端添上＋、－、×、÷、（）等，數(shù)字也可以根據(jù)需要任意組合成兩位數(shù)或三位數(shù)等，使等式能夠成立。

①　9　9　9　9　9＝17

②　9　9　9　9　9＝18

③　9　9　9　9　9＝19

④　9　9　9　9　9＝20

⑤　9　9　9　9　9＝21

⑥　9　9　9　9　9＝22

解：下述答案可供參考：

①?。?×9－9）÷9＋9＝17

②　（9－9）×9＋9＋9＝18

③　9＋（99－9）÷9＝19

④?。?＋9）÷9＋9＋9＝20

⑤?。?9＋9）÷9＋9＝21

⑥?。?9＋99）÷9＝22

例12　下列各式是一位數(shù)四則運(yùn)算，請(qǐng)?zhí)钊脒\(yùn)算符號(hào)及順序符號(hào)，使等式成立。

①　9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1

②　9○8○7○6○5○4○3○2○1＝10

③　9○8○7○6○5○4○3○2○1＝100

④　9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1000

⑤　9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1993

⑥　9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1994

解：參考答案：

①　9－8＋7－6＋5－4－3＋2－1＝1

②　9×8－7×6－5×4＋3－2－1＝10

③　9×8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝100

④?。?×8×7－6－5＋4＋3）×2×1＝1000

⑤　（9＋8）×（7＋6）×（5＋4）＋3＋2－1＝1993

⑥　9＋8×（7＋6×5×4－3）×2＋1＝1994

例13　在下列各式的適宜位置添加（）、〔〕和｛｝，使等式成立。

①　1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1005

②　1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝9081

③　1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1717

解：可如下添加括號(hào)：

①?。?＋2）×〔3＋4×（5＋6）×7〕＋8×9＝1005

②?。玻?＋2）×3＋4〕×（5＋6）×7＋8｝×9＝9081

③　1＋2×3＋〔（4×5＋6）×7＋8〕×9＝1717

例14　A、B、C各代表一個(gè)整數(shù)，根據(jù)下面三個(gè)相聯(lián)系的式子，它們各是什么數(shù)？

A＋A＝A

B－B＝A

B×A＝A

A÷B＝A

解：從前兩道關(guān)系式，可斷定“A＝0”，因?yàn)橹挥?＋0＝0，同數(shù)相減得0。

從后兩道關(guān)系式，可斷定B為任意數(shù)都可以，因?yàn)槿魏螖?shù)乘0等于0，0除以任何數(shù)得0。由于0不能作除數(shù)，而A÷B＝A，必須具備“B≠0”，等式才成立。

例15　下面的四道算式所得結(jié)果的和恰是100，A是什么數(shù)，算式才能成立？

　　　　A＋A＝□

　　　　A－A＝□

　　　　A×A＝□

　　　　A÷A＝□

　　　□＋□＋□＋□＝100

解：四道算式中，有兩道可以直接得出結(jié)果。即：A－A＝0，A÷A＝1，因?yàn)橥瑪?shù)相減差是0，同數(shù)相除商是1。這樣，另兩式的結(jié)果之和必為99。

經(jīng)嘗試運(yùn)算，在1～9九個(gè)數(shù)字中，只有A＝9算式才能成立。即：

　　　　9＋9＝18

　　　　9－9＝0

　　　　9×9＝81

　　　　9÷9＝1

例16　下題中“□、○、△”各代表一個(gè)數(shù)，根據(jù)已知的條件，你能知道它們是什么數(shù)嗎？

①　□＋□＋□＝120

②　○×△＝45

③　□÷○＝8

④　△＝？

解：從①式，可知：

□＝120÷3＝40

將③式換成：40÷○＝8，可知：

　　　　　　　　○＝40÷8＝5

將②式換成：5×△＝45，可知：

　　　　　　　△＝45÷5＝9

例17　下列三式是互相有聯(lián)系的，每個(gè)圖形代表一個(gè)整數(shù)，其中□、△、○各代表什么數(shù)？

①　□＋△＋○＋○＝13

②　□＋△＋△＋○＝14

③　□＋△＋△＋○＝17

解：經(jīng)觀察，每道式中都有兩個(gè)相同的圖形。若能求出三個(gè)各不相同圖形的和，而后與四個(gè)圖形的和作比較，便可求得一個(gè)圖形所代表的數(shù)了。將三式相加可得：

4□＋4○＋4△＝13＋14＋17＝44

將等式兩端各除以4，得：

④□＋○＋△＝11

將④式與①對(duì)照，用①－④得：

○＝2

將②－④，得：

△＝3

將③－④，得：

□＝6

把數(shù)字代入算式，驗(yàn)證無誤。

例18　下式中“○”和“△”各代表一個(gè)什么數(shù)字，兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的等式才能成立？

①　○＋○＋○＋△＋△＝41

②　△＋△＋△＋○＋○＝39

解：認(rèn)真觀察后發(fā)現(xiàn)：①式是三個(gè)“○”加兩個(gè)“△”和為41，②式是三個(gè)△加兩個(gè)“○”和為39，①式的和比②式多2。為什么會(huì)多2呢？因?yàn)棰偈脚c②式的區(qū)別只將“○”換成了“△”，可知“○－△＝2”。①式中含二個(gè)“△”若都換成“○”，必須增加“2＋2＝4”，這樣和就是41＋4＝45。

由此可知：

○＝（41＋4）÷5＝9

△＝9－2＝7

想一想，還可以怎么解？

例19　下面三式中“□、☆、△”各代表什么數(shù)字，等式能同時(shí)成立？

①　□＋△＝15

②　△－□＝1

③　☆－□＝2

解：這是個(gè)圖形符號(hào)謎。

①＋②得：2△＝15＋1＝16

△＝8

由△＝8，代入②式得：□＝7

由□＝7，代入③式得：☆＝9