我們周圍的圓錐曲線

圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)確實是一個偉大的發(fā)現(xiàn)。在笛卡兒直角坐標系中，這些曲線的方程是二次方程，所以圓錐曲線又叫做二次曲線。對于二次曲線的價值大概還沒有人會估計得過高。在我們的實際生活中處處都有圓錐曲線。例如，我們的地球繞太陽運行的軌道是橢圓。太陽系的其他行星的運行軌道都是橢圓。這個事實是由開普勒第一定律確定的。

之所以沿著橢圓軌道運動，是因為每一個行星在每一個瞬間都有不超過某一個值的速度。事實證明，假如這個速度過大了，運動就會沿著拋物線或雙曲線軌道進行。相對于一個靜止的物體，并按照萬有引力定律受他吸引的物體運動，不可能有任何其他的軌道。因此，二次曲線實際上是以我們的宇宙為基礎(chǔ)的。

又如，如果讓拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，就得到一個叫做旋轉(zhuǎn)拋物面的曲面。在拋物面的軸上，有一個具有美妙性質(zhì)的焦點，任何一條通過該點的直線由拋物面上反射出來之后，在指向上都平行于拋物面的軸。而這意味著如果把探照燈做成拋物面的形狀，并且把燈泡放在焦點上，那么從拋物面上反射回來的所有光線就形成一束平行光束。這顯然是一個很大的優(yōu)點，因為正是這樣一束光線在空間中，甚至于在離光源距離相當大的情況下，很少擴散。當然，實際上我們得不到理想的平行光束，因為燈泡不是一個點，但對于實用的目的來說，只要接近于這樣的光束就夠了。

天文望遠鏡上的反射鏡也是利用拋物面的形狀制作的。它的作用剛好和探照燈的作用相反：探照燈的反射鏡把光線反射到空間，天文望遠鏡的反射面則把來自宇宙的光線聚焦到自己的焦點上。只要用放大鏡組瞄準這個焦點就行了，這樣，我們就會得到聚焦到其光線的那個星球的信息，這比肉眼觀察所能提供的信息要多得多。

那條不穿過雙曲線的對稱軸叫做雙曲線的虛軸。如果使雙曲線繞這條軸旋轉(zhuǎn)，那么，形成的曲面（這樣的曲面稱為單葉雙曲面）也有許多實際用處。單葉雙曲面是直紋曲面。上面有兩組母直線族，各組內(nèi)母線彼此不相交，而與另一組母線永遠相交。正是這種性質(zhì)在技術(shù)中得到了應用。例如，用直立木桿造水塔，如果把這些桿垂直地放置，那就只能得到一個很不牢固的建筑物，他會因為非常小的負荷而損壞。如果立桿時，使他們構(gòu)成一個單葉雙曲面（就是兩組母線族），并使他們的交點處連接在一起，就會得到一個非常輕巧而又非常堅固的建筑物。許多化工廠或熱電廠的冷卻塔就是利用了這個原理。

在嘗試解決古代名題的過程中，所發(fā)現(xiàn)的各種美妙曲線遠不限于螺線，蚌線和圓錐曲線?？墒?，不管找到了多少美妙的曲線，他們還是解決不了古代名題。要知道，正像我們還記得的那樣，要求不只是解出這些名題，而是除了直尺和圓規(guī)外，不準利用其他任何工具。而僅僅利用這兩種工具能否解決其中任何一個問題呢？這個問題該如何回答呢？

如果這個答案存在的話，對這個問題給予肯定的回答，原則上顯得比給予否定的回答更容易，只不過需要嘗試才能找到這個答案。經(jīng)過或多或少，接連不斷的尋找，這種題解通?？梢哉业?。

在題解不存在的情況下，事情則難辦的多。這時，只有停留在普通的幾何直觀上，幾乎不可能得到所需要的答案。在這種情況下，可以對問題進行精確的代數(shù)分析，以便用歸結(jié)為完成某些代數(shù)方程問題的不可能性證明解答這個問題的不可能性。這樣，就要求助于代數(shù)！