邊界層動(dòng)量積分方程_工程流體力學(xué)(Ⅱ

對(duì)于任意的初始條件及邊界條件，求邊界層流動(dòng)的解析解是非常困難的。電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，對(duì)于許多邊界層流動(dòng)問題可以運(yùn)用計(jì)算機(jī)求得令人滿意的數(shù)值結(jié)果。但從工程應(yīng)用的角度看，20世紀(jì)以來所發(fā)展的許多求解邊界層方程的近似方法今天仍有很大的應(yīng)用價(jià)值，因?yàn)樗鼈兪r(shí)、省力，但卻能夠給出許多重要結(jié)果。在這些方法中，采用動(dòng)量積分方程的求解方法是最簡便而又使用得最普遍的一種。這種方法并不要求物理參數(shù)在邊界層內(nèi)每一點(diǎn)精確地滿足邊界層方程，而只是要求它們?cè)谶吔鐚拥拿恳粰M截面上總體地滿足這些方程，所以，采用動(dòng)量積分方程求出的是近似解。求解動(dòng)量積分方程時(shí)，通常需要預(yù)先給定邊界層截面上速度分布的函數(shù)形式，如果所用的函數(shù)適當(dāng)，就可以得到比較準(zhǔn)確的近似解。下面首先建立動(dòng)量積分方程。

以U乘以連續(xù)方程（8.27a）各項(xiàng)，并注意到▽U/▽y=0，得

以u(píng)乘以連續(xù)方程各項(xiàng)并和運(yùn)動(dòng)方程（8.27b）相加，得

式（8.30）減去式（8.31），得

將上式對(duì)y由0至δ積分，得

對(duì)式（8.32）左邊第一項(xiàng)利用萊布尼茲（Leibniz）法則，有

考慮到y(tǒng)=δ時(shí)u=U和▽u/▽y= 0，以及y=0時(shí)u=v=0，式（8.32）變?yōu)?/p>

這就是邊界層動(dòng)量積分方程，它是由卡門（V.Karman）于1921年最先推導(dǎo)出來的，所以也稱為卡門動(dòng)量積分方程。該方程建立了壁面摩擦應(yīng)力與動(dòng)量厚度以及位移厚度的聯(lián)系。卡門動(dòng)量積分方程既適用于層流邊界層的計(jì)算，也適用于湍流邊界層的計(jì)算。

對(duì)于平板邊界層，一般有dU/dx=0，于是動(dòng)量積分方程（8.34）簡化為

例8-6設(shè)來流速度為U的平板層流邊界層內(nèi)無量綱速度的相似性解為三次多項(xiàng)式，運(yùn)用動(dòng)量積分方程求邊界層流動(dòng)的近似解。

解 根據(jù)題意，設(shè)無量綱速度

其中，a、b、c、d是待定系數(shù)，它們可以由邊界條件確定。

對(duì)于這個(gè)邊界層流動(dòng)問題，可以由下列四個(gè)邊界條件確定待定系數(shù)。

在流體與平板的交界面上有

再由式（8.28）

并考慮到在y=0有u=v=0，于是，就得到這個(gè)邊界上的另一個(gè)邊界條件

在邊界層外緣，流動(dòng)速度與外流速度相同，而且沒有切應(yīng)力（在外流中不考慮流體粘性影響），這樣可以得到外緣的兩個(gè)邊界條件

運(yùn)用這四個(gè)邊界條件，求出速度表達(dá)式中的待定系數(shù)分別為

所以滿足邊界條件的三次多項(xiàng)式速度表達(dá)式為

現(xiàn)在式中的δ還是未知的，所以速度分布并未確定。速度分布應(yīng)該滿足動(dòng)量積分方程（8.35 ）。首先由速度表達(dá)式計(jì)算動(dòng)量積分方程中的動(dòng)量損失厚度和壁面切應(yīng)力，即

把它們代入積分方程（8.35），得

或

積分，有

其中，C是積分常數(shù)。設(shè)所取坐標(biāo)系的x =0在邊界層的前緣點(diǎn)，則有x=0： δ = 0，由此確定積分常數(shù)C=0。于是解出邊界層厚度

平板壁面切應(yīng)力

長為L的單位寬度平板單側(cè)所作用的總摩擦阻力

摩擦阻力系數(shù)

例8-7設(shè)來流速度為U的平板層流邊界層內(nèi)無量綱速度的相似性解為四次多項(xiàng)式，運(yùn)用動(dòng)量積分方程求邊界層流動(dòng)的近似解。

解 根據(jù)題意，設(shè)無量綱速度

由于相對(duì)于三次速度表達(dá)式多了一個(gè)待定系數(shù)，因此需要另補(bǔ)充一個(gè)邊界條件以確定全部系數(shù)。從例8-6已知，在邊界層的外緣，▽u/▽y=0，對(duì)速度再求一次導(dǎo)數(shù)，顯然有

運(yùn)用這個(gè)條件及例8-6中所用到的四個(gè)邊界條件一起確定四次多項(xiàng)式中的待定系數(shù)后，得速度表達(dá)式

把它代入動(dòng)量積分方程，計(jì)算所得到的邊界層厚度、壁面切應(yīng)力和摩擦阻力系數(shù)分別是

以上兩例的近似解和準(zhǔn)確解（布拉休斯解）的比較列于表8-2中。同時(shí)列入表中作比較的還有一次、二次多項(xiàng)式和正弦函數(shù)速度分布的計(jì)算結(jié)果。

表8-2 平板層流邊界層近似解與布拉休斯準(zhǔn)確解的比較

通過表中的比較可以知道，就是采用最簡單的一次速度表達(dá)式也能得到定性合理的計(jì)算結(jié)果；采用三次和四次多項(xiàng)式的速度表達(dá)式，摩擦阻力系數(shù)Cf的誤差只有3%左右。可見，用動(dòng)量積分方程求解的確是一種簡便而有效的近似計(jì)算方法。