封面故事 | 最美的數(shù)學

整理◎張從志

費馬

17世紀法國著名數(shù)學大師，現(xiàn)代數(shù)論之父。本為律師，業(yè)余從事數(shù)學研究，生前很少正式發(fā)表研究成果，其數(shù)學思想多是在與其他數(shù)學家的信件中提出，由此為后世所知。

費馬在解析幾何、微積分領(lǐng)域均有重要貢獻，但在數(shù)論方面興趣最濃，成就也最高，在前人的基礎(chǔ)上厘清了這一學科的焦點問題，將經(jīng)典數(shù)論轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)代數(shù)論。他提出了多個著名的猜想，如費馬大定理（1993年由安德魯·懷爾斯證出）、費馬小定理、費馬平方和定理等，影響了后世幾代數(shù)學家。

歐拉

18世紀最具影響力的數(shù)學家，出生于瑞士一個牧師家庭，一生大部分時間在俄國和普魯士度過。13歲入讀巴塞爾大學，15歲畢業(yè)，16歲獲得碩士學位，是有名的數(shù)學神童。

作為科學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家之一，據(jù)統(tǒng)計一生共寫下近900部書籍與論文，彼得堡科學院為整理其著作花費了47年時間。他的研究對三角學、微積分、數(shù)論等領(lǐng)域產(chǎn)生了重大影響，著作《無窮小分析引論》《微分學》 《積分學》是18世紀歐洲標準的微積分教科書。他的成果還奠定了作為數(shù)學中一個獨立分支的數(shù)論的基礎(chǔ)，在該領(lǐng)域最重要的發(fā)現(xiàn)是二次反律。此外還引進了大量數(shù)學術(shù)語和符號，如表示函數(shù)的f（x）、求和Σ、自然對數(shù)的底e等等，使得數(shù)學更易于被表述和推廣。

拉格朗日

法國籍意大利裔數(shù)學家和天文學家，在近代數(shù)學史上起到了承前啟后的作用，總結(jié)了18世紀的數(shù)學成果，同時又為19世紀的數(shù)學研究開辟了道路。

他在數(shù)學、力學和天文學領(lǐng)域都有歷史性貢獻，其中包括著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日力學的創(chuàng)立。作為一名數(shù)學家，他在數(shù)學分析方面的貢獻尤其突出，讓數(shù)學分析的基礎(chǔ)脫離了幾何與力學，使數(shù)學的獨立性更為清楚，而不僅是其他學科的工具。

勒讓德

18世紀后期到19世紀初，法國數(shù)學界著名的“三L”之一——其他兩人為拉格朗日和拉普拉斯（Laplace），因三人姓氏首字母均為“L”而得此稱。

勒讓德在統(tǒng)計學、數(shù)論、抽象代數(shù)與數(shù)學分析上均有成果。他是橢圓積分理論的奠基人之一，提出了三類基本橢圓積分，證明每個橢圓積分可以表示為這三類積分的組合，并編制了詳盡的橢圓積分數(shù)值表。在數(shù)論方面，其主要貢獻是論述了二次互反律及其應(yīng)用。也是解析數(shù)論的先驅(qū)者之一，歸納出了素數(shù)分布律，促使許多數(shù)學家研究這一問題。

高斯（本組圖片：法新社供圖）

德國數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”之譽。1792年，15歲的高斯進入Carolinum學院（今布倫瑞克學院前身）學習。1795年，18歲的他轉(zhuǎn)入哥廷根大學，其間開始研究高等數(shù)學，發(fā)現(xiàn)了最小二乘法，并猜測了質(zhì)數(shù)定理。1796年，19歲的高斯成為第一位只用尺規(guī)作圖成功畫出正17邊形的人。1801年，在《算術(shù)研究》一書中做出了二次互反律的證明，為數(shù)論的發(fā)展打下了基礎(chǔ)。

高斯熱愛數(shù)學，卻討厭教學工作，學生不多，不過其中不乏數(shù)學大家，如波恩哈德·黎曼、理查德·戴德金和弗里德里?！へ惾麪?。

波恩哈德·黎曼（法新社供圖）

德國數(shù)學家，黎曼幾何學創(chuàng)始人。1846年他按照父親意愿進入哥廷根大學神學院學習哲學和神學，后改學數(shù)學。1854年在哥廷根大學發(fā)表題為《論作為幾何學基礎(chǔ)的假設(shè)》的演說，創(chuàng)立了黎曼幾何學，將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。1915年，愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創(chuàng)立了新的引力理論——廣義相對論。

1859年，黎曼提出了著名的黎曼猜想，被列為當今世界七大數(shù)學難題之一，至今無人能破。黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ 函數(shù)ζ（s）的零點分布的猜想，在數(shù)學上的重要性甚至遠遠超過知名度更高的費馬大定理與哥德巴赫猜想?？茖W界認為，這一猜想若能證明，許多數(shù)學問題將迎刃而解。

范·德·瓦爾登

生于阿姆斯特丹，1926年獲阿姆斯特丹大學博士學位。主要貢獻在代數(shù)、代數(shù)幾何、群論方法在量子物理和數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用等方面，撰寫的《近世代數(shù)》對代數(shù)學的發(fā)展起了重要影響，它的出版標志著抽象代數(shù)的初創(chuàng)時期已經(jīng)結(jié)束。其他著作有《代數(shù)幾何導論》（1939）、《量子力學中的群論方法》（1932）、《科學的覺醒》（1954）和《代數(shù)學史》（1985）等。

安德烈·韋伊

20世紀法國著名數(shù)學組織布爾巴基小組的創(chuàng)辦者之一。生于巴黎，1925年畢業(yè)于巴黎高等師范學校，之后到羅馬和哥廷根學習。作為一名猶太人，他曾身體力行反對納粹，在第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后，從法國逃到芬蘭，因涉嫌從事間諜活動險些被槍決。1941年移居美國，在芝加哥大學任教，后進入普林斯頓高等研究院。

他在許多領(lǐng)域做出過實質(zhì)的貢獻，最重要的是代數(shù)幾何和數(shù)論的深刻聯(lián)系。20世紀40年代，他力圖把代數(shù)幾何學建立在抽象代數(shù)和拓撲學的基礎(chǔ)上，建立了嚴整的代數(shù)幾何學體系，1946年出版《代數(shù)幾何學基礎(chǔ)》，并成為這一領(lǐng)域的經(jīng)典之作。1940年證明了廣義黎曼猜想。1949年提出韋伊猜想（后來由伯納德·德沃克、格羅滕迪克和皮埃爾·德利涅接力證出）。

保羅·埃爾德什

出生于匈牙利一個猶太家庭，因其猶太身份遭納粹迫害而亡命海外，轉(zhuǎn)輾英、美等國。20世紀50年代因與華羅庚通信而被懷疑通共親華，被美國麥卡錫主義者趕出美國，從此漂泊浪跡，終身未娶，沒有固定職業(yè)，一年四季奔波于世界各地，與數(shù)學界同行探討數(shù)學難題，即便垂暮之年依舊熱衷于猜想和證明。

發(fā)表論文高達1500多篇（包括與人合寫的），為現(xiàn)時發(fā)表論文數(shù)量最多的數(shù)學家（其次是歐拉）。曾和511人合寫論文，有人因此定義了一個埃爾德什數(shù)，簡稱“埃數(shù)”，規(guī)定埃爾德什的埃數(shù)為0，與他直接合作寫論文的人的埃數(shù)為1，與埃數(shù)為1的人合寫論文的人的埃數(shù)為2，依此類推，結(jié)果幾乎所有健在的數(shù)學家的“埃數(shù)”都小于10，由此可以看出埃爾德什在當代數(shù)學的聯(lián)合研究中處于多么中心的位置。他影響了數(shù)學家們從事研究的方式，數(shù)學界的合作比以往更加密切。

讓-皮埃爾·塞爾（法新社供圖）

法國數(shù)學家，主要研究領(lǐng)域是拓撲學、代數(shù)幾何與數(shù)論，目前為法蘭西學院教授。

在20世紀五六十年代，曾與格羅滕迪克合作，由此導向代數(shù)幾何的基礎(chǔ)工作，其動機源于韋伊猜想。很早就意識到須推廣層上同調(diào)理論以解決韋伊猜想，并在這方面做出了有益嘗試。1954年獲得菲爾茲獎，當時年僅28歲，是史上最年輕的獲獎?wù)摺?003年成為阿貝爾獎的首個得主，是菲爾茲獎和阿貝爾獎迄今唯一一位雙料得主。

亞歷山大·格羅滕迪克（左）（法新社供圖）

出生于德國柏林，但主要在法國生活成長。他被視為學術(shù)界的另類，未曾接受正規(guī)教育，也沒有按部就班地在學術(shù)階梯上晉升，且在1970年辭掉法國高等科學研究所的工作后完全脫離了學術(shù)界。但作為現(xiàn)代代數(shù)幾何的奠基者，其成就是歷史性的：為代數(shù)幾何奠定的嶄新基礎(chǔ)，是將空間和相關(guān)的環(huán)作為研究的主要對象；對幾何的貢獻，是借著在算術(shù)幾何中用代數(shù)方法研究數(shù)字，促進了數(shù)論的發(fā)展。通過這一路徑，與塞爾一道開啟了證明韋伊猜想的道路，并由其學生皮埃爾·德利涅最終完成。

羅伯特·朗蘭茲

出生于加拿大，20世紀最重要的數(shù)學家之一，著名的朗蘭茲綱領(lǐng)的提出者。1960年畢業(yè)于耶魯大學并被任命為講師，1967年升任教授，目前任普林斯頓高等研究所教授。

在1967年給安德烈·韋伊的一封信中，他首次提出了朗蘭茲綱領(lǐng)。這一綱領(lǐng)在數(shù)學史上具有革命性意義，它在數(shù)學中的兩大分支——數(shù)論和群論之間建立起新的聯(lián)系。朗蘭茲知道，要證明自己理論立基的假設(shè)需要幾代人的共同努力，而證明“基本引理”將是證明這項假設(shè)的合理跳板，但即便如此，其難度也大大超出了他的想象，“基本引理”遲遲未能證明。直到2009年，38歲的越南數(shù)學家吳寶珠通過引入新的代數(shù)幾何學方法才攻克了這一難題。但朗蘭茲綱領(lǐng)的完全證明仍有待數(shù)學家們的努力。

安德魯·懷爾斯

英國著名數(shù)學家，牛津大學教授。對數(shù)學的最大貢獻是證明了歷時350多年懸而未決的費馬大定理。

懷爾斯自小癡迷于費馬大定理，后來因此選擇了數(shù)學作為自己的終生追求。從1986年起，開始專心投入費馬大定理的證明工作中。1993年6月，他在英國劍橋大學牛頓研究所做了三次學術(shù)報告，在最后一次演講結(jié)束時，面對臺下的200多名數(shù)學家，完成了對費馬大定理的證明。這一消息迅速登上世界各大報紙頭版的位置，震驚了國際科學界。后來，一位數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了證明中的一處小錯誤，懷爾斯與學生理查德·泰勒耗時15個月糾正了這一錯誤，隨后將完整的證明過程公之于眾。這一成果為懷爾斯贏得無數(shù)榮譽，同時也極大地激勵了其他數(shù)學家。