幾種可降階的方程
【摘要】：p'=f(x，p)，這樣就把二階方程降為一階方程.設(shè)求得此一階方程的通解為p=φ，則原方程的通解為即把二階方程降為一階方程.設(shè)求得此一階方程的通解為p=φ，即=φ，分離變量并積分得原方程的通解為
1.5.6 幾種可降階的方程
1.y(n)=f(x)
這類方程可直接積分，積分一次得
y(n－1)=∫f(x)dx+C，
即把原方程降低一階.積分n次，即可得通解
y=∫…∫f(x)dx…dx+C1xn－1+C2xn－2+…+Cn.
2.y″=f(x，y')
這是不顯含y的二階方程，令y'=p，則y″=p'，代入即得
p'=f(x，p)，這樣就把二階方程降為一階方程.設(shè)求得此一階方程的通解為p=φ(x，C1)，則原方程的通解為
y=∫φ(x，C1)dx+C2.
3.y″=f(y，y')
這是不顯含x的二階方程，令y'=p，則
代入方程得
即把二階方程降為一階方程.設(shè)求得此一階方程的通解為p=φ(y，C1)，即
=φ(y，C1)，分離變量并積分得原方程的通解為
【例1.5-9】求方程xy″－3y'=
的通解.
解:這是不顯含y的方程，令y'=p，則y″=p'，代入方程，得一階線性方程
利用通解公式(1.5-5)，有
【例1.5-10】求微分方程y″=
滿足初始條件y|x=0=1，y'|x=0=2的解.
解:這是不顯含x的方程.令y'=p，則y″=p
入方程得
由y=1時(shí)p=2，得C1=0，且知負(fù)號(hào)不合，故
由y|x=0=1，得C2=4，于是所求特解為
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