什么是“賈憲三角”

公元1261年，我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中記載了一個(gè)用數(shù)字排列起來的三角陣(如下頁圖)，由于引用了賈憲著的《開方作法本源》和“增乘開方法”，因此這個(gè)三角陣就叫做“賈憲三角”。在歐洲，這一三角形叫做帕斯卡三角形，是帕斯卡在1654年研究出來的，比賈憲遲600年。

那么，賈憲三角有什么用呢?

賈憲三角中各行中的數(shù)字正好是二項(xiàng)式a+b乘方后，展開式中各項(xiàng)的系數(shù)。譬如

(a+b)¹=a+b;

(a+b)²=a²+2ab+b²;

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³;

……

根據(jù)這個(gè)三角陣圖，我們還可以知道

(a+b)⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶。

表中第一行，也有它的意義，只要a+b≠0，(a+b)⁰=1。

仔細(xì)觀察這一三角陣，我們可以發(fā)現(xiàn)它排列的規(guī)律:每下一行的數(shù)比上一行多1個(gè)，兩邊都是1，中間各數(shù)都寫在上一行兩數(shù)的中間，且等于它們的和。按照這一規(guī)律，我們就可以將這一三角陣?yán)^續(xù)寫下去，并得到我們所需要的二項(xiàng)式展開式的系數(shù)。

那么，最初這一三角陣又是如何構(gòu)造出來的呢?據(jù)史書記載，賈憲的方法是“增乘法”。所謂“增乘”是“以加求乘(方)”的意思。例如，要造一張具有八行的“賈憲三角”，先造下面的數(shù)表:

1　1　1　1　1　1　1　1

　 7　6　5　4　3　2　1

　　 21 15 10　6　3　1

　　　　35 20 10　4　1

　　　　　 35 15　5　1

　　　　　　　21　6　1

　　　　　　　　　7　1

　　　　　　　　　　 1

上表是依照下面三條規(guī)則造出來的:(1)第一行是8個(gè)1;(2)第二行起每行比上一行少左邊的一個(gè)數(shù);(3)每一行從右邊開始逐個(gè)數(shù)相加到某個(gè)數(shù)(只要這個(gè)數(shù)不是左邊第一個(gè)數(shù))所得到的和寫在這個(gè)數(shù)的正下方(例如，第三行右邊4個(gè)數(shù)相加1+3+6+10所得到的和20便是第四行右邊第四個(gè)數(shù))。

把由“增乘法”得到的上述數(shù)表整個(gè)地按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，便得到八行的“賈憲三角”。

與“增乘法”類似的還有“增開方法”，可以用于解數(shù)字系數(shù)的高次方程。