關(guān)于幾種形式的中國部門生產(chǎn)函數(shù)的齊次性檢驗_紀念中國社會科學院建院三十周年學術(shù)論文集·數(shù)量經(jīng)濟與技術(shù)經(jīng)濟研究所卷

關(guān)于幾種形式的中國部門生產(chǎn)函數(shù)的齊次性檢驗

汪同三　張昕竹

一、概述

近幾十年來關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)的研究結(jié)果表明，需要全面考慮各種投入要素——資本(K)、勞動力(L)、能源投入(E)和其他原材料投入(M)——對產(chǎn)出的影響。對真實生產(chǎn)函數(shù)

的二階近似在生產(chǎn)理論和生產(chǎn)函數(shù)的應用研究中具有重要意義。一個生產(chǎn)函數(shù)是F的二階近似則必須在定義域的任何點滿足:

F=F

▽²=▽²F

另一種二階近似的解釋是Taylor展開近似，設(shè)X=(x₁，…，x_n)為包括K，L，E，M在內(nèi)的n種生產(chǎn)過程的投入要素，真實生產(chǎn)函數(shù)具有如下形式:

其中f₁，…，f_n分別為x₁，…，x_n的任意二次可微變換，則通過對(1.3)式的二次可微變換，有:

對于(f₁(x₁)，…，f_n(x_n))，(1.4)式的Taylor展開為

福斯(Fuss)等人總結(jié)了7種主要的參數(shù)線性形式的生產(chǎn)函數(shù)。其中:

1.C－D函數(shù)

其中:φ(y)=logy，f_i(x_i)=logx_i并限制b_ij=0，(i，j=1，…，n)。

2.CES函數(shù)

式中:φ(y)=y^－ρ，f(x)=，并限制b_ij=0，(i，j，=1，…，n)。當然，當ρ未知時，(1.8)式是參數(shù)非線性形式。

3.Translog(超越對數(shù)型)函數(shù)

式中:φ(y)=logy，f_i(x_i)=logx_i。

4.G－L(廣義線性－Generalized linear)函數(shù)

式中:φ(y)=y，f_i(x_i)=。

以上函數(shù)形式是福斯等人所列舉的7種參數(shù)線性形式的生產(chǎn)函數(shù)中的4種，當它們的系數(shù)a₀，a_i，b_ij滿足特定條件時，函數(shù)具有線性齊次性。(另外廣義C－D函數(shù)也能在某種限制條件下滿足線性齊次性及二階近似形式的對稱性，本文未予討論)。本文的工作就是利用中國7個部門的有關(guān)數(shù)據(jù)估計上述4種生產(chǎn)函數(shù)的KLEM形式的參數(shù)，并對它們各自的一階齊次性和對稱性做檢驗(這7個部門的序號見表1)。

表1

二、估計和檢驗方法

對于C－D和CES兩個一階近似函數(shù)，可以直接從函數(shù)原型估計參數(shù)，而對Translog和G－L兩個二階近似函數(shù)，則應從生產(chǎn)的平衡條件，即要素投入份額與產(chǎn)出對投入的彈性相等來估計參數(shù)。要素投入份額為

式中:p_i為投入要素價格;q為產(chǎn)出價格。而產(chǎn)出對投入的彈性為

則平衡條件為:

且有V_i=1。

7個部門的V_E，V_M可以根據(jù)各部門的能源和其他中間投入的價值量直接計算，V_L由P_Ll/qy計算，其中P_L為人均年工資額，V_K由1－V_E－V_MV_L計算得到。我們的數(shù)據(jù)樣本從1966年到1987年共22個。在我們的工作中，(2.3)式是由若干個方程組成的聯(lián)立方程組，我們使用的是三階段最小二乘法(3SLS)以得到參數(shù)的聯(lián)立估計值。

我們的參數(shù)估計分兩個步驟:第一步，對原型函數(shù)(一階近似條件下)或(2.3)式(二階近似條件下)做無約束參數(shù)估計，得到a₀，a_i(i=K，L，E，M)(在一階近似條件下)或，a₀，a_i，b_ij(i，j=K，L，E，M)(在二階近似條件下)的估計值。第二步，在齊次性限制條件下得到上述各參數(shù)的有限制的估計值。

為簡單起見，我們以一階近似為例討論有關(guān)的有限制參數(shù)估計和檢驗問題，在此情形下，(1.6)式簡化為

設(shè)Y=(y₁，…，y_n)為(2.4)左端的數(shù)據(jù)向量，這里n為樣本數(shù); X為(2.4)式右端的由1和f_i(x_i)生成的數(shù)據(jù)矩陣(n×m陣，m為參數(shù)個數(shù))，γ為參數(shù)向量(m維)。則(2.4)式的估計方程為

這里u～N(0，σ²I_n)，u=(u₁，…，u_n)，u_i與u_j獨立(i≠j)。

由于齊次性和對稱性限制條件可以化為一組等式約束，因此限制條件下的估計方程為

式中:Hγ=c為限制條件;且秩(H)=q≤m;秩(X)=m;c為m維向量。

在有限制條件下的參數(shù)估計實際上是求解下述二次規(guī)劃問題

服從F(q，n－m)分布。

更一般地，如果(2.6)式中增加另一限制

H₁γ=c₁且　　秩(H₁)=q₁

服從F(q₁－q，n－m+q)分布。

一方面由于CES函數(shù)在ρ未定時不是參數(shù)線性的函數(shù)，故需要采用迭代的非線性估計方法;另一方面，CES的參數(shù)估計是單方程的，因此，對CES函數(shù)的齊次性及一階齊次性檢驗采用的是t檢驗方法(這將在第四節(jié)中討論)。

三、C－D函數(shù)

C－D函數(shù)最早是柯布－道格拉斯由經(jīng)驗研究發(fā)現(xiàn)的，在那里僅考慮了資本和勞動力兩種投入要素。后來多馬將C－D函數(shù)推廣到多投入要素的形式。C－D函數(shù)的KLEM形式為

其一階線性齊次條件為

關(guān)于C－D函數(shù)的無限制與有限制條件下的參數(shù)估計值及有關(guān)的統(tǒng)計檢驗值和(2.8)式所示的F檢驗結(jié)果見表2(見附表)。這里有5個部門的n=22，m=5，q=1，所以(2.8)式所示統(tǒng)計量服從F(1，17)分布。其他兩個部門——非能源重工業(yè)和工業(yè)因為樣本期內(nèi)有關(guān)變量的數(shù)據(jù)序列波動過于劇烈，我們做了一些必要的野點舍棄，這兩個部門的n分別為12和18。表2的1－5列中，每個部門的第一行數(shù)據(jù)為無限制的(3.1)式的參數(shù)估計值，第二行為在(3.2)式限制下的參數(shù)估計值，表中第二—五列括號中的數(shù)字為有關(guān)參數(shù)的t檢驗值。第六列S²與分別為無限制條件和有限制條件下的擬合值殘差平方和，第七列F為(2.8)式所示F值，第八列f.d為(2.8)式所示的自由度，第九列α_0.01為相應自由度的F檢驗的臨界值和顯著性水平。表中的e表示可由限制條件推導得出的參數(shù)(以下各表中除特別說明外，意義相同)。

表2表明，除工業(yè)部門為，其他6個部門均通過了f檢驗，即一階齊次性限制條件下的參數(shù)估計與無限制的參數(shù)估計沒有顯著性區(qū)別。這說明就C－D生產(chǎn)函數(shù)而言，規(guī)模收益不變在中國的多數(shù)生產(chǎn)部門中是較為普遍的情況，而總量程度較高的部門劃分(工業(yè))則出現(xiàn)非規(guī)模收益不變的情況，其中輕工業(yè)的一階齊次性最為明顯。表中某些部門的a_K，a_L，a_E出現(xiàn)負數(shù)，這是中國部門C－D生產(chǎn)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)的問題，但除了重工業(yè)部門的無限制的a_L，不包括能源工業(yè)的重工業(yè)的有限制的a_L，以及運輸郵電部門的有限制的a_E外，其他7個負值參數(shù)的t檢驗值均說明它們與0無顯著性區(qū)別。

四、CES函數(shù)

阿羅(Arrow)等人提出的兩投入要素的CES生產(chǎn)函數(shù)為:

這一形式是一階齊次的，以后(4.1)式又被推廣為u階齊次的

當u≠1時，它是非不變規(guī)模收益的，但仍保留齊次性。尤贊瓦(Uzawa)將(4.2)式推廣為多投入要素的情況

其中要求a_i＞0，(i=1，…，n)，ρ＞－1。

與前面的(1.8)式相比較，我們檢驗的CES函數(shù)的KLEM形式為:

同樣要求，均大于0，且ρ＞－1。為了保證上述條件被滿足，我們對下式進行估計:

這里S(a₀)為估計值的標準誤差，n=22，m=7。

其次對(4.4)式進行一階齊次性檢驗，即假設(shè)檢驗為H_0∶∶u=1統(tǒng)計量為:

其中:S(u)為估計值的標準差。

當取顯著性水平α=0.02時，臨界值(15)為2.602。在(4.6)和(4.7)式中，當T_a0或T_u大于2.062時拒絕H_0∶∶a₀=0或u=1。表3(見附表)給出7個部門的CES函數(shù)(4.4)式的參數(shù)估計值和兩個t檢驗值，表中所示內(nèi)容如前節(jié)所述。

由表3可以看出，中國7個產(chǎn)業(yè)部門的KLEM形式的CES函數(shù)均不僅能通過齊次性檢驗，而且能通過一次齊次性檢驗。這說明用CES函數(shù)研究中國的部門生產(chǎn)的規(guī)模收益性質(zhì)是很有價值的。

五、超越對數(shù)型函數(shù)

(1.9)式所示的，由克里斯滕森、喬根森、劉遵義提出的超越對數(shù)型生產(chǎn)函數(shù)是對真實生產(chǎn)函數(shù)的一種二階近似形式。它的KLME形式為:

由(2.1)—(2.3)式給出的平衡條件為:

(5.1)式的對稱性條件為在(5.2)式中的兩次出現(xiàn)必須相等。(5.1)式的一階齊次性充分必要條件為:

由(5.3)式可以得到，超越對數(shù)型生產(chǎn)函數(shù)的對稱性和一階齊次性條件是相互等價的，因此對它的對稱性和一階齊次性檢驗可以一并完成。

由于在(5.3)式條件下，(5.2)式中任一方程可以由其他三個方程得到，這里我們選擇后三個方程進行估計。對(5.2)式的參數(shù)我們用三階段最小二乘法聯(lián)立估計，估計結(jié)果見表4。表4中15個參數(shù)的第一行是無限制的參數(shù)估計值，第二行是在條件(5.3)限制下的參數(shù)估計值，其中e表示限制，即在已知其他參數(shù)值的條件下，它們可由(5.2)及(5.3)式得出。表中的S²和分別為無限制條件下的擬合殘差平方的加權(quán)和，這里我們所估計的三個方程的權(quán)數(shù)分別為V_L/(1－V_K)，V_E/(1－V_K)，V_M/(1－V_K)，顯然有

V_L/(1－V_K)+V_E/(1－V_K)+V_M/(1－V_K)=1

式中γ=(γ_L，γ_E，γ_M)^T，=()為擬合值向量。

為權(quán)數(shù)對角陣。同樣可得到。

表4(見附表)中F值由(2.8)式計算得到，其中q=6，n=22×3=66，m=5×3=15，F(xiàn)檢驗的第一，第二自由度分別為6和51。檢驗結(jié)果表明只有輕工業(yè)部門通過了對稱性和一階齊次性檢驗。

六、G－L函數(shù)

(1.10)式所示由狄沃特提出的廣義線性函數(shù)，也是對真實生產(chǎn)函數(shù)的一種二階近似。它的KLEM形式為

由(2.1)—(2.3)式給出的平衡條件為:

(6.1)式的對稱性條件為［b_KL，b_KE，b_KM，b_LE，b_LM，b_EM］在(6.2)中的兩次出現(xiàn)必須相等，也就是說(6.1)式的Hessian矩陣是對稱的。(6.1)式的一階齊次性的充分必要條件為:

由V_K+V_L+V_E+V_M=1及(6.2)得=0，這里我們需要對(6.2)中全部方程進行估計。與超越對數(shù)型函數(shù)不同的是廣義線性函數(shù)的對稱性與一階齊次性不等價，因此對這兩種性質(zhì)考慮分別檢驗。這里我們進行三次檢驗，即

檢驗Ⅰ:無限制→對稱性;檢驗Ⅱ:無限制→一階齊次性;檢驗Ⅲ:無限制→對稱性→一階齊次性。

檢驗Ⅰ和Ⅱ的F值計算公式使用(2.8)式，檢驗Ⅲ的F值計算公式使用(2.9)式。在三個檢驗中n=22×4=88，m=5×4=20，而檢驗Ⅰ中的q=6，檢驗Ⅱ中q=4，檢驗Ⅲ中q₁=10，q=6，因此在三個檢驗中第一、第二自由度分別為(6，68)，(4，68)，(4，74)。

對(6.2)式仍用了3SLS法聯(lián)立估計參數(shù)值，7個部門的無限制估計值(0)，對稱性限制估計值(Ⅰ)，一階齊次性限制估計值(Ⅱ)以及同時滿足對稱性限制和一階齊次性限制估計值(Ⅲ)分別見表5.1—5.7(見附表)的第1—4列。上述7個表中e仍表示限制，即它們的值可由對稱性或一階齊次性條件得出，表中的S²，分別為無限制、對稱性限制、一階齊次性限制、同時對稱性和一階齊次性限制的擬合值殘差平方的加權(quán)和，其表達式類似于(5.4)式。

各部門的檢驗，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的F值見表6，檢驗結(jié)果表明只有商業(yè)部門通過了相對于無限制的對稱性檢驗和一階齊次性檢驗。

表2

七、擬合優(yōu)度的顯著性檢驗

輕工業(yè)部門的C－D、CES和Translog函數(shù)均通過了一階齊次性檢驗。這樣我們可以通過F檢驗來檢驗這三種函數(shù)的擬合效果兩兩之間是否存在顯著性區(qū)別，其統(tǒng)計量為

在擬合誤差滿足正態(tài)性和獨立性時上述統(tǒng)計量服從，F(xiàn)(n_i－1，n_j－1)分布。

輕工業(yè)部門的上述三種函數(shù)的F檢驗值見表7。結(jié)果表明，除了CES和Translog之間存在顯著性差別外，其他函數(shù)形式兩兩間其擬合效果不存在顯著性區(qū)別。

表3

同樣，商業(yè)部門的C－D、CES和G－L函數(shù)均通過了一階齊次性檢驗，我們也可以通過F檢驗來檢驗這幾種函數(shù)的擬合效果兩兩之間是否存在顯著性差別。檢驗結(jié)果見表8。結(jié)果表明，三種函數(shù)兩兩之間均不存在擬合效果的顯著性區(qū)別。

表4

上述兩個檢驗結(jié)果說明，至少在函數(shù)滿足一階齊次性和/或?qū)ΨQ性條件時，一階近似函數(shù)和某些二階近似函數(shù)有基本相似的擬合效果。這為我們根據(jù)研究對象的不同特點和研究工作的不同目的選擇不同的生產(chǎn)函數(shù)形式提供了較寬的余地。

八、總結(jié)

1.本文討論了中國7個部門生產(chǎn)函數(shù)的4種形式的參數(shù)估計和一階齊次性及對稱性檢驗。我們發(fā)現(xiàn)C－D函數(shù)在劃分較細的6個部門中均能滿足一階齊次性條件，CES函數(shù)在7個部門中均能滿足一階齊次性條件，而兩個二階近似的Translog函數(shù)和G－L函數(shù)分別只在一個部門的生產(chǎn)函數(shù)中滿足一階齊次性。

2.我們的檢驗結(jié)果表明，總量水平較高的部門(如重工業(yè))的生產(chǎn)函數(shù)距離我們所檢驗的性質(zhì)較遠，而非總量水平較高的部門(如輕工業(yè))的生產(chǎn)函數(shù)距離我們所檢驗的性質(zhì)較近。這與理論生產(chǎn)函數(shù)所具有的多數(shù)性質(zhì)是由微觀層次的分析得來的有關(guān)，同時說明了在中國的有計劃的商品經(jīng)濟中，生產(chǎn)函數(shù)的部門加總問題需要進一步研究。

3.Translog函數(shù)和G－L函數(shù)分別在輕工業(yè)和商業(yè)部門通過了一階齊次性及對稱性檢驗，這是一個十分有趣的現(xiàn)象。兩個二階近似函數(shù)的參數(shù)估計是以要素投入份額與產(chǎn)出對投入的彈性相等這一平衡條件為基礎(chǔ)的，而這一平衡條件反映的是新古典主義的價格調(diào)整、市場均衡原則。在中國，輕工業(yè)和商業(yè)的生產(chǎn)顯然是與市場狀況聯(lián)系較密切的，因此，這兩個部門的二階近似生產(chǎn)函數(shù)更有可能滿足平衡條件，進而滿足一階齊次性和/或?qū)ΨQ性條件。本文所討論的其他部門，如重工業(yè)、建筑業(yè)、運輸郵電業(yè)顯然較輕工業(yè)和商業(yè)對市場機制不敏感，具有較強的計劃經(jīng)濟性質(zhì)，因此這些部門的二階近似生產(chǎn)函數(shù)難以通過齊次性和/或?qū)ΨQ性檢驗便不足為奇了。

4.由于中國的有計劃的商品經(jīng)濟與西方國家的市場經(jīng)濟機制存在著質(zhì)的區(qū)別，因此，結(jié)合中國的具體特點，借鑒西方生產(chǎn)理論的研究成果，以數(shù)量分析為基礎(chǔ)發(fā)展適合中國國情的生產(chǎn)函數(shù)的理論和應用研究是我們的一項重要的科研任務。

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(原載《數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究》1990年第4期)