圖7.5　拉格朗日肖像

牛頓在《原理》中使用的是歐幾里得《幾何原本》中的幾何學(xué)語言，現(xiàn)今大學(xué)課堂上學(xué)到的牛頓力學(xué)的代數(shù)形式是由一些數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家在將牛頓力學(xué)應(yīng)用于天體運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)展起來的。牛頓力學(xué)的這項(xiàng)改造工作主要由法國的克萊洛、達(dá)朗貝爾（Jean－Baptiste le Rond d'Alembert，1717－1783）、拉格朗日（Joseph－Louis Lagrange，1736－1813）、拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749－1827）、泊松（Siméon－Denis Poisson，1781－1840）、柯西（Augustin－Louis Cauchy，1789－1857）、瑞士的歐拉（Leonhard Euler，1707－1783）和德國的高斯（Carl Friedrich Gauss，1777－1855）等人完成。

歐拉首創(chuàng)了根數(shù)變易法，開創(chuàng)了攝動(dòng)理論的分析方法，把代數(shù)方法全面引入到天體力學(xué)的計(jì)算，完善了月球理論?？巳R洛用牛頓力學(xué)研究了地球的形狀，用單擺的周期變化測(cè)量了重力的變化。他還研究了月亮的運(yùn)動(dòng)和金星的質(zhì)量，修正了哈雷所預(yù)言的彗星回歸日期。

出生于意大利的拉格朗日，在柏林工作了一段時(shí)間，于1787年被路易十六召到巴黎。1788年拉格朗日出版了他的巨著《分析力學(xué)》，全書采用純代數(shù)的方法，沒有一幅幾何插圖。

圖7.6　拉格朗日點(diǎn)

拉格朗日在書里發(fā)展了牛頓的攝動(dòng)理論，研究了兩個(gè)大質(zhì)量的天體外加一個(gè)小質(zhì)量的天體即三體問題的軌道穩(wěn)定性問題。拉格朗日提出在兩個(gè)大質(zhì)量天體的引力共振下，存在五個(gè)特殊的穩(wěn)定點(diǎn)，其中三個(gè)點(diǎn)L1、L2、L3在兩個(gè)主天體的聯(lián)線上，另兩個(gè)點(diǎn)L4和L5位于以兩個(gè)主天體的聯(lián)線為底邊在兩側(cè)所作的兩個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)處。這五個(gè)點(diǎn)被稱作“拉格朗日點(diǎn)”。

1906年，德國天文學(xué)家沃爾夫發(fā)現(xiàn)了一顆編號(hào)為588號(hào)的小行星，這顆小行星很不合群，不在它通常應(yīng)該出現(xiàn)的小行星帶中。它運(yùn)行的速度非常慢，因此距離太陽非常遠(yuǎn)。一般小行星都以女神的名字來命名，但588號(hào)小行星太特殊了，它最后以特洛伊戰(zhàn)爭(zhēng)中的希臘英雄阿基里斯的名字命名，其含意所取就是阿基里斯自由散漫、不服管束、遠(yuǎn)離群體的個(gè)性。

觀察證明，阿基里斯運(yùn)行在木星軌道上，固定在超前木星60°的地方。同一年年底發(fā)現(xiàn)的617號(hào)小行星也在木星軌道上，但比木星落后60°。617號(hào)小行星被命名為帕特羅克盧斯，他是阿基里斯的親密伙伴。

1907年又發(fā)現(xiàn)624號(hào)小行星在木星前60°處，它被命名為赫克托，他是特洛伊的王子，在戰(zhàn)爭(zhēng)中殺死帕特羅克盧斯后又被阿基里斯殺死。1919年發(fā)現(xiàn)的911號(hào)小行星位于木星前60°處，被命名為阿伽門農(nóng)，這位希臘的眾王之王、特洛伊戰(zhàn)爭(zhēng)中的希臘軍統(tǒng)帥終于也被搬上了天。

更多的觀測(cè)發(fā)現(xiàn)在木星前后60°處分別聚集了許多小行星，所有這些小行星后來都以特洛伊戰(zhàn)爭(zhēng)中的英雄人物來命名，因此這兩群小行星被叫做“特洛伊群”。阿基里斯群和帕特羅克盧斯群分別與太陽和木星構(gòu)成等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)拉格朗日點(diǎn)的L4和L5兩點(diǎn)。

到2010年2月為止，木星－太陽的特洛伊群小行星一共發(fā)現(xiàn)了4 076顆。其中位于L4點(diǎn)的小行星有2 603顆，L5點(diǎn)處有1 473顆。

除了木星－太陽的特洛伊群之外，在火星－太陽的特洛伊位置找到了4顆小行星，1顆在L4點(diǎn)，3顆在L5點(diǎn)；在海王星－太陽的特洛伊位置找到了6顆小行星，都在L4點(diǎn)處。

迄今為止在地球－太陽或者月球－地球的特洛伊位置上還沒有發(fā)現(xiàn)小行星，但在1956年天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)在地球－太陽的特洛伊位置上有星際塵埃大量聚集，最近的天文衛(wèi)星觀測(cè)證實(shí)在地球軌道上有圍繞太陽的塵埃環(huán)存在，這個(gè)塵埃環(huán)與地球－太陽的特洛伊位置有密切關(guān)系。

拉格朗日還研究了太陽系的長期穩(wěn)定性問題。當(dāng)時(shí)的兩項(xiàng)天文觀測(cè)結(jié)果讓人們?yōu)樘栂档姆€(wěn)定性擔(dān)憂：一是木星的加速和土星的減速現(xiàn)象，這一現(xiàn)象從第谷時(shí)代已為人所熟知；另一個(gè)是哈雷提出的月亮從古代起就一直存在著的明顯加速現(xiàn)象。這意味著，如果它們繼續(xù)這樣發(fā)展下去，木星就會(huì)沿螺線進(jìn)入太陽，土星會(huì)逐漸離開太陽，而月亮則會(huì)落入地球，太陽系將會(huì)發(fā)生巨變乃至瓦解。

1774年，拉格朗日證明，在一級(jí)近似下，行星的軌道傾角和交點(diǎn)連線空間指向呈現(xiàn)周期性的振蕩，周期長達(dá)幾千年。一讀到拉格朗日的證明，拉普拉斯立即用同樣的方式分析了行星軌道其他方面的一些問題。

拉普拉斯的早年生活人們所知甚少。他18歲時(shí)被送到巴黎，帶著將他介紹給達(dá)朗貝爾的信，但這位大數(shù)學(xué)家卻拒絕見他。拉普拉斯就寄了一篇力學(xué)論文給達(dá)朗貝爾。這篇論文如此出色，以致達(dá)朗貝爾突然高興做拉普拉斯的教父。

圖7.7　拉普拉斯肖像

1785年，拉普拉斯發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)致木星做長期加速運(yùn)動(dòng)和土星的減速運(yùn)動(dòng)的原因：該變化并非像歐拉曾經(jīng)以為的那樣是單向的，而是周期性的，其周期約為900年。它依賴于兩個(gè)相互作用的天體（木星和土星）與太陽之間的位置關(guān)系。1787年拉普拉斯找到了月亮長期加速運(yùn)動(dòng)的原因。這是一個(gè)二級(jí)效應(yīng)，起因于地球橢圓軌道偏心率的緩慢變小，這使得太陽對(duì)月亮的作用有所減小。在地球軌道的長周期變化中，當(dāng)偏心率停止減小并開始轉(zhuǎn)向增加時(shí)，這一加速效應(yīng)就會(huì)發(fā)生逆轉(zhuǎn)。到了1850年代，人們發(fā)現(xiàn)拉普拉斯的解釋只說明了其中的一半加速量，另一半則應(yīng)歸因于由月亮引起的潮汐摩擦所造成的地球自轉(zhuǎn)減慢的影響。

1796年拉普拉斯出版了他的《宇宙體系論》，在書中拉普拉斯向讀者通俗地描繪了這樣一幅太陽系圖景：其內(nèi)部的行星運(yùn)動(dòng)和幾何參數(shù)在它們的平均值附近發(fā)生小幅度的長周期變化。拉普拉斯相信他已經(jīng)證明了太陽系是一個(gè)穩(wěn)定的、可自我調(diào)節(jié)的系統(tǒng)，在這方面它與生物界顯然存在的自我調(diào)節(jié)是類似的。

在《宇宙體系論》的一則附錄中，拉普拉斯提出了太陽系起源于一團(tuán)星云的假說。他猜測(cè)太陽系開始是一團(tuán)巨大的旋轉(zhuǎn)著的星云，隨著星云中無數(shù)粒子的相互吸引，行星及其衛(wèi)星從中凝聚了出來。該假說可以說明所有行星和當(dāng)時(shí)已知的衛(wèi)星軌道的共向性和共面性。這是一項(xiàng)他本人也不怎么重視的猜測(cè)，卻為他贏得不少名聲。

如果說《宇宙體系論》是一本為普通公眾所寫的不需要數(shù)學(xué)知識(shí)的天文普及讀物，那么拉普拉斯的《天體力學(xué)》則是一部讓普通讀者望而生畏的數(shù)理天文學(xué)巨著?！短祗w力學(xué)》從1799年到1825年間陸續(xù)出版，共五大卷16冊(cè)。第一卷2冊(cè)、第二卷3冊(cè)于1799年出版，內(nèi)容包括：首次提出“天體力學(xué)”（Celestial Mechanics）的名稱；理論力學(xué)、天體力學(xué)的基本問題；均勻流體自轉(zhuǎn)的平衡形狀；潮汐、歲差、章動(dòng)、月球天平動(dòng)和土星環(huán)。第三卷2冊(cè)于1802年出版，致力于行星和月球的攝動(dòng)理論。第四卷3冊(cè)于1805年出版，內(nèi)容包括：木星伽利略衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)；周期彗星的運(yùn)動(dòng)；三體問題特解；介質(zhì)阻尼。第五卷6冊(cè)于1825年出版，補(bǔ)充以上四卷，內(nèi)容包括：地球自轉(zhuǎn)和形狀；球體的吸引和排斥；彈性流體的平衡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律；行星表面流體的漲落；天體繞自己重心的運(yùn)動(dòng)；行星、彗星和衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)。

拉普拉斯在《天體力學(xué)》中兩次對(duì)太陽系穩(wěn)定性作了詳細(xì)的數(shù)學(xué)論證，他指出：“我們根據(jù)引力的理論進(jìn)一步推算出行星（特別是木、土兩星）運(yùn)動(dòng)的基本方程式，這些運(yùn)動(dòng)的差數(shù)有900多年的周期。木星和土星運(yùn)動(dòng)的差數(shù)，天文學(xué)家起初以為是很奇特的，因?yàn)椴幻靼走@些差數(shù)的規(guī)律和原因，許久以來好像它們和引力理論發(fā)生矛盾。但是由仔細(xì)的研究表明這些差數(shù)是可以從理論推導(dǎo)出來的，它們就成了理論真實(shí)性的最驚人的證明。”^[2]

在《天體力學(xué)》中拉普拉斯高超的數(shù)學(xué)分析技巧展露無遺。據(jù)說在書中拉普拉斯常用的一句口頭禪是：從方程A“顯而易見”可以得到方程B，而為了弄清這“顯而易見”別人要花上幾小時(shí)甚至幾天的工夫。傳說拿破侖翻遍了《天體力學(xué)》全書，把拉普拉斯叫去，問他為什么這本講述造物主所創(chuàng)造的世界的書中從來不提造物主的名字。拉普拉斯回答說：“陛下，我不需要這個(gè)假設(shè)！”拉格朗日聽到這話后說：“??！可是它同樣也是個(gè)美妙的假設(shè)呢，它解釋了多少事情??！”

圖7.8　火星－木星間隙