解析幾何的發(fā)現(xiàn)一般歸功于笛卡兒（1596—1650）和費(fèi)瑪（1601—1665），但在他們之前即已經(jīng)被了解和使用，其時(shí)間甚至可以推溯到阿波羅尼奧斯時(shí)代。

在笛卡兒辭職將精力更多投入數(shù)學(xué)和哲學(xué)之后，他首先寫了《世界》，但并沒有發(fā)表，之后最著名的著作《方法論》在1637年發(fā)表。該著作主要是哲學(xué)性質(zhì)，但笛卡兒在后來的一年加入了三個(gè)科學(xué)附稿，其中第三個(gè)是《幾何學(xué)》，解釋了解析幾何的原則。這本書牛頓在劍橋大學(xué)時(shí)曾經(jīng)讀過，并幫助他形成了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。書晦澀難讀，風(fēng)格也模糊不清，笛卡兒說他故意使然，以免某些自作聰明者會(huì)說他們?cè)缫阎淙?。幸運(yùn)的是，約翰·瓦里斯（1616—1703），一位早年在牛津大學(xué)做過教授的劍橋數(shù)學(xué)家在1665年發(fā)表了圓錐曲線的專著，并非常清楚地解釋了整個(gè)課題。

另外一個(gè)偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)瑪也對(duì)這個(gè)課題饒有興趣，并似乎獨(dú)立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的一般方法，但是因?yàn)樗蟛糠种鞫紱]有在生前發(fā)表，因而榮譽(yù)主要?dú)w于笛卡兒。

方法的一般原則迅速得到理解。圓的不同特性，如同歐幾里得所清晰表述過的一樣，似乎首先成為被分離且獨(dú)立的特性——如同人的鞋和外衣的顏色，但是它們實(shí)際上并非如此。這些特性的大部分都是圓而不是曲線的特性，所以其中任何一個(gè)都是圓的一個(gè)定義，或是一個(gè)完整描述，因而包含了圓的所有特性。

我們可以將圓定義為一個(gè)曲線，其上所有點(diǎn)都到我們所稱的中心的距離相等，這是歐幾里得的定義。圓的所有特點(diǎn)都以此為基礎(chǔ)，歐幾里得也做了表述。但是我們也可以將圓定義為一個(gè)曲線，一個(gè)固定的直線AB到其上每個(gè)點(diǎn)都形成相等的弧角——當(dāng)我們圍繞著圓行走時(shí)，AB在我們看來都是一樣的，圖6-6的ACB角總是保持一致（當(dāng)我們走過A或B時(shí)，可能會(huì)有一點(diǎn)復(fù)雜，但這里不需過多論述）。

這最初似乎與歐幾里得的定義不相關(guān)，但是可以顯示出，兩個(gè)定義都暗示了同樣的性質(zhì)，它們?cè)谶壿嬌系韧，F(xiàn)在解析幾何的方法將對(duì)定義進(jìn)行另一番描述，我們可以將之描述為代數(shù)定義，并且由它可以僅僅通過代數(shù)過程將我們需要的曲線的很多特性推演出來。

我們可以設(shè)想一個(gè)通過小方格標(biāo)出的平面（圖6-5），如同地圖可以通過經(jīng)度和緯度進(jìn)行標(biāo)示。我們可以對(duì)區(qū)域內(nèi)的C進(jìn)行確定，即位于O點(diǎn)右側(cè)x單位長(zhǎng)度，在通過O的水平直線的上方y(tǒng)單位長(zhǎng)度?；蛘撸绻鸒X、OY二者通過O并垂直，我們可以說，C點(diǎn)沿OX的距離為x，沿OY的距離為y、x和y的值就叫作C點(diǎn)的“坐標(biāo)”。

圖6-5

畢達(dá)哥拉斯的定理告訴我們OC2=x2＋y2，這樣，如果一個(gè)半徑為a的圓以O(shè)為圓心畫出，并且提條件滿足是x2＋y2=a2，那么C就位于圓上。這種關(guān)系對(duì)所有圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適用，而非其他點(diǎn)；這形成了圓的代數(shù)界定，圓的所有特性都在其中，我們稱之為圓的方程式。

如果我們對(duì)圓進(jìn)行其他定義，就會(huì)得到完全一致的關(guān)系——例如，一條曲線，某固定直線AB到其上任何一點(diǎn)形成的角都是直角（圖6-6）。令A(yù)B的長(zhǎng)度等于2 a，令O成為中心點(diǎn)，令圓上任何一點(diǎn)C到AB的垂線與AB交于D，即OD=x，DC=y。這樣ACB將成為直角，而畢達(dá)哥拉斯定理告訴我們：AB2=AC2＋CB2=（AD2＋DC2）+（DC2＋DB2）=（a＋x）2＋2y2+（a－x）2=2（a2＋x2＋y2）。

圖6-6

由于AB2等于4a2，方程成為x2＋y2=a2，與我們前面獲得的結(jié)果一樣。

無論我們對(duì)圓采用何種定義，都會(huì)得到同樣的代數(shù)描述。的確這是必然的，否則同樣的曲線會(huì)有兩種不統(tǒng)一的特性。將這個(gè)程序逆轉(zhuǎn)，如同這個(gè)描述可通過圓的任何一個(gè)特性得出，反過來，一個(gè)圓的任何特性都可以從簡(jiǎn)單的代數(shù)過程得出。

同樣，其他任何曲線都可以用一個(gè)類似的方程來總結(jié)所有特性，這個(gè)等式成為了曲線特性的某種集合，數(shù)量可能達(dá)到數(shù)百，從這個(gè)等式我們可以盡量多地推導(dǎo)出曲線的所有特性。

這就是解析幾何的方法，它們無以倫比地更加強(qiáng)大，更加簡(jiǎn)潔，更加具有洞察力，這些都是老式希臘幾何的探索方法所不能比擬的，它們現(xiàn)在成了老古董。