青蛙的對稱跳

1985年，第三屆五四青年智力競賽中有這樣一道題:

地面上有A、B、C3點，一只青蛙位于地面上距離C點為0.27米的P點，青蛙第一步從P跳到關(guān)于A的對稱點P₁，我們把這個動作說成是青蛙從P點關(guān)于A點作“對稱跳”;第二步從P₁出發(fā)對B點做對稱跳到P₂;第三步從P₂點出發(fā)對C點做對稱跳到達P₃;第四步從P₃再對A做對稱跳到達P₄，……，按這種方式一直跳下去。若青蛙第1985步對稱跳之后到達P₁₉₈₅，問此點與出發(fā)點P的距離為多少厘米?

要在短時間內(nèi)把1985步對稱跳都做出來是困難的，這里面一定隱含著某種規(guī)律。

設(shè)想我們在地面上建立了一個直角坐標(biāo)系，使出發(fā)點P正好是坐標(biāo)原點，并設(shè)A(a₁，a₂)B(b₁，b₂)，C(c₁，c₂)。

根據(jù)對稱跳的定義，P和P₁關(guān)于A點對稱。由于P(0，0)，則點P₁的坐標(biāo)為(2a₁，2b₁)。設(shè)P₂(x₂，y₂)，由于B是P₁與P₂的中點，則x₂=2b₁－2a₁，y₂=2b₂－2a₂。實際上，我們只須關(guān)心點的第一個坐標(biāo)。

設(shè)P_i(x_i，y_i)，i=1，2，3，4，5，6，我們又有

x₃=2c₁－x₂=2(c₁－b₁+a₁)，

x₄=2a₁－x₃=2(b₁－c₁)，

x₅=2b₁－x₄=2c₁，

x₆=2c₁－x₅=0。

類似地可知y₆=0，這表明P₆=P，也就是說，經(jīng)過關(guān)于A，B，C的6次對稱跳之后，青蛙又回后到了原出發(fā)點，這又可以說成:這樣的對稱以6為周期。由于1985=6×330+ 5，所以經(jīng)過1985步對稱跳，實際上相當(dāng)于只做了5次對稱跳，或者說只差一步就跳回到原點，它與P是關(guān)于點C對稱的兩點，因此。

P₁₉₈₅與P的距離=P₅與P的距離

=2×(P與C的距離)=2×0.27米

=0.54米=54厘米。