羅杰·彭羅斯

數(shù)學(xué)有一種獨立的實在嗎？抑或它只是人類的思想和文化的產(chǎn)物？或許它只是對我們所發(fā)現(xiàn)的所謂數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)那樣的東西的一種理想化，而這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)則是對物理世界的結(jié)構(gòu)和動力學(xué)行為的一種近似？

在這一章中，我試圖闡述數(shù)學(xué)柏拉圖主義在下述兩個方面的觀點：數(shù)學(xué)的獨立實在的問題和物理行為是否基本取決于這種預(yù)先存在的數(shù)學(xué)的問題。這兩個問題構(gòu)成了本章的基本議題，盡管它們在反對數(shù)學(xué)柏拉圖主義的人那里也許常常被混淆。我將用圖4.1來說明我在這些問題上的立場。在圖4.1里，我直觀地描述了三個“世界”：物理的、精神的和數(shù)學(xué)的世界，同時也給出了三者之間的神秘聯(lián)系。[19]

上面提到的數(shù)學(xué)柏拉圖主義的第一個問題就是這里的“奧秘0”——“數(shù)學(xué)世界”——是否僅僅是我們的精神活動的產(chǎn)物，在此之外不存在任何實在，還是它有它自己的獨立存在的實體？如果是后者，原則上我們是否有機會掌握這個世界的全部內(nèi)容？第二個（獨立于前一個問題的）問題——我們用“奧秘1”來描述——涉及數(shù)學(xué)在物理理論上的作用。數(shù)學(xué)在我們理解物理世界上毫無疑問是有用的，但這種效用難道僅僅反映了我們在將觀測數(shù)據(jù)整理成某種易于理解的形式方面的熟練程度，揭示了某些方面的物理本質(zhì)，而所用的數(shù)學(xué)理論其重要性則在其次，它們僅僅是好用而已？還是像許多理論物理學(xué)家所信奉的那樣，物理世界的運行對于預(yù)先存在的數(shù)學(xué)秩序真的存在一種深刻而又精確的基本依賴關(guān)系？這種數(shù)學(xué)秩序非常優(yōu)美和復(fù)雜，它們就在那兒等待被發(fā)現(xiàn)，而不是我們在探索理解大自然的過程中簡單地強加給大自然的。

圖4.1三個“世界”：物理世界、精神世界和柏拉圖數(shù)學(xué)世界

要使這三個世界構(gòu)成完整的聯(lián)系就涉及“奧秘2”，它反映的是物理實在與精神世界尤其是主觀意識之間的關(guān)系。意識是如何從一個似乎完全由客觀的數(shù)學(xué)運算控制的世界中產(chǎn)生出來的？或者說，在一定程度上看，意識是主要的嗎？在任何意義上，它的存在都是我們稱之為“宇宙”的這樣一種結(jié)構(gòu)存在的必不可少的先決條件嗎？意識這種神秘的現(xiàn)象出現(xiàn)在我們的大腦，到底是僅僅反映了我們的腦結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，還是它本身就具有某種其他的復(fù)雜性質(zhì)？而且，如果答案是肯定的，那么要理解這種復(fù)雜性是不是唯有靠計算？在目前的計算機時代，這似乎已是一種共識。或者，意識的存在還需要其他的不可能用計算概念來理解的重要的先決條件？如果是后者，那就是說在我們目前用于描述世界的物理學(xué)的背后還隱藏著某種東西？或者說我們必須尋找更深層次的（數(shù)學(xué)？）理論才可能對意識現(xiàn)象進行物理描述？或者說我們可能必須看得更遠，對它的理解已經(jīng)超越了任何一種科學(xué)的范疇，采取一種類似宗教在這些問題的基本態(tài)度？

在這一章里，鑒于研討會的主題是數(shù)學(xué)，因此我主要討論奧秘0和奧秘1。但是我認為，要對這兩個謎團做充分的討論，就不可能完全拋開奧秘2。我將（借助于哥德爾不完備性）證明，這樣一種情形（完全是事實）——我們的大腦能夠理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)證明，至少在有利的情況下——會使我們得出結(jié)論：有意識的大腦的思維不可能完全用計算來詮釋，因此，我們的大腦不可能完全是計算物理的產(chǎn)物。不會出現(xiàn)這樣一種情形：我們目前理解的物理定律能夠包含任何本質(zhì)上是非計算的東西（這里僅僅具有“隨機”性質(zhì)還不足以被看成是“本質(zhì)上非計算的”）。由此得出的結(jié)論是：有意識的大腦在思維時必然有某些東西是超出我們今天的物理定律所支配的范疇的。我自己的觀點是，有意識的大腦思維時的強烈指向性依賴于特定的物理學(xué)領(lǐng)域，這個領(lǐng)域可能處于量子/經(jīng)典的邊界，它不在我們今天的物理理論的范疇之內(nèi)，而所需的物理學(xué)革命本身可能還不至于遠遠超出目前所能理解的范圍。

奧秘0的問題確實是一個與上述討論密切相關(guān)的問題。我們將獲得數(shù)學(xué)真理看成是某種“神秘的”事情，其部分原因就在于我們所具有的感知各種特定的數(shù)學(xué)判斷的真理性的能力的性質(zhì)。正如哥德爾（和圖靈）已證明的那樣，如果我們將一種具體的、計算上可檢驗的程序P作為一種有效的數(shù)學(xué)證明方法加以接受，那么，我們同樣必須接受某個命題G（P）的真理性，其中G（P）的真理性不在程序P的范圍之內(nèi)。因此，我們確定數(shù)學(xué)真理的方法不可能完全還原到我們認為有效的計算過程。雖然不同的邏輯學(xué)家對這一結(jié)論給出過不同的解釋，但在我看來，它的意義很明確：就有意識的理解而言，在純粹的計算之外必定存在某種必不可少的東西。（有關(guān)這一點的進一步討論，見Penrose，1997。）但在判斷數(shù)學(xué)命題的真理性時有意識的頭腦中到底是什么在活動，仍然是個深奧的秘密。

同時，我堅持認為，數(shù)學(xué)真理具有很強的客觀性（事實上，這一點正是哥德爾自己的看法），而不僅是一些在帶有任意性的規(guī)則的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的人類文化“游戲”。不過，我樂意接受這樣一種觀點：有可能存在“一定程度上的柏拉圖主義”，就是說，一些數(shù)學(xué)家可以將某個命題P的真理性當作一種“客觀”事實，而另一些數(shù)學(xué)家則可能采取P的“真”或“假”是一個見仁見智的問題，主要取決于他所依據(jù)的是什么樣的“人造的”公理系統(tǒng)的觀點。我認為，從哥德爾的建構(gòu)哲學(xué)來看，有一點是明確的：數(shù)學(xué)的某些領(lǐng)域的確是“客觀的”，因此是一種不以人的意志而轉(zhuǎn)移的存在。這個領(lǐng)域可以是所謂“Π1句式”的真理，它是這樣一類斷言：“如此這般的計算過程永遠不會終止”（這里的“計算過程”是指“圖靈機上的運算”）。Π1句式的一個著名的例子是費馬大定理。在我看來，Π1句式是真還是假完全是客觀的，所以Π1句式的真值具有一種柏拉圖式的實在性，這是毫無疑問的（雖然某些具體的Π1句式的實際建立過程有可能含有一定的主觀因素）。

另一方面，一些更復(fù)雜的斷言，如康托爾的（廣義）連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，其真理的客觀性也許更值得懷疑。所有這種斷言其絕對意義上的真假似乎需要一種更強形式的數(shù)學(xué)柏拉圖主義[20]，而不僅僅依賴于某些特定的“人造”的公理系統(tǒng)。數(shù)學(xué)家是否是一個柏拉圖主義者通常指的正是這種意義上的柏拉圖主義。我自己的立場并不特別為這個問題所困擾，對于絕大多數(shù)與物理相關(guān)的論證來說，相對較弱的柏拉圖主義似乎完全足夠了。

事實上，要接受上述結(jié)論，我們需要考慮的是這樣一種“柏拉圖數(shù)學(xué)世界”，它僅需大到足以包括對物理定律的描述即可。對于它的“存在”我們有一種額外的、超乎人類文化或想象的情形。就目前已知的情形而言，物理世界的運行在很高的精度上與數(shù)學(xué)理論符合得相當好。其中特別引人注目的例子是雙中子星系統(tǒng)PSR 1913+16（見Hartle，2003），人類觀察它已有30年，對它的脈沖信號的時間間隔的觀察與愛因斯坦的廣義相對論預(yù)言之間的一致性可謂驚人（誤差小于十萬分之一秒）。這表明，自然世界在其最基本層次（這里是指空間和時間的結(jié)構(gòu)）上的運行機制與復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論之間有著非凡的一致性。在我看來，認為這一致性僅僅是我們設(shè)法讓觀測事實符合一套我們可以理解的理論框架的結(jié)果，這種想法是沒有道理的。自然與復(fù)雜而優(yōu)美的數(shù)學(xué)之間的這種一致性一直就在“那兒”，時間上遠遠早于人類的出現(xiàn)，或我們所知的宇宙間任何其他有意識的實體的出現(xiàn)。[21]

致謝

本文得到美國國家自然科學(xué)基金PHY—0090091的支助，特在此致謝。