數(shù)學(xué)概念：克萊因瓶、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)

克萊因瓶非常不可思議。解釋得更清楚一點(diǎn)，要弄懂它，需要設(shè)想一個(gè)第四維空間———一個(gè)與我們的三維空間成直角的空間。克萊因瓶雖然奇怪，但或許蘊(yùn)含著宇宙命運(yùn)的奧秘。

克萊因瓶由德國數(shù)學(xué)家菲立克斯·克萊因于1882年提出，它最初的德語名稱是KleinscheFlche（克萊因平面），但可能被誤讀成了KleinscheFlasche（克萊因瓶），總之，這個(gè)名稱被沿用至今?？巳R因瓶實(shí)際上是一個(gè)平面———一個(gè)二維流形，和球面一樣，它也沒有邊界。同時(shí)，它也沒有定向性，也就是說，沿著這個(gè)表面前進(jìn)，方向是在不斷變化的。

克萊因瓶之所以有名，還有另一層原因：它沒有內(nèi)部和外部之分，內(nèi)部和外部合成了一個(gè)空間（類似第7章中的莫比烏斯帶，只有一個(gè)面。事實(shí)上，要是將一個(gè)克萊因瓶切成兩半，就會(huì)得到兩條莫比烏斯帶）。另一點(diǎn)值得注意的是，克萊因瓶無法在三維空間里表現(xiàn)出來。如果要用一張紙做出一個(gè)克萊因瓶，首先要將這張紙折成一個(gè)圓筒，然后將一端扭180°，而不是直接將兩端粘在一起，形成一個(gè)圓環(huán)。要扭180°，就必須把這一端“上升”到第四維度。因?yàn)槲覀兩畹氖澜缡侨S的，我們能做的就是把圓筒的一端穿過圓筒，與另一端粘在一起。最終的形狀是相交的，而假如我們生活在四維空間里的話，克萊因瓶就不會(huì)相交。

要理解背后的原因，不妨假想你生活在一個(gè)二維空間里，這個(gè)空間有一條界線，就像一條二維的繩子。如果有人讓你把這條界線折成8字形，但不能相交，你是不可能做到的。怎么可能呢？你必須把這條界線“上升”到三維空間，這樣它才不會(huì)相交。

回到克萊因瓶與宇宙命運(yùn)的關(guān)系。宇宙的未來，包括恒星、銀河系和太空的命運(yùn)，一部分取決于宇宙的整體形狀?？茖W(xué)家根據(jù)他們的觀察結(jié)果，提出了各種可能的形狀，有些像一張平紙朝各個(gè)方向無限延展———被稱為歐幾里得3流形的三維空間；有些則是“封閉”的形狀，也就是說，盡管無限廣闊，但最終還是會(huì)相交（典型的例子是球面。從球面上的任意一點(diǎn)開始，沿著直線走，最終一定會(huì)回到起點(diǎn)）。但正如我們所知，宇宙的形狀可能并不是這樣的，就像我們生活在一個(gè)球體上，但周圍環(huán)境給我們的直觀感覺是，我們生活在一個(gè)無限廣闊的平面上，我們在宇宙中的位置讓我們覺得，宇宙就像直線一樣朝各個(gè)方向延展，可事實(shí)上，從某個(gè)我們無法觀察到的地方看，宇宙也許像一個(gè)車座或圓柱體，也可能會(huì)像一個(gè)克萊因瓶。

因此，如果你覺得第四維空間與我們的日常生活沒有關(guān)系，不妨再想想。也許，你就生活在這樣的空間里。

菲立克斯·克萊因

菲立克斯·克萊因，生于1849年，曾在德國哥廷根大學(xué)教授數(shù)學(xué)，對(duì)幾何學(xué)有著濃厚的興趣。他的妻子是偉大的哲學(xué)家格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾的孫女。