探究讓課堂充滿(mǎn)活力

電白縣第一中學(xué)　邵廣明

培養(yǎng)創(chuàng)造性思維是素質(zhì)教育的主要任務(wù)之一,突破舊的教學(xué)模式,精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié),多給學(xué)生以創(chuàng)新的條件、機(jī)遇和氛圍,突出知識(shí)的發(fā)生、形成、探索過(guò)程,寓創(chuàng)新意識(shí)于課堂教學(xué)之中,是教學(xué)設(shè)計(jì)的主旋律。本文就橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一課如何培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)作案例探討,具體過(guò)程如下:

1.以問(wèn)題為中心,注重過(guò)程教學(xué)

首先,設(shè)計(jì)如下情境,提出反常規(guī)的問(wèn)題。

設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),焦點(diǎn)F₁和F₂的坐標(biāo)分別是(-c,0),(c,0)。由橢圓的定義,可得

圖1

問(wèn)題1　為什么將③式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

對(duì)于這一問(wèn)題學(xué)生首先會(huì)感到奇怪,似乎③式作為標(biāo)準(zhǔn)方程是順理成章的,進(jìn)而會(huì)展開(kāi)熱烈的討論,這時(shí)總結(jié)一下大致有以下幾點(diǎn)理由:

(1)③式簡(jiǎn)捷,具有對(duì)稱(chēng)的美感。

(2)③式為我們提供了求橢圓軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程,方便用待定系數(shù)法求解軌跡的方程。

(3)根據(jù)解析幾何用曲線(xiàn)的方程研究曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)這一特點(diǎn),③式方便研究橢圓的幾何性質(zhì)。

針對(duì)上述理由(3),組織學(xué)生就如何利用③式從整體上把握橢圓的曲線(xiàn)的形狀展開(kāi)討論。這樣便自然引出:范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率等內(nèi)容。若要進(jìn)一步研究橢圓的曲線(xiàn),自然需要列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)等常用手段,于是課本中的例4便自然出來(lái)了。

2.以探究為熱點(diǎn),培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

我們討論了③式作為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的諸多優(yōu)點(diǎn),自然我們會(huì)有:

問(wèn)題2　將③式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么缺點(diǎn)？

對(duì)于這一問(wèn)題學(xué)生感到有些困難,教師可以和學(xué)生一起比較圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)缺點(diǎn)后,發(fā)現(xiàn)③式無(wú)法揭示橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)2a這一本質(zhì)屬性,相比之下①式恰好具有這一優(yōu)點(diǎn)。于是師生可以一起討論①式的優(yōu)缺點(diǎn),具體可得:

(1)①式充分揭示了橢圓的定義。

(2)①式難以討論橢圓的其他幾何性質(zhì),如范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)等。

通過(guò)以上討論,自然產(chǎn)生了問(wèn)題3。

問(wèn)題3　是否存在一個(gè)方程,同時(shí)體現(xiàn)橢圓的第一定義和橢圓的幾何性質(zhì)？自然將目光轉(zhuǎn)向②式,將②式變形,得

⑤、⑥兩式將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為只和焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)的一維算式,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)降維思想。而⑦式正好揭示了橢圓的第二定義,正是書(shū)本上例6的意圖(圖2)。

圖2

如此處理教材,自然流暢,既能完成教學(xué)任務(wù),又充分揭示了知識(shí)的發(fā)展過(guò)程,通過(guò)被人們所遺棄的②式,挖掘出如此寶貴的教學(xué)成果,這會(huì)讓學(xué)生興奮不已。在品嘗創(chuàng)新成果的同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3.以反思為主調(diào),奏響創(chuàng)新旋律

反思是創(chuàng)新的源泉。通過(guò)前面的探索,獲得一系列創(chuàng)新成果以后,及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣,打破思維定勢(shì),爭(zhēng)取更大的突破。

總結(jié)上面的討論,我們發(fā)現(xiàn)對(duì)①式的每一次變形,都會(huì)收到一系列令人激動(dòng)的科學(xué)成果,那么自然會(huì)有問(wèn)題4。

問(wèn)題4?、偈竭€有其他變形嗎？如果有又能得到什么收獲呢？

此時(shí),學(xué)生的思維已被激活,討論特別的活躍,熱情空前的高漲,通過(guò)討論可獲得一系列成果如下:

成果一:將①式兩邊平方,整理,可得

⑧式揭示了橢圓的又一本質(zhì)屬性:

即橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之積,和它到橢圓中心距離的平方之和等于常數(shù)(圖3)。

圖3

成果二:將⑤、⑥式代入⑧式,可得

若將動(dòng)點(diǎn)到中心和長(zhǎng)度稱(chēng)為橢圓的半徑,那么⑨式給出了橢圓半徑的計(jì)算方法,它只和該點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān),同樣起到降維的作用。

成果三:若將①式的兩邊乘以,整理可得

⑩式給出了橢圓的又一本質(zhì)屬性:橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差與該點(diǎn)到橢圓的一條對(duì)稱(chēng)軸(垂直于焦點(diǎn)所在直線(xiàn))的距離之比是一個(gè)常數(shù)。

成果四:在△F1MF2中(圖1),設(shè)∠F1MF2=α,則由余弦定理可得

212式給出了橢圓半徑與動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)連線(xiàn)所成角的關(guān)系。

應(yīng)該指出:本節(jié)課的創(chuàng)新討論是無(wú)止境的,關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。當(dāng)然由于學(xué)生的程度不同,得到的成果也不同,無(wú)論如何,教師都應(yīng)給予充分的肯定。

從對(duì)①式作變形看,自然也可考慮對(duì)其他式子變形,如將③式變形成,于是可得,橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩頂點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)的連線(xiàn)的斜率之積等于常數(shù)等等。

現(xiàn)在,新課程理念就是倡導(dǎo)我們教師培養(yǎng)學(xué)生探索、創(chuàng)新能力。因而我們?cè)诮虒W(xué)中就必須深入鉆研教材,充分挖掘教材潛能,做到既源于課本,又高于課本,活于課本,以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性的思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。