一次考試引出的思考——淺談如何講解函數(shù)題中的參數(shù)

云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué)　吳江華

在高考復(fù)習(xí)第一輪復(fù)習(xí)的一次模擬考試中,試題中的兩道題引起我的注意。一道題為:已知是(-∞,+∞)上的單調(diào)函數(shù),那么a的取值范圍是_____。另一道是2007年廣東省高考(理科)題的第20題:已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax²+2x-3-a,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),求a的取值范圍。考試結(jié)果與我所料想的一樣,很少有學(xué)生能正確解出。針對(duì)這種含參數(shù)的函數(shù)題出現(xiàn)頻率較高,我作了比較詳細(xì)的講解,然后了解了學(xué)生的反應(yīng),很多學(xué)生都表示“這兩道題并不難,但自己就是怎么想也想不出來(lái),但當(dāng)老師給出解答時(shí),覺(jué)得這類(lèi)題很普通,完全可以解出來(lái)?！睘槭裁粗v解之前、之后學(xué)生的反應(yīng)會(huì)有這么大的區(qū)別呢？這個(gè)問(wèn)題引起了我濃厚的興趣,于是,我分析了學(xué)生錯(cuò)誤的原因,大體分為以下幾種:①思維混亂、完全不會(huì)做的學(xué)生比較少；②有一小部分同學(xué)主要是函數(shù)與方程的關(guān)系模糊不清；③大部分同學(xué)討論了,但是把討論的焦點(diǎn)集中到對(duì)稱(chēng)軸位置上,因情況太多,到后面不得不放棄。為什么出現(xiàn)這些錯(cuò)誤呢？我通過(guò)調(diào)查總結(jié)了以下幾種情況:有些同學(xué)對(duì)概念理解不深刻,只懂其表層的意思,不知道概念的內(nèi)涵與外延。有些同學(xué)本身對(duì)這些題長(zhǎng)期以來(lái)就有一些畏懼,像這種求函數(shù)中參數(shù)范圍的題在初中就有,因?yàn)楫?dāng)時(shí)的知識(shí)水平的限制,很難理解討論的緣由,時(shí)間一長(zhǎng),疑點(diǎn)越積越多,便對(duì)這種題型“敬而遠(yuǎn)之”了,還有不少同學(xué)在平時(shí)聽(tīng)課及做題時(shí)就不重視題目的解答過(guò)程,只重視結(jié)果,不反思,不能舉一反三。還有的同學(xué)認(rèn)為是老師在平時(shí)上課的時(shí)候在某些關(guān)鍵步驟說(shuō)不清,道不明導(dǎo)致很多題學(xué)生知其然,而不知其所以然。當(dāng)題目難度升級(jí)時(shí),學(xué)生當(dāng)然就不會(huì)做了。

那么高三教師在面對(duì)這類(lèi)問(wèn)題時(shí),應(yīng)該如何備考才能做到讓學(xué)生在考試中應(yīng)付自如呢？我覺(jué)得可以從以下幾個(gè)方面嘗試:

首先,在課堂上要運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)引導(dǎo)學(xué)生,由易到難,由模糊到清晰,逐步把思維的過(guò)程展示出來(lái),讓學(xué)生了解對(duì)參數(shù)的討論的步驟一目了然。因此,我在講解第二道題時(shí),設(shè)計(jì)了這樣的一個(gè)教學(xué)過(guò)程:

師:你以前做過(guò)這道題嗎？

生:沒(méi)有。

師:你做過(guò)這種類(lèi)似的題嗎？最近有嗎？

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,有一學(xué)生站起來(lái):前天上課有講過(guò)一道這種這種類(lèi)似的題:若關(guān)于x的方程有實(shí)根,求m的取值范圍。

師:相似的地方在哪里？

生:換元后也是一個(gè)關(guān)于二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,即方程根的問(wèn)題。

師:還記得當(dāng)時(shí)的處理方法嗎？能把這種方法應(yīng)用到這道高考題上嗎？

生:有兩種方法,一是利用二次函數(shù)的圖象,得出不等式組；二是把參數(shù)和變量分離,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題。

師(提示):大家不妨用這兩種方法都試一試,看看能不能解出這道高考題？同學(xué)們大部分都在思考,埋頭做起來(lái)了。

經(jīng)過(guò)幾分鐘后,有學(xué)生站起來(lái):老師,用二次函數(shù)的圖象來(lái)做情況好復(fù)雜,應(yīng)該如何分類(lèi)才好？

師:這位同學(xué)問(wèn)題提得好,在區(qū)間[-1,1]上有解的情況是比較復(fù)雜,首先二次函數(shù)有可能開(kāi)口向上,有可能開(kāi)口向下；有可能在區(qū)間[-1,1]有一個(gè)根,有可能在區(qū)間[-1,1]有兩個(gè)根,也有可能二次函數(shù)與x軸相切,且切點(diǎn)在區(qū)間[-1,1]上。分類(lèi)如果處理不好,計(jì)算量會(huì)增大,而且結(jié)果也不容易得出。有哪位同學(xué)能使分類(lèi)最簡(jiǎn)便,更容易計(jì)算？

生:利用根的個(gè)數(shù)來(lái)分,分為在區(qū)間[-1,1]上有一個(gè)根和兩個(gè)根,重根也記為兩個(gè)根。這樣計(jì)算很方便。這是我的解法:

解:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),即方程f(x)=2ax²+2x-3-a=0在[-1,1]上有解,a=0時(shí),不符合題意,所以a≠0,方程f(x)=0在[-1,1]上有解有兩種情況:

(1)方程f(x)=0在[-1,1]上只有一解?f(-1)·f(1)≤0?1≤a≤5。

(2)方程f(x)=0在[-1,1]上有二解?

綜上,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

師(贊許):做得好。這樣分類(lèi)把計(jì)算量減少到了最低,又不會(huì)漏解。如果利用變量與參數(shù)分離,又會(huì)如何呢？

生:老師,這道高考題比上次講的題目更復(fù)雜,參數(shù)與變量分離后,變量表示的函數(shù)比較復(fù)雜,難度較大。我只化簡(jiǎn)到這里:

解:a=0時(shí),不符合題意,所以a≠0,又∴f(x)=2ax²+2x-3-a=0在[-1,1]上有解,?(2x²-1)a=3-2x在[-1,1]上有解)。

師:好,這是一個(gè)分式函數(shù),上面是一次函數(shù),下面是二次函數(shù),這種函數(shù)的值域我們以前學(xué)過(guò)嗎？

生:學(xué)過(guò)。

師:能不能用差別式法來(lái)求解？

生:不能,因?yàn)樽兞坑蟹秶?要用換元法。

師:對(duì),下面大家按這種思想解下去。

生:因?yàn)橛脫Q元法要分子分母同時(shí)除以一個(gè)式子,所以我把函數(shù)倒過(guò)來(lái)求值域。請(qǐng)看:

解:a=0時(shí),不符合題意,所以a≠0,又∴f(x)=2x²+2x-3-a=0在[-1,1]上有解,?(2x²-1)a=3-2x在[-1,1]上有解在[-1,1]上有解,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)上的值域；設(shè)t=3-2x,x∈[-1,1],則2x=3-t,t。設(shè),)時(shí),g′(t)＜0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減。時(shí),g′(t)＞0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增,∴y的取值范圍是?！鄁(x)=2ax²+2x-3-a=0在[-1,1]上有解或。

師:這位同學(xué)做得好。一是把參數(shù)和變量分離成功了,二是沒(méi)有直接求參數(shù)a,而是求它的倒數(shù),這是用換元法的解題過(guò)程中的需要；三是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷單調(diào)性,沒(méi)有利用基本不等式,因?yàn)槔没静坏仁街荒芮蟪鏊淖钚≈?而無(wú)法求出最大值。

數(shù)學(xué)總是要從易到難,從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,同時(shí)要讓學(xué)生有一個(gè)接受的過(guò)程,讓學(xué)生覺(jué)得問(wèn)題的解決是自然的,思路不是從天而降的,而是從簡(jiǎn)單問(wèn)題中得到啟發(fā)的。在課堂教學(xué)中要做到這一點(diǎn),這節(jié)課一定是成功的,因?yàn)榻處熥寣W(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美,不會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)解題是遙不可及的事情。

其次,高三教師應(yīng)讓學(xué)生重視對(duì)數(shù)學(xué)基本概念理解。著名教育家布魯納認(rèn)為:在有限的學(xué)習(xí)時(shí)間掌握對(duì)今后具有更大價(jià)值的知識(shí),就必須掌握和發(fā)現(xiàn)各門(mén)學(xué)科的基本概念,基本原理和規(guī)律?，F(xiàn)在高考題型浩如煙海且無(wú)法預(yù)測(cè),那么我們高三教師能做的就是緊扣高考考綱,加強(qiáng)對(duì)基本知識(shí)概念的講解,講清其內(nèi)涵與外延以及它所涉及的基本知識(shí)很方法。例如,我們?cè)谥v解函數(shù)的單調(diào)性時(shí),我們不僅要讓學(xué)生明白什么是增函數(shù),什么是減函數(shù)？也要利用圖形讓學(xué)生明白函數(shù)連續(xù)性和單調(diào)性的關(guān)系,同時(shí)還要把這個(gè)抽象的概念具體到我們常見(jiàn)的函數(shù)中來(lái),讓學(xué)生充分明白影響這些函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵量是什么,它是怎么樣影響的？這些知識(shí)都弄懂了,凡是涉及單調(diào)性的題,學(xué)生就能較快找到突破口。例如第一道題:當(dāng)x＞1時(shí),y=f(x)是一個(gè)一次函數(shù),而影響一次函數(shù)的單調(diào)性的量是一次項(xiàng)系數(shù)。當(dāng)x＜1時(shí),y=f(x)是一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù),影響對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的量是底數(shù)。在聯(lián)系單調(diào)性與連續(xù)性的關(guān)系。給出下列解答是不難的:已知是(-∞,+∞)上的減函數(shù),那么a的取值范圍是_____。

解:依題意,有0＜a＜1且3a-1＜0,解得,又當(dāng)x＜1時(shí),(3a-1)x+4a＞7a-1,當(dāng)x＞1時(shí),log_ax＜0,所以7a-1≥0解得。

數(shù)學(xué)概念是我們解題的核心所在,只有理解了數(shù)學(xué)概念,才能做到對(duì)問(wèn)題的關(guān)鍵一目了然。理解數(shù)學(xué)概念要從各方面來(lái)理解,比如在本題中,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合也很容易得到正確答案。

最后,要注意舉一反三、觸類(lèi)旁通。例如在講解完第二道題后,可以布置以下作業(yè):

(1)設(shè)f(x)=x²-2ax+2,當(dāng)x∈[-1,+∞)時(shí),f(x)≥a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(2)設(shè)f(x)=x²-2ax+2,當(dāng)x∈[-1,+∞)時(shí),求y=f(x)的最小值。

(3)設(shè)f(x)=x²-2ax+2,當(dāng)x∈[-1,+∞)時(shí),y=f(x)的最小值為3,求a。

總之,從歷屆高考來(lái)看,因?yàn)榍蠛瘮?shù)中的參數(shù)范圍問(wèn)題能很好地考察學(xué)生的思維能力,所以在高考試題中頻頻出現(xiàn)。如何幫助學(xué)生找到突破口并做到討論時(shí)不重不漏,是高考復(fù)習(xí)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。