1.渦線和渦管

有旋運(yùn)動(dòng)也稱為旋渦運(yùn)動(dòng)。在研究旋渦運(yùn)動(dòng)時(shí)常引入渦線和渦管的概念。

處處與渦矢量Ω相切的空間曲線稱為渦線。由于渦矢量與流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度矢量之間具有關(guān)系Ω= 2ω，所以渦線也可以看成是流體質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸。類似于流線方程（3.9）的推導(dǎo)，不難導(dǎo)出渦線微分方程

在非定常流動(dòng)中，渦線具有瞬時(shí)性，其形狀可能隨時(shí)間而改變。除了在渦量為零或者為無(wú)窮大的空間點(diǎn)，渦線不能相交。

由渦線構(gòu)成的管狀曲面稱為渦管?？諝庵旋埦盹L(fēng)及水中旋渦的外邊界面都可以近似地當(dāng)做渦管。流管的“管壁”由流線構(gòu)成，而渦管的“管壁”則是由渦線構(gòu)成。如果流線與渦線不重合，流體會(huì)穿過(guò)渦管流進(jìn)或者流出。

渦管橫截面積上的旋渦強(qiáng)度也稱為渦管強(qiáng)度。例7-5中龍卷風(fēng)渦核橫截面的旋渦強(qiáng)度就是渦管強(qiáng)度，它直接反映了龍卷風(fēng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度。

在任意瞬間，同一渦管上各截面的旋渦強(qiáng)度相等。這稱為渦管強(qiáng)度守恒定理，也稱為海姆霍茨（Helmholtz）定理。下面對(duì)定理給出簡(jiǎn)單的證明。

由渦管強(qiáng)度守恒定理可看出，在同一渦管上，截面積越小，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度就越大，因此，渦管的截面積不能收縮到零，否則旋轉(zhuǎn)角速度就會(huì)達(dá)到無(wú)窮大。速度達(dá)到無(wú)窮大在物理上是不合理的。這說(shuō)明，渦管不能終止于流場(chǎng)中，只能形成環(huán)形管，或始于、終于邊界。在自然界中可以看到的這類例子有：抽煙者吐出的煙圈是封閉的渦環(huán)；龍卷風(fēng)一端始于水面，另一端升入云層；河水中的旋渦一端始于水底河床，另一端終于水面。

2.開爾文（Kelvin）定理

為了討論旋渦運(yùn)動(dòng)生成的原因，首先介紹正壓流體的概念。

如果流體密度只是當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)的單值函數(shù)，則該流體稱為正壓流體。此時(shí)，流體密度可以表示為該式也稱為正壓條件。

對(duì)于均質(zhì)不可壓縮流體，ρ=C，它顯然滿足正壓條件。密度是常數(shù)的均質(zhì)不可壓縮流體是最常見(jiàn)的正壓流體。均質(zhì)氣體做等熵流動(dòng)時(shí)壓強(qiáng)與密度之間的關(guān)系是p/ργ=C，它也滿足正壓條件。等熵流動(dòng)的均質(zhì)氣體也是正壓流體。

大氣層中的空氣不是正壓流體，因?yàn)樵诖髿鈱又锌諝獾拿芏炔粌H隨壓強(qiáng)變化，還與溫度、濕度有關(guān)。海水中溫度和鹽分的分布是不均勻的，如果考慮到溫度和鹽含量對(duì)海水密度的影響，海水也不是正壓流體。

當(dāng)流體密度ρ是壓強(qiáng)P的單值函數(shù)時(shí)，可以定義一空間函數(shù)

其中，PF稱為壓強(qiáng)函數(shù)。由于

因此，正壓條件式（7.14）還可以表示為等價(jià)的形式

或者寫成矢量形式

根據(jù)斯托克斯定理，任意流體面積上的旋渦強(qiáng)度與圍繞該面積的封閉曲線的速度環(huán)量具有等量關(guān)系，因此，可以通過(guò)研究速度環(huán)量來(lái)了解旋渦強(qiáng)度的變化規(guī)律。如果沿封閉流體線的速度環(huán)量對(duì)時(shí)間的變化率不為零，則在它所圍的面積上，旋渦強(qiáng)度隨時(shí)間變化。

考察一條封閉的流體線L，其速度環(huán)量

流體線是流體質(zhì)點(diǎn)組成的線，當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)發(fā)生運(yùn)動(dòng)，流體線L的位置、形狀和長(zhǎng)度都會(huì)產(chǎn)生變化。速度環(huán)量Γ對(duì)時(shí)間的變化率式（7.16）指出，當(dāng)理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿任意封閉流體線的速度環(huán)量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不隨時(shí)間變化。這個(gè)結(jié)論稱為開爾文定理。

由斯托克斯定理知道，沿任意封閉流體線的速度環(huán)量等于流體線所圍面積上的旋渦強(qiáng)度。既然速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，所圍面積上的旋渦強(qiáng)度也不隨時(shí)間變化。由開爾文定理和斯托克斯定理可以做出推論：

當(dāng)理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果在某一時(shí)刻流體的運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，則在此前和此后的所有時(shí)刻流體的運(yùn)動(dòng)也必定無(wú)旋。

如果在某一時(shí)刻流動(dòng)無(wú)旋，則此時(shí)任意流體面上的旋渦強(qiáng)度都等于零。在推論條件下，旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化，因此在此前和此后的所有時(shí)刻任意流體面上的旋渦強(qiáng)度必定都等于零，所以流體的運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋的。由推論還進(jìn)一步知道，如果流動(dòng)是由靜止?fàn)顟B(tài)啟動(dòng)的，在推論條件下它將始終無(wú)旋。

3.旋渦運(yùn)動(dòng)的生成

由開爾文定理和斯托克斯定理還可以得出另一推論：流體具有粘性，流體是非正壓的以及非有勢(shì)質(zhì)量力的作用是生成旋渦運(yùn)動(dòng)的原因。

流體的粘性作用會(huì)產(chǎn)生旋渦。當(dāng)流體沿物體壁面流過(guò)時(shí)，如果流體沒(méi)有粘性，它與物面之間存在著相對(duì)滑移，沒(méi)有摩擦切應(yīng)力，也不會(huì)產(chǎn)生旋渦運(yùn)動(dòng)。實(shí)際流體具有粘性，流體與物面之間存在摩擦切應(yīng)力，切應(yīng)力使緊靠物面的一層流體不能運(yùn)動(dòng)，從而滿足流體與物體壁面之間的無(wú)滑移條件。在壁面附近流體速度平行于壁面，其值由近到遠(yuǎn)逐漸增加。這種流動(dòng)稱為剪切流，它是有旋流動(dòng)。例7-1中給出的流動(dòng)就是一種剪切流。剪切流中的旋渦運(yùn)動(dòng)是由粘性切應(yīng)力所產(chǎn)生的。粘性切應(yīng)力的作用就是通常所說(shuō)的“搓”。有人非常形象地說(shuō)，渦是“搓”出來(lái)的。

圖7-11 建筑物背后的旋渦

當(dāng)流體流過(guò)尖緣物體時(shí)通常會(huì)在尖緣的后面形成速度間斷面。粘性流體中的速度間斷面也可以生成旋渦，因?yàn)殚g斷面兩邊的流體相互摩擦，也可以“搓”出旋渦來(lái)。例如，風(fēng)吹過(guò)建筑物時(shí)，會(huì)在建筑物的背面形成旋渦，如圖7-11所示，這種旋渦就是在速度間斷面上產(chǎn)生的。

流體的非正壓性會(huì)產(chǎn)生旋渦。夏季陸地地表面溫度比海面的海水溫度高，冬季地表面溫度比海水溫度低，這樣的溫差會(huì)改變大氣的密度分布，使大氣成為非正壓流體。由于大氣的非正壓性，在陸地和海洋的上空生成環(huán)流。這就是氣象學(xué)中所說(shuō)的季風(fēng)。夏季的季風(fēng)在低空由海洋吹向陸地，與高空的反方向氣流一起形成環(huán)流；冬季季風(fēng)的環(huán)流方向正好相反。類似的例子還有：赤道上空的溫度比極地上空的溫度高，這使北半球的高空氣流由南向北運(yùn)動(dòng)，在極地下降，然后又在低空由北向南運(yùn)動(dòng)，并且在赤道附近上升，從而形成大尺度的環(huán)流，也就是氣象學(xué)中所說(shuō)的信風(fēng)；白天陸地溫度高，夜間海水溫度高，其溫差會(huì)在沿海地區(qū)形成晝、夜方向不同的海陸風(fēng)；等等。季風(fēng)、信風(fēng)、海陸風(fēng)等都是流體非正壓所產(chǎn)生的旋渦運(yùn)動(dòng)。

海水中鹽含量不均勻使海水密度變化，由此也會(huì)產(chǎn)生海洋環(huán)流。例如，地中海海水的鹽分比黑海海水的鹽分大，由此會(huì)使地中海下層的海水流經(jīng)達(dá)達(dá)尼爾海峽和波斯普魯斯海峽進(jìn)入黑海，而黑海上層的海水則經(jīng)由同樣的路線流入地中海。這是海水非正壓所產(chǎn)生的大尺度旋渦運(yùn)動(dòng)。

與地球自轉(zhuǎn)有關(guān)的科里奧利（Coriolis）力是非有勢(shì)質(zhì)量力。打開澡盆的塞子，水在下漏的同時(shí)會(huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn)；大氣中熱氣流上升會(huì)形成臺(tái)風(fēng)、龍卷風(fēng)。這些都是非有勢(shì)質(zhì)量力產(chǎn)生旋渦運(yùn)動(dòng)的例子。

在大量的實(shí)際工程問(wèn)題中，流體可以當(dāng)成是不可壓縮的，或者流動(dòng)過(guò)程可以當(dāng)成是等熵的，因此滿足流體正壓的條件；除了大氣層和海洋中的大尺度流動(dòng)外，在大多數(shù)工程實(shí)際問(wèn)題中也只需要考慮重力而不必考慮科里奧利力，因此質(zhì)量力又是有勢(shì)的；再如果流體的粘性影響又能夠被忽略，那么開爾文定理成立的三個(gè)條件就都得到了滿足。絕大多數(shù)流動(dòng)都可以認(rèn)為是由靜止?fàn)顟B(tài)啟動(dòng)的，即初始是無(wú)旋的，如果上述的三個(gè)條件又都能夠得到滿足，流動(dòng)將始終無(wú)旋。無(wú)旋流動(dòng)理論是經(jīng)典流體力學(xué)中發(fā)展最充分、內(nèi)容最豐富的部分之一，開爾文定理為無(wú)旋流動(dòng)理論的應(yīng)用提供了依據(jù)。