【知識結(jié)構(gòu)框圖表解】

【本節(jié)解讀】

本節(jié)課是以概念教學(xué)為主，同類項(xiàng)概念及同類項(xiàng)合并的法則既是對整式、有理數(shù)運(yùn)算的綜合運(yùn)用，又是學(xué)習(xí)整式的加減、乘除和進(jìn)一步理解解方程和不等式的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，有著承前啟后的重要作用．進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算是學(xué)好本節(jié)課的基礎(chǔ)．其中準(zhǔn)確判斷同類項(xiàng)以及同類項(xiàng)合并法則的理解與運(yùn)用是本節(jié)課學(xué)好的關(guān)鍵．

【基礎(chǔ)知識詳解與要點(diǎn)點(diǎn)撥】

1．同類項(xiàng)的含義

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相等的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)．

所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)．如：3x²y與-yx²是同類項(xiàng)；2與3是同類項(xiàng)．

注意：對于同類項(xiàng)的概念的理解，要抓住兩個相同和兩個無關(guān)．

兩個相同：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指數(shù)分別相同．兩者缺一不可．

兩個無關(guān)：（1）同類項(xiàng)與系數(shù)大小無關(guān)；（2）同類項(xiàng)與它們所含相同字母的順序無關(guān)．

2．合并同類項(xiàng)

（1）合并同類項(xiàng)的含義

把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)就叫做合并同類項(xiàng)．換句話說：只有同類項(xiàng)才可以合并．

（2）合并同類項(xiàng)的法則

把同類項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．

如：2a－b＋3b－a中，2a與-a是同類項(xiàng)，而-b與3b是同類項(xiàng)，可以合并同類項(xiàng)

2a－b＋3b－a＝（2－1）a＋（-1＋3）b＝a＋2b

（3）合并同類項(xiàng)步驟

①找出同類項(xiàng)，把同類項(xiàng)放在一起，中間用“＋”聯(lián)結(jié)．

②利用合并同類項(xiàng)的法則，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變．

③寫出合并后的結(jié)果．

注意：

（1）如果兩個同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后，結(jié)果為0．

（2）合并同類項(xiàng)時，只能把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，不是同類項(xiàng)的不能合并；不能合并的項(xiàng)，不能遺漏．

（3）合并后的多項(xiàng)式結(jié)果可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式．

（4）書寫按代數(shù)式的規(guī)范．

【典型例題精講與規(guī)律、方法、技巧總結(jié)】

例1　下列各題的兩個式子是不是同類項(xiàng)？并說明理由．

（2）4x³y²與7x²y³

解題策略：判斷幾個單項(xiàng)式是不是同類項(xiàng)，可用兩條標(biāo)準(zhǔn)衡量：（1）單項(xiàng)式所含的字母相同；（2）相同字母的指數(shù)也相同．兩個條件缺一不可．

（2）4x³y²與7x²y³不是同類項(xiàng)．兩項(xiàng)雖然都含有字母x、y，但是相同字母的指數(shù)不同．

注意：（1）幾個常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)；（2）同類項(xiàng)與系數(shù)的大小沒有關(guān)系．

例2　合并同類項(xiàng)：

（1）6xy－3x²－4x²y－5yx²＋x²；

（2）x－3x²－7x－x²－5；

（3）5a－3x＋4a＋8x－5ax－2x．

解題策略：按合并同類項(xiàng)步驟進(jìn)行即可．

（2）x－3x²－7x－x²－5＝（x－7x）＋（-3x²－x²－5＝-6x－4x²－5．

（3）5a－3x＋4a＋8x－5ax－2x＝（5a＋4a）＋（-3x＋8x－2x）－5ax＝9a＋3x－5ax．

注意：同類項(xiàng)用括號括在一起時，要添上加號．

例3　合并下列各式中的同類項(xiàng)．

（1）3（a＋b）－5（a＋b）＋（a＋b）；

（2）2（x－2y）²－4（2x－y）＋（x－2y）²－3（2x－y）．

解題策略：分別把a(bǔ)＋b，x－2y，2y－x看作一個字母，如a＋b＝m，x－2y＝s，2x－y＝t，那么以上代數(shù)式分別化為：3m－5m＋m，2s²－4t＋s²－3t．再應(yīng)用合并同類項(xiàng)就是十分自然的事了．

解：（1）3（a＋b）－5（a＋b）＋（a＋b）＝（3－5＋1）（a＋b）＝-（a＋b）

注意：在一定的條件下，把一個代數(shù)式看作一個字母，一個復(fù)雜的代數(shù)式就會變得比較簡單，使公式、法則有更廣泛的應(yīng)用．

例4　求下列各式的值．

解題策略：題目中給出的多項(xiàng)式含有同類項(xiàng)，先合并同類項(xiàng)再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算比較簡便．

解：（1）原式＝（3－4＋1）x²y＋（-2＋2）xy＋（-10－2）xy²＝-12xy²，

注意：

（1）求多項(xiàng)式的值，先合并同類項(xiàng)，即先化簡再代入求值．

（3）式中，同時出現(xiàn)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，較易計(jì)算．

【知識聯(lián)系與拓展】

∴n＝4，m＝14．

注意：利用方程的思想進(jìn)行解答是常用方法．

例6　若代數(shù)式a²＋2kab＋b²－6ab＋9不含ab項(xiàng)，求k的值．

解題策略：要使代數(shù)式不含ab項(xiàng)，將式中的2kab與-6ab兩項(xiàng)看作同類項(xiàng)，合并后使ab項(xiàng)的系數(shù)為0，即可求出k值．

解：a²＋2kab＋b²－6ab＋9＝a²＋（2k－6）ab＋b²＋9，

因?yàn)榇鷶?shù)式中不含ab項(xiàng)，所以2k－6＝0，即k＝3．

注意：字母k看作已知數(shù)，在2kab中，2k看成ab的系數(shù)．

【歷屆中考題解析與注意的問題】

例7　下列各組式子中，為同類項(xiàng)的是（　　）

A．3x²y與-3xy²

B．3xy與-2yx

C．2x與2x²

D．5xy與5yz

解題策略：判斷兩個單項(xiàng)式是不是同類項(xiàng)，可用兩條標(biāo)準(zhǔn)衡量：（1）單項(xiàng)式所含的字母相同；（2）相同字母的指數(shù)也相同．

解：選B．

注意：同類項(xiàng)的兩個條件缺一不可．

【知識結(jié)構(gòu)框圖表解】

【本節(jié)解讀】

本節(jié)整式的加減實(shí)質(zhì)就是去括號后再合并同類項(xiàng)．去括號法則是初中數(shù)學(xué)中的重要法則，務(wù)必熟練掌握，并靈活運(yùn)用．正確地去括號和合并同類項(xiàng)是掌握整式加減的關(guān)鍵．

【基礎(chǔ)知識詳解與要點(diǎn)點(diǎn)撥】

1．去括號

（1）去括號法則

①括號前是“＋”號，把括號和它前面的“＋”號去掉后，括號里各項(xiàng)的符號都不改變．

②括號前是“－”號，把括號和它前面的“－”號去掉后，括號里各項(xiàng)的符號都要改變．

如：　3＋（a－b）　　　　——括號前是“＋”號

＝3＋a－b　　　　　　　　——括號內(nèi)各項(xiàng)符號都不變

又如：　3－（a－b）　　　——括號前是“－”號

＝3－a＋b　　　　　　　　——括號內(nèi)各項(xiàng)符號都要變

去括號時改變了式子的形式，但不改變式子的值．它屬于多項(xiàng)式的恒等變形．這種變形是“形變實(shí)不變”．

對于去括號法則的理解，一是要注意括號前是“＋”號還是“－”號，法則中對應(yīng)地有“不變”和“改變”符號這樣的區(qū)別；二是法則中的“都”字，指括號中的所有各項(xiàng)，符號變則全變，不變則全不變．例如-（3x²－2x－1）去掉括號后得-3x²－2x－1是錯誤的．

（2）括號前有系數(shù)時去括號的方法

若代數(shù)式如3a＋2（b＋2），括號前有系數(shù)，應(yīng)先進(jìn)行乘法分配律，再去括號．

如：3a＋2（b＋2）＝3a＋（2b＋4）＝3a＋2b＋4．

注意：（1）去括號時，括號與前面的“＋”或“－”號一起去掉．

（2）括號前有“－”號，不管括號前是否有系數(shù)，去括號后，括號里各項(xiàng)的符號都要改變．

（3）括號前有數(shù)字因數(shù)，應(yīng)把它與括號內(nèi)各項(xiàng)相乘，切忌漏乘．

2．整式的加減

整式的加減的一般步驟：（1）去括號，（2）合并同類項(xiàng)．

注意：正確地去括號和合并同類項(xiàng)是整式加減的關(guān)鍵．

【典型例題精講與規(guī)律、方法、技巧總結(jié)】

例1　化簡：（4x－2xy－5）－（-7x＋2xy＋8）＋（2x－6－7xy）

解題策略：此題的計(jì)算實(shí)際上就是整式的加減．題中有括號，應(yīng)先根據(jù)去括號法則去掉括號，再合并同類項(xiàng)．去括號法則是指：括號前面是“＋”號，把括號和它前面的“＋”號都去掉，括號里的各項(xiàng)都不變；括號前面是“－”號，把括號和它前面的“－”號都去掉，括號里各項(xiàng)都變號．

注意：本題第一個括號前沒有符號，事實(shí)上是“＋”號，只是省略了．第二個括號前是“－”號，括號里各項(xiàng)都變號．

解題策略：此題要化簡，必須先去掉括號．但題目中括號前不是單一的“＋”號或“－”號，而是數(shù)字-4和+4，可以看出，它們與括號之間是相乘的關(guān)系．這樣去括號的依據(jù)可以是乘法分配律．而在利用乘法分配律時，要注意帶著性質(zhì)符號與括號內(nèi)各項(xiàng)相乘，不要漏乘．

解：原式＝3x²－2x²＋8x＋4＋4x²－8x＋4＝5x²＋8

注意：括號前有數(shù)字因數(shù)，應(yīng)把它與括號內(nèi)各項(xiàng)相乘，切忌漏乘．

例3　化簡｛6a－［2a－1－（3a＋1）＋3］－4｝＋（a－1）

解題策略：此類題含有多層括號，一般的作法是先去小括號，然后去掉中括號，最后去掉大括號．也可以先去大括號，然后依次去掉中括號、小括號．但是不宜一次把所有的括號都去掉，特別是括號前面是“－”號時，容易發(fā)生錯誤．在去括號時，可以邊去括號，邊合并同類項(xiàng)．也可以去完括號后，再合并同類項(xiàng)．

注意：此類題掌握原則后，最重要的是細(xì)心．

例4　一個多項(xiàng)式A減去3x²＋2y－5的差是x²－2y，求A．

解題策略：由題意可知A是被減數(shù)．知道了減數(shù)和差，要求被減數(shù)可用減數(shù)與差相加．

注意：減數(shù)和差都是多項(xiàng)式，作為整體出現(xiàn)時要打括號！

例5　化簡求值：5a³－2a²＋a－2（a³－3a²）－1，其中a＝-1．

解題策略：先去括號，再合并同類項(xiàng)，將代數(shù)式化到最簡；最后再將a＝-1代入最簡的代數(shù)式．

當(dāng)a＝-1時，

例6　已知：x＝m²－2mn＋n²，y＝m²－2mn－n²．求x－［y－2x－（x－y）］當(dāng)m＝1，n＝2時的值．

解題策略：此為多重代入求值題，解題方法一般是先將所求多項(xiàng)式化簡，再將已知條件代入化簡，最后將已知中字母的具體數(shù)字代入求值．

解：x－[y－2x－（x－y）]＝x－[y－2x－x＋y]＝x－2y＋3x＝4x－2y

當(dāng)x＝m²－2mn＋n²，y＝m²－2mn－n²時，

原式＝4（m²－2mn＋n²）－2（m²－2mn－n²）＝4m²－8mn＋4n²－2m²＋4mn＋2n²＝2m²－4mn＋6n²

當(dāng)m＝1，n＝2時，

原式＝2×1²－4×1×2＋6×2²＝2－8＋24＝18．

注意：這樣的題更多地考驗(yàn)做題者的耐心與細(xì)心．

【知識聯(lián)系與拓展】

解題策略：由c－a、b－c不能分別求出a、b、c的值，故只能把c－a、b－c都看作整體，會發(fā)現(xiàn)用c－a加b－c，得b－a，則a－b即可求得．

注意：這種整體的思想在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用很多．

例8　已知（x＋1）²＋｜y－1｜＝0，求2（xy－5xy²）－（3xy²－xy）的值．

解題策略：代數(shù)式首先要化簡，化簡后求值就必須求出x、y的值，雖然已知只給了一個方程，一般求不出兩個未知數(shù)，但此方程較特殊，利用非負(fù)數(shù)的和為0，非負(fù)數(shù)只有都為零這一特點(diǎn)即可求x、y．

解：2（xy－5xy²）－（3xy²－xy）＝2xy－10xy²－3xy²＋xy＝3xy－13xy²

∵（x＋1）²≥0，｜y－1｜≥0，而（x＋1）²＋｜y－1｜＝0，

∴x＋1＝0且y－1＝0，即x＝-1，y＝1．

∴原式＝-3＋13＝10．

注意：非負(fù)數(shù)的和為0，這些數(shù)只能都等于0．

【歷屆中考題解析與注意的問題】

例9　已知a－b＝3，b＋c＝-5，則代數(shù)式ac－bc＋a²－ab的值是（　?。?/p>

A．-15

B．-2

C．-6

D．6

解題策略：由a－b＝3，b＋c＝-5，求不出a、b、c的值，但代數(shù)式ac－bc＋a²－ab進(jìn)行變形后含有a－b、a＋c兩式子，而a－b與b＋c的和為a＋c，把a(bǔ)－b、b＋c、a＋c都看作整體本題就可解答．

解：選C．

注意：整體思想的應(yīng)用值得重視．