第五節(jié)　相關(guān)分析

一、相關(guān)分析

前面所述回歸分析的特點(diǎn)是從自變量推算因變量，這是一種函數(shù)關(guān)系的分析。但是對(duì)于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的分析，有時(shí)并不著重從一個(gè)變量或幾個(gè)變量來(lái)估計(jì)另外的變量，而在于要了解變量之間相關(guān)關(guān)系的密切程度。測(cè)定變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的方法叫相關(guān)分析。

回歸分析和相關(guān)分析是有區(qū)別的。以單相關(guān)為例，回歸分析表示一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量而變化，它是單方向的。一般x是給定的值作為自變量，y是假設(shè)具有正態(tài)分布的隨機(jī)變量，作為因變量。反過(guò)來(lái)，如果以y作為給定的自變量，以x作為因變量，我們也可以應(yīng)用最小平方法求得一條回歸線，但是與根據(jù)x求y的回歸線是不同的（各觀察點(diǎn)全部落在一條直線上的特例除外）。而相關(guān)分析則表示兩個(gè)變量的密切程度，是雙方向的。雖然x和y仍然是配對(duì)的變量，但兩者都是假設(shè)為具有正態(tài)分布的隨機(jī)變量，所要測(cè)量的是x與y之間關(guān)系的密切程度。在直線相關(guān)條件下，說(shuō)明兩變量之間關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)是相關(guān)系數(shù)；在曲線相關(guān)條件下，說(shuō)明兩變量之間關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)是相關(guān)指數(shù)。

二、相關(guān)系數(shù)的測(cè)定

在回歸方程的顯著性檢驗(yàn)中曾講到，若x，y間的線性相關(guān)程度越大，回歸方程的代表性越高，即回歸方程的顯著性與x，y間的相關(guān)程度是一致的。對(duì)回歸方程的顯著性檢驗(yàn)我們用剩余變差Q加以判斷，因此我們?nèi)钥捎肣反映x，y間相關(guān)關(guān)系的密切程度。由前面的分析可知：

回歸方程的顯著性取決于U在總變差L_yy中的比重，Q越小，U的比重越大，故我們用該比值來(lái)刻畫x，y間線性相關(guān)關(guān)系的密切程度。

r²稱為判定系數(shù)（Determination coefficient），r稱為相關(guān)系數(shù)。由于U≤L_yy，可推出r²≤1，從而｜r｜≤1，即r的取值范圍是－1≤r≤1。r值的意義是：若0＜r≤1，則x與y之間為正相關(guān)，若－1≤r＜0，則x與y之間為負(fù)相關(guān)。｜r｜越接近0，x與y之間的直線相關(guān)程度越小，r＝0，則x與y毫無(wú)線性相關(guān)關(guān)系；反之，｜r｜越接近1，x與y之間的線性相關(guān)程度越高，｜r｜＝1，則x與y間存在著確定的線性函數(shù)關(guān)系。但是，需要注意的是，r只表示x與y直線相關(guān)密切程度。當(dāng)｜r｜很小甚至等于0時(shí)，并不一定表示x與y之間就不存在其他類型的關(guān)系，如曲線相關(guān)關(guān)系。

例7－8：根據(jù)例7－1的資料計(jì)算相關(guān)系數(shù)。

已知：L_xx＝2346656422　L_yy＝2297.25

　　　L_xy＝2094756.51

則

r＝0.092表明鋼鐵工業(yè)固定資產(chǎn)投資總額與鋼產(chǎn)量之間線性正相關(guān)程度較高。

三、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)及抽樣誤差

若觀察資料不是來(lái)自總體的全部單位，而只是全及總體中的一部分，則所求得的相關(guān)系數(shù)，叫樣本相關(guān)系數(shù)。根據(jù)抽樣原理，樣本相關(guān)系數(shù)r與總體相關(guān)系數(shù)ρ之間存在一定的誤差，因此，當(dāng)r較大時(shí)，我們不能足以否定總體相關(guān)系數(shù)ρ＝0，故需對(duì)樣本相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。要確定r顯著或不顯著的具體界限，就需要了解r的分布。根據(jù)概率論證明，r的分布只與總體相關(guān)系數(shù)ρ及抽樣數(shù)目n有關(guān)。當(dāng)樣本是取自正態(tài)總體情況下，隨著n的增大，r也趨于正態(tài)分布，而且n越大，分布越集中，特別是當(dāng)ρ接近零時(shí)，這種趨勢(shì)更為明顯。在n＝10和n＝50時(shí)，r的分布如圖7－11和圖7－12所示，這些曲線在n＞4時(shí)才是單峰曲線，且當(dāng)ρ＝0時(shí)，r的期望E（r）＝0。

圖7－11　r分布曲線圖（n＝50）

圖7－12　r分布曲線圖（n＝10）

從圖7－11中可以看出，當(dāng)n較小時(shí)，由于r分布的離散程度較大，可能根據(jù)樣本觀測(cè)值算出的r的絕對(duì)值不是很小的數(shù)值，例如，r＝0.8，但樣本所來(lái)自的總體的相關(guān)系數(shù)卻可以等于零，說(shuō)明樣本太小求出的高度相關(guān)是靠不住的，需要對(duì)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，否則就要用大樣本計(jì)算，即n≥30。

對(duì)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，是用t檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)H₀：ρ＝0這一統(tǒng)計(jì)假設(shè)是否可信。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

式中m為估計(jì)方程式的參數(shù)數(shù)目。若為常數(shù)項(xiàng)不為0的直線方程，則m＝2。

現(xiàn)對(duì)例7－8計(jì)算出的r進(jìn)行t檢驗(yàn)。設(shè)α＝5%，問(wèn)根據(jù)這個(gè)n＝10的小樣本計(jì)算出的r＝0.902，是否可信為來(lái)自ρ＝0的總體。

根據(jù)自由度n－2＝10－2＝8，α＝0.05，查t分布表得臨界值t_0.05（8）＝2.306。因5.91＞2.306，故認(rèn)為原假設(shè)“ρ＝0”不可信，即r＝0.902表現(xiàn)顯著線性相關(guān)。

對(duì)于相關(guān)系數(shù)抽樣誤差的測(cè)定，一般常用的方法是計(jì)算相關(guān)系數(shù)的抽樣誤差σ_r，其計(jì)算公式為：

但總體相關(guān)系數(shù)ρ是未知的，可用樣本相關(guān)系數(shù)代替，其計(jì)算公式為：

σ_r的意義是，若r的分布是正態(tài)分布，則可以95%的把握程度求出1.96σ_r，據(jù)以計(jì)算置信區(qū)間：

r－1.96σ_r≤ρ≤r＋1.96σ_r

例7－9：根據(jù)例7－1的資料，以95%的把握程度估計(jì)總體相關(guān)系數(shù)ρ的置信區(qū)間。

已知：n＝10，m＝2，r＝0.902，則：

0.902－1.96×0.066≤ρ≤0.902＋1.96×0.066

　　　　　　　0.77≤ρ≤1.03

這里用1.96σ_r計(jì)算的ρ的置信區(qū)間，其上限超出1是不合理的。這是由于所取樣本較小，r的分布不服從正態(tài)分布而是偏態(tài)分布所致。這時(shí)ρ的置信區(qū)間可寫為：

在95%的概率保證下，0.77≤ρ≤1。

四、相關(guān)系數(shù)陷阱

相關(guān)系數(shù)的計(jì)算是數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，按公式計(jì)算，可以用于任何成對(duì)變量的資料，求出相關(guān)系數(shù)來(lái)。因此，在計(jì)算相關(guān)系數(shù)之前，必須通過(guò)定性分析從理論上和實(shí)踐上判明所擬研究的兩個(gè)變量之間是否存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，這是應(yīng)用任何數(shù)學(xué)方法分析聯(lián)系關(guān)系的前提。

在相關(guān)系數(shù)的具體應(yīng)用中，往往會(huì)出現(xiàn)：在定性分析中兩個(gè)變量之間表現(xiàn)為高度相關(guān)關(guān)系，而求得的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值卻很小；或者通常認(rèn)為不應(yīng)該存在線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，它們之間的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值卻很大，這種現(xiàn)象稱為相關(guān)系數(shù)陷阱。相關(guān)系數(shù)陷阱存在的原因?yàn)椋?/p>

1.異常值的影響。相關(guān)系數(shù)對(duì)異常值的反應(yīng)非常敏感，異常值的出現(xiàn)可能會(huì)產(chǎn)生一種虛幻的相關(guān)性，因此，計(jì)算相關(guān)系數(shù)時(shí)應(yīng)剔除異常值。

2.變量的樣本方差過(guò)小。兩個(gè)高度線性相關(guān)的變量因其變化平穩(wěn)導(dǎo)致它們的樣本方差很小，從而求得的相關(guān)系數(shù)接近于零。這種情況下，樣本相關(guān)系數(shù)將不能準(zhǔn)確反映變量之間的相關(guān)程度。

3.其他變量的媒介作用。兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間的高度相關(guān)關(guān)系，有時(shí)并不是由這兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量本身的內(nèi)在聯(lián)系所決定的，它完全可能由另外一個(gè)變量的媒介作用而形成高度相關(guān)。例如，在時(shí)序數(shù)列中，如果兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量都有很強(qiáng)的上升或下降的趨勢(shì)，即均受時(shí)間因素的同方向變動(dòng)影響，會(huì)造成相關(guān)系數(shù)偏高，甚至在沒有什么聯(lián)系的變量間，也會(huì)因有相似的長(zhǎng)期趨勢(shì)而求出相當(dāng)高的相關(guān)系數(shù)。在這種情況下，最好剔除時(shí)間因素的影響后再求相關(guān)系數(shù)。

五、等級(jí)相關(guān)系數(shù)的測(cè)定及檢驗(yàn)

以上計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法是在假定兩個(gè)變量分布已知的情況下進(jìn)行的，當(dāng)兩變量分布未知時(shí)，測(cè)定它們之間的相關(guān)程度需運(yùn)用等級(jí)相關(guān)（Rank regression）。等級(jí)相關(guān)是把x、y兩數(shù)列分別按數(shù)量大小順序分為1，2，…，n個(gè)等級(jí)，再測(cè)定x等級(jí)、y等級(jí)間的相關(guān)程度的一種方法。等級(jí)相關(guān)又稱順位相關(guān)法。由于等級(jí)相關(guān)立足于觀察值的等級(jí)（或順序），而不依存于x與y之間某種特定的分布，因而稱非參數(shù)方法。若以r_s表示等級(jí)相關(guān)系數(shù)（Rank regression coefficient），則：

式中：n為等級(jí)的項(xiàng)數(shù)；d＝x等級(jí)－y等級(jí)；∑d²為所有差量平方之和。

當(dāng)x、y劃分的等級(jí)在數(shù)量上、順序上完全一致時(shí)，∑d²＝0，則r_s＝1，表明兩種等級(jí)完全正相關(guān)，當(dāng)x、y劃分的等級(jí)順序完全相反時(shí)，則r_s＝－1。例如，x₁，x₂，x₃秩序?yàn)?，2，3，y₁，y₂，y₃秩序?yàn)?，2，1，則：∑d²＝（1－3）²＋（2－2）²＋（3－1）²＝8，。這是兩種極端的情況，一般的情況有：－1≤r_s≤1。

例7－10：某廠對(duì)10名工人進(jìn)行了一項(xiàng)測(cè)驗(yàn)，旨在估量他們的工作表現(xiàn)和產(chǎn)量間的相關(guān)關(guān)系，其資料及等級(jí)相關(guān)系數(shù)r_s的計(jì)算見表7－6。

表7－6　　　等級(jí)相關(guān)系數(shù)計(jì)算表

將工作表現(xiàn)評(píng)分及平均日產(chǎn)量改為等級(jí)的方法是：最低定1等，最高定10等。遇有數(shù)值相同時(shí)，取原有等級(jí)平均數(shù)。例如，工作表現(xiàn)評(píng)分中有兩位工人均為85分，原有等級(jí)為5等、6等，其平均數(shù)為5.5，即作為此兩個(gè)分?jǐn)?shù)的等級(jí)。

由上表中資料算得：

表明工作表現(xiàn)和日產(chǎn)量水平有較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系。

對(duì)等級(jí)相關(guān)系數(shù)r_s的顯著性檢驗(yàn)，在n≤30時(shí)，其臨界值可由附錄二《斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)臨界值表》中就α和n查得。在n＞30時(shí)，可用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

上述統(tǒng)計(jì)量漸近服從自由度為n－2的t分布，故可利用t檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)r_s的顯著性。

六、復(fù)相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)的測(cè)定及檢驗(yàn)

用于描述一元線性相關(guān)關(guān)系密切程度的相關(guān)系數(shù)也稱簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)，若度量多元線性相關(guān)關(guān)系各變量間的密切程度，則需計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)。

復(fù)相關(guān)系數(shù)描述因變量與所有自變量相關(guān)關(guān)系的密切程度。樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：

對(duì)樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)R需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)H₀：ρ＝0是否可信，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

式中：p為自變量個(gè)數(shù)。當(dāng)F＞F_α（n－p－1）時(shí)拒絕H₀，說(shuō)明所有自變量與因變量間的相關(guān)關(guān)系是顯著的。

在復(fù)相關(guān)的情況下，變量之間的相關(guān)關(guān)系是很復(fù)雜的，任意兩個(gè)變量之間都可能存在相關(guān)關(guān)系，如例7－4，高爐煤氣燃燒量、鍋爐負(fù)荷分別與蒸汽純耗標(biāo)煤具有相關(guān)關(guān)系，同時(shí)高爐煤氣燃燒量與鍋爐負(fù)荷之間也具有相關(guān)關(guān)系，這種任意兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的度量通過(guò)計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)完成。

以例7－4的資料為例，由于在相關(guān)分析中，各個(gè)變量之間并不區(qū)分自變量和因變量，因此可將所有變量都記作x，依次為x₁，x₂，x₃，因此，r_12·3表示排除了x₃的影響后，x₁與x₂對(duì)x₃的偏相關(guān)系數(shù)，其計(jì)算公式為：

式中：r₁₂，r₁₃，r₂₃分別是x₁，x₂，x₃，之間兩兩的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)。對(duì)于更多變量的情況，計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)的公式可依此類推。

根據(jù)樣本資料計(jì)算出的偏相關(guān)系數(shù)，檢驗(yàn)方法和過(guò)程類似于簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)，以檢驗(yàn)三個(gè)變量中兩個(gè)變量的偏相關(guān)系數(shù)為例，即檢驗(yàn)H₀：ρ_12·3＝0是否可信，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

式中：m為回歸方程參數(shù)個(gè)數(shù)，若為常數(shù)項(xiàng)不為0的二元線性方程，則m＝3。

現(xiàn)對(duì)例7－4的資料計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（α＝0.05）。

首先計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)。

根據(jù)已知條件及例7－5計(jì)算結(jié)果：

下面進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：

查F分布表，F(xiàn)_α（p，n－p－1）＝F_0.05（2，9）＝4.26

由于F＝8＞4.26，故認(rèn)為原假設(shè)ρ＝0不可信，R＝0.80表現(xiàn)顯著性相關(guān)，即蒸汽純耗標(biāo)煤與高爐煤氣燃燒量和鍋爐負(fù)荷之間具有顯著的相關(guān)關(guān)系。

然后計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)。由于此例資料存在因果關(guān)系，故遵循回歸分析，依次用y，x₁，x₂表示蒸汽純耗標(biāo)煤、高爐煤氣燃燒量、鍋爐負(fù)荷。計(jì)算兩兩變量間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)如下：

同理，r_y1＝－0.79，r_y2＝－0.45。則：

蒸汽純耗標(biāo)煤與高爐煤氣燃燒量之間的偏相關(guān)系數(shù)為：

蒸汽純耗標(biāo)煤與鍋爐負(fù)荷之間的偏相關(guān)系數(shù)為：

進(jìn)一步對(duì)r_y1·2與r_y2·1進(jìn)行檢驗(yàn)，計(jì)算得到：

查表得t_α/2（n－m）＝t_0.025（9）＝±2.262，由于t_y1＝－3.3＜－2.262，－2.262＜t_y2＝0.58＜2.262，因此，蒸汽純耗標(biāo)煤與高爐煤氣燃燒量之間的偏相關(guān)系數(shù)顯著，與鍋爐負(fù)荷之間的偏相關(guān)系數(shù)不顯著。

七、相關(guān)指數(shù)的測(cè)定

曲線相關(guān)關(guān)系密切程度的度量需要通過(guò)計(jì)算相關(guān)指數(shù)來(lái)完成，這里僅根據(jù)例7－7的資料簡(jiǎn)單介紹樣本相關(guān)指數(shù)的計(jì)算。

相關(guān)指數(shù)

0.977接近于1，從樣本情況看回歸效果不錯(cuò)。

相關(guān)與回歸是從不同角度對(duì)同一問(wèn)題的分析，所以關(guān)系很密切。在分析問(wèn)題時(shí)，兩種方法一般要結(jié)合運(yùn)用，比如，利用相關(guān)系（指）數(shù)判斷變量之間的密切程度，據(jù)以確定是否使用考慮中的自變量，這種對(duì)自變量的篩選在復(fù)回歸中可以大大減少計(jì)算工作量，也可保證回歸分析的可靠性。在計(jì)算上，兩種方法的聯(lián)系表現(xiàn)在：一方面如上述先求出回歸方程和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差，利用估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算相關(guān)系（指）數(shù)；另一方面是反過(guò)來(lái)，先求出相關(guān)系（指）數(shù)，再利用相關(guān)系（指）數(shù)求回歸方程。這方面的內(nèi)容，讀者可參閱有關(guān)書籍。