五、反思互動(dòng)：沖破線性思維的堡壘

問(wèn)題的提出

蘇聯(lián)國(guó)家元首加里寧說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是思維的體操?！薄镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確提出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程?！?/p>

線性思維是一種直線的、單向的、單維的、缺乏變化的思維方式，指思維沿著一定的線型或類線型（無(wú)論線型還是類線型既可以是直線也可以是曲線）的軌跡尋求問(wèn)題的解決方案的一種思維方法。非線性思維則是相互連接的，非平面、立體化、無(wú)中心、無(wú)邊緣的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，是指一切不屬于線性思維的思維類型，如系統(tǒng)思維、模糊思維等。線性思維與非線性思維需要并用，但占據(jù)主導(dǎo)地位的是非線性思維，因?yàn)楹螘r(shí)可以使用線性思維，何時(shí)必須停止使用線性思維，這些問(wèn)題是線性思維自身無(wú)法解決的，要按照非線性思維來(lái)決定取舍。

荷蘭著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴登塔爾教授指出“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，“通過(guò)反思才能使現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化”。人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的主體參與反思，通過(guò)師生互動(dòng)反思，沖破線性思維的堡壘。

教學(xué)案例

《基本不等式：是人教版高中數(shù)學(xué)必修五的第三章第四節(jié)，本節(jié)內(nèi)容大綱安排3課時(shí)，本節(jié)課為第一課時(shí)。之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)不等式的性質(zhì)、解一些簡(jiǎn)單的不等式和函數(shù)最值等內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索基本不等式的證明過(guò)程并利用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題。

課堂實(shí)錄：基本不等式：（第一課時(shí)）

教學(xué)過(guò)程

師：圖1－1是2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（圖1－2）設(shè)計(jì)的，它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民的好客。在圖1－2中，正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形，設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a、b，那么正方形的邊長(zhǎng)為■a²＋b²。你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系嗎？大家分組討論一下。

圖1－1

圖1－2

生1：里面的小正方形的邊長(zhǎng)為EH＝a－b；大正方形的面積等于小正方形的面積與4個(gè)直角三角形的面積的和。

師：用代數(shù)式表示也就是a²＋b²＝2ab＋（a－b）²。

[教師板書(shū)等式：a²＋b²＝2ab＋（a－b）²]

師：那么你能再找出一些不等關(guān)系嗎？

生1：由上面的等式，我可以得到兩個(gè)不等式：①a²＋b²＞2ab；②a²＋b²＞（a－b）²。

師：好的，我們用幾何畫(huà)板來(lái)驗(yàn)證第一個(gè)不等式。

（教師調(diào)出幾何畫(huà)板，展示變化如圖1－3，學(xué)生觀察、討論）

圖1－3

生2：對(duì)第一個(gè)不等式，當(dāng)a≠b時(shí)，a²＋b²＞2ab成立；當(dāng)a＝b時(shí)，a²＋b²＝2ab，這個(gè)不等式不成立。

師：一般地，對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b，我們有a²＋b²≥2ab①，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立。你能說(shuō)出證明方法嗎？請(qǐng)給出證明。

（學(xué)生躍躍欲試）

生3：用作差比較法，a²＋b²－2ab＝（a－b）²≥0，所以a²＋b²≥2ab。

師：完整了嗎？“當(dāng)且僅當(dāng)”怎么理解？

生3（補(bǔ)充）：當(dāng)a≠b時(shí)，a²＋b²＞2ab；當(dāng)a＝b時(shí)，a²＋b²＝2ab。所以a²＋b²≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立。

師：很好，另外要注意：a、b的取值范圍可以是全體實(shí)數(shù)。從結(jié)構(gòu)上看看任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于這兩個(gè)實(shí)數(shù)的積的2倍。這就是我們這堂課要掌握的一個(gè)重要不等式。

（教師板書(shū)：一般地，對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b，我們有a²＋b²≥2ab①，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立。）

師：對(duì)生1得到的第二個(gè)不等式大家可以課后去研究了。下面我們?cè)賮?lái)看看生活中的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：如何用一個(gè)兩臂長(zhǎng)短有差異（其他都精確）的天平稱物體的重量？商人說(shuō)先要左右各稱一次，將兩次所稱重量相加后除以2就可以了，你覺(jué)得這種做法得到的重量比實(shí)際重量輕了還是重了？

師：非常好，利用剛才我們已經(jīng)證明的重要不等式就可以得出這個(gè)結(jié)論，這就是基本不等式：

師：同時(shí)也要注意等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立。接下來(lái)，請(qǐng)大家填一填課本中的證明（如圖2）。

圖2

師：大家想想書(shū)中的證明思路有什么特點(diǎn)？

生6：這種證明要倒過(guò)來(lái)想，在解決一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)我常常是這樣想的。

師：第一個(gè)公式中的a²＋b²和2ab可以想到平面圖形的面積，從而可以想到它的幾何解釋，第二個(gè)公式中的能否讓我們產(chǎn)生什么幾何聯(lián)想？從幾何角度對(duì)這個(gè)不等式作出解釋。可以參考課本（如圖3）。

圖3

（學(xué)生分組討論）

師：非常精彩的幾何解析。

[教師利用幾何畫(huà)板，拖動(dòng)點(diǎn)C（固定圓大小，改變CD的位置），展示動(dòng)畫(huà)]

師：當(dāng)AB＝a＋b＝P為定值時(shí)，能求ab的最大值嗎？

圖4

故ab的最大值是。

師：這里求最大值有什么條件嗎？

生8：a、b都是正數(shù)，a＋b常數(shù)，a、b能取得相等的值。

師：非常好，一正、二定、三等。

師：好。當(dāng)CD＝＝Q為定值時(shí)，能求a＋b的最小值嗎？

[教師拖動(dòng)點(diǎn)O（固定DC，改變圓的大?。?，展示動(dòng)畫(huà)]

生9：因?yàn)閍＋b≥2＝2Q，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，所以a＋b的最小值是2Q。

師：限制條件是什么？

生9：a、b都是正數(shù)，a·b為常數(shù)，a、b能取得相等的值。

師：所以我們說(shuō)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)變量的和為定值時(shí)，它們的積有最大值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)變量的積為定值時(shí)，則它們的和有最小值。所以基本不等式常常用來(lái)求最值。

教師強(qiáng)調(diào)：用基本不等式求最值問(wèn)題的三個(gè)限制條件：一正、二定、三等。

（教師展示：例1.已知x＞0，y＞0，xy＝1，求x＋y的最小值。）

生10：x＞0，y＞0，則x＋y≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，又xy＝1，所以當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)x＋y的有最小值2。

[教師展示變式練習(xí)1：求函數(shù)y＝x＋（x＞0）的最小值。]

[變式練習(xí)2：求函數(shù)y＝x＋（x＜0）的最大值。]

生12：x＜0，－x＞0，所以（－x）＋≥4，y＝x＋4

x

≤－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－2時(shí)，有最大值－4。

（變式練習(xí)3：已知x＞2，求函數(shù)y＝x＋的最小值。）

師：大家同意誰(shuí)的意見(jiàn)？為什么？

[學(xué)生有點(diǎn)迷茫。教師打開(kāi)幾何畫(huà)板（如圖5），學(xué)生看圖思考。]

生13：哦，x＝時(shí)，雖然左右相等，但函數(shù)并不是取得最小值。難怪老師強(qiáng)調(diào)一正，二定，三等。積定或和定是利用基本不等式的必要條件。

師：對(duì)啊，有時(shí)候兩個(gè)正數(shù)變量積不是定值時(shí)，我們要想辦法根據(jù)結(jié)構(gòu)湊出定值，然后用基本不等式求解。

（教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：①兩個(gè)重要不等式的結(jié)構(gòu)特征是

圖5

“和的形式≥積的形式”；②公式等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)變量相等；③利用基本不等式求最值的適用條件：一正，二定，三等。④掌握探索問(wèn)題的方法，提高觀察、分析、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維能力。）

布置作業(yè)：（1）習(xí)題3.4：A組第1題.（2）思考題：①由兩個(gè)重要不等式能推得其他不等式，看誰(shuí)能推出更多的不等式；②生1得到的第二個(gè)不等式：a²＋b²＞（a－b）²成立嗎？

教學(xué)點(diǎn)評(píng)

1.創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)生非線性思維

創(chuàng)設(shè)情景是為了有利于學(xué)生感受數(shù)學(xué)問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，產(chǎn)生求知沖動(dòng)和發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的喜悅，非線性思維更需要一個(gè)合適的思維情景。利用國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)和中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖中分析相等和不等關(guān)系很自然就引入基本不等式的主題，同時(shí)體會(huì)不等式、等式之間的聯(lián)系，也為下面不等式的證明埋下伏筆。

另一個(gè)基本不等式（a＞0，b＞0）的發(fā)現(xiàn)也是在一個(gè)生活情景中通過(guò)探究得到，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)自生活應(yīng)用于生活，溝通生活中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)課程的聯(lián)系，使生活與數(shù)學(xué)融為一體，學(xué)生更能理解數(shù)學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)，同時(shí)為學(xué)生創(chuàng)造自主、積極體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在親身體驗(yàn)和探索中認(rèn)識(shí)基本不等式。

2.反思建構(gòu)，沖破線性思維的堡壘

建構(gòu)主義認(rèn)為，一切知識(shí)都必須通過(guò)主體的建構(gòu)活動(dòng)才能得以完成，所以學(xué)習(xí)者必須對(duì)自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行自我監(jiān)控、自我檢查，以判斷自己在學(xué)習(xí)中所追求的是否符合自己設(shè)置的目標(biāo)。數(shù)學(xué)抽象就其本質(zhì)而言是一種建構(gòu)活動(dòng)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，只有不斷地反思，才能夠使自己建構(gòu)的知識(shí)不斷地與數(shù)學(xué)共同體所擁有的知識(shí)靠近，最終達(dá)到一致。新課程意義下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要保證學(xué)生有足夠的時(shí)間和機(jī)會(huì)建構(gòu)性地接觸數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，從而理解數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)。本節(jié)課在教學(xué)環(huán)節(jié)的安排上，讓學(xué)生先講、先練，更有助于調(diào)動(dòng)同學(xué)參與到問(wèn)題的研究解決之中，學(xué)生經(jīng)歷了解決問(wèn)題的過(guò)程，體驗(yàn)到跳一跳摘果子的成功樂(lè)趣，就會(huì)產(chǎn)生成就感，體會(huì)到成功的喜悅，促進(jìn)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。俗話說(shuō)：有疑則有進(jìn)，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是思維的起點(diǎn)。讓學(xué)生先行，學(xué)生就會(huì)有疑惑，甚至?xí)岩恍╁e(cuò)誤想法展現(xiàn)出來(lái)。在錯(cuò)誤嘗試的刺激下，通過(guò)實(shí)驗(yàn)反思，結(jié)合演繹推理，體會(huì)實(shí)踐與理論的相互聯(lián)系，形成對(duì)問(wèn)題的深刻認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)思維的批判性，全面揭示數(shù)學(xué)思維過(guò)程，啟迪和發(fā)展學(xué)生思維，將知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程與學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的心理活動(dòng)統(tǒng)一起來(lái)，沖破線性思維的堡壘。

3.師生互動(dòng)，沖破線性思維的堡壘

4.直覺(jué)反思，沖破線性思維的堡壘

5.一點(diǎn)反思

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的主體參與反思，是沖破線性思維的堡壘的關(guān)鍵。由于教學(xué)時(shí)間、教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)條件的限制，目前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中很難保證學(xué)生有足夠的思維時(shí)間，如果沒(méi)有教師借助多媒體的幫助，學(xué)生也難以自主地從變式練習(xí)3的錯(cuò)誤中解脫出來(lái)，因此使得教學(xué)過(guò)程中教師引導(dǎo)探究多于學(xué)生自主探究，教師解說(shuō)多于學(xué)生的表述，由此可能會(huì)造成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)出現(xiàn)被動(dòng)、盲目及無(wú)效的情況，難以打破線性思維的枷鎖。