三、無套利期限結構模型

一直到1993年之前，由Vasicek模型和CIR模型倡導的建模方法都是利率期限結構模型研究的重要方法。它給定了一個均衡經(jīng)濟體系，使利率建模方法建立在堅實的微觀經(jīng)濟理論的基礎上。盡管從理論分析的角度來看，一般均衡模型很完美，但對利率衍生品的定價來說，這種模型并不實用，因為期限結構模型是從特定的經(jīng)濟條件假設下均衡的動態(tài)結果，并且其參數(shù)是用歷史數(shù)據(jù)估計得出的，而這可能與現(xiàn)在觀察到的真實期限結構不匹配，因此存在應用上的致命缺陷，無法滿足交易商對收益率曲線的精確要求。既然金融衍生品定價僅僅是相對定價，在對金融產(chǎn)品定價之前，實際操作者必須使用真實的債券市場價格，使模型與當前期限結構相匹配，無套利期限結構模型即是為此而發(fā)展起來的。

無套利期限結構模型也被稱為隨機過程均衡模型，基本思想就是從當前觀察到的真實收益率曲線開始，將它視為“標的物基礎資產(chǎn)”，然后再構建一些動態(tài)模型來描述瞬時遠期利率。無套利模型和一般均衡模型有著類似的結構，都是采用因素模型分析，區(qū)別在于它們用不同的量來擬合模型參數(shù)。一般均衡模型假設它的模型參數(shù)與時間無關，因此可以用歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計估計得出。無套利期限結構模型的參數(shù)則都是時間t的函數(shù)，通過調整模型中依賴于時間的參數(shù)，可以使得模型能夠自動地完全擬合市場數(shù)據(jù)的初始收益率曲線，這樣模型中的初始結構與實際的市場當前初始期限結構就能夠保持一致。無套利期限結構模型將債券視為以利率為標的物的“衍生品”，它的價格變化依賴于利率的波動，進而直接借用無套利思想的期權定價分析所使用的一整套方法，得到債券價格及利率的期限結構。無套利期限結構分析方法有三個最大的特點(內在假設):利率期限結構和價格同某些隨機因素相聯(lián)系;這些隨機因素被假設服從某一特定的假設的隨機過程;利率期限結構和債券價格必須滿足無套利條件。下面對無套利期限結構框架下的主要模型進行簡要介紹。

(一)霍—李模型

1986年，霍和李(Ho＆Lee)在論文《期限結構運動與利率有條件要求權定價》中提出了一個基于無套利機會假設的利率期限結構變動模型，即Ho＆Lee模型，由此開創(chuàng)了期限結構理論研究的新方向。Ho＆Lee模型認為現(xiàn)時的利率期限結構包含有現(xiàn)時人們對利率預測的足夠信息，在沒有套利機會的假設下，利率期限結構的未來變動只能反映出這些信息，因而其變化情況可測。

與CIR模型為代表的一般均衡模型相反，Ho＆Lee模型假設初始收益率曲線(即某一時刻在市場上觀察到收益率曲線)外生給定，在此基礎上討論收益率曲線的運動結構。也就是說，Ho＆Lee模型放寬了原來一般均衡模型中漂移率不變的假設，認為模型參數(shù)是依時間而變化的(time-dependent)以適應于初始期限結構。Ho＆Lee模型假定利率過程為:

dr(t)=θ(t)dt+σdW(t)(17-6)

其中短期利率的波動率σ是常數(shù)，變量θ(t)定義了在t時刻r的平均運動方向。它獨立于r的值。為了匹配當前的期限結構，Ho＆Lee模型根據(jù)無套利條件，用波動特性來標度漂移項，有:

θ(t)=af(0，t)/at+σ²t(17-7)

其中，f(0，t)是0時刻觀察到的瞬時遠期利率。

Ho＆Lee模型從外生給定的初始收益率曲線出發(fā)，用無套利條件來確定遠期利率漂移項和擴散項之間的關系，選擇各期的漂移率參數(shù)以精確擬合當前的收益率曲線，所得到的收益率曲線也就自然地包含了初始收益率曲線中隱含的所有信息。眾所周知，精確擬合的收益率曲線對交易商具有極其重要的意義，以此為基礎，交易商才可能發(fā)現(xiàn)各種以該債券為標的物的衍生品價格之間的關系、進而調整投資組合中各資產(chǎn)的頭寸以牟利或規(guī)避風險。因此，Ho＆Lee模型成為實踐中廣為應用的模型。雖然Ho＆Lee模型本身存在很多局限性，例如假定所有即期與遠期利率都具有相同的方差率，而且沒有考慮利率運動的均值回復特性，但它提供了一個新的研究思路，即模型參數(shù)隨時間而變化。沿襲這一思路，布萊克·德曼和托伊等(Black Derman＆Toy，1990)證明期限結構收益率曲線的不同部分可以具有不同的方差結構，即利率隨機波動的瞬間波動率(方差率)隨時間而變化。這一擴展對與利率波動相關的期權的定價分析具有異常重要的意義。

(二)HJM模型

1992年希思，杰羅和默頓(Health，Jarrow＆Morton)在其發(fā)表的《債券定價及期限結構:一種新的方法》中將Ho＆Lee模型一般化推廣到連續(xù)時間的分析框架中來，得到無套利利率期限結構理論的另一個重要模型——HJM模型。以往，包括無套利和一般均衡在內的利率期限結構模型都是以某些具體的經(jīng)濟變量為狀態(tài)變量，進而構造出債券收益率與時間和狀態(tài)變量之間的函數(shù)。HJM模型的新穎之處在于它直接從遠期利率期限結構的跨期波動特征入手，直接設定債券和相關衍生品在有效期限內的波動率函數(shù)結構，以整條收益率曲線作為狀態(tài)變量，根據(jù)給定的初始遠期利率曲線精確擬合出當前的各種遠期利率曲線。由于遠期利率隱含市場對未來的預期，因而HJM模型中的債券價格和衍生品價值的決定不依賴于過去的變量，而是依賴于市場對未來的預期和利率隨機波動在未來的實現(xiàn)過程。下面對HJM模型做簡要介紹。

HJM模型研究的對象是瞬時遠期利率，假設T時刻瞬時遠期利率f(t，T)的變化服從:

(17-8)式中dW_i(t)是N個外生獨立的利率期限結構的動態(tài)演變過程的驅動源，對遠期利率服從幾何布朗運動的過程。HJM模型根據(jù)Ho＆Lee模型的思想，用無套利條件來確定遠期利率漂移項和擴散項之間的關系，得出了無套利條件下的漂移項和波動相之間的特定關系，即在實際測度和風險中性測度下，遠期利率的漂移項完全由其擴散項決定:

這是市場的無套利條件對遠期利率波動過程實施的限制。將上式代入(17-8)式，經(jīng)演算后得到在風險中性概率測度Q下的瞬時遠期利率過程為:

通過設定所有未來時刻遠期利率的瞬時波動方差，根據(jù)初始遠期利率期限結構，HJM模型可以得到當前時刻t的即期利率期限結構進而求出債券及相應利率衍生品的價格。模型中漂移率與波動率函數(shù)設定為隨時間變化，加之即期利率又是遠期利率的特例，故而HJM模型是一個非常一般化的無套利模型，特定條件下它可化為Ho＆Lee模型和Hull＆White模型。

由于HJM模型發(fā)展了在無套利基礎上的對貼現(xiàn)債券的相對定價而得出期限結構，符合實際市場期限結構因而產(chǎn)生了極大的影響。在HJM模型的推動下，新模型層出不窮，如市場模型、隨機弦模型、隨機域模型、跳躍過程模型、定價核模型等。由于其應用的數(shù)學技術更加復雜，在本書中不再對其進行介紹。