從上面的討論可知，宏觀及宇觀過程存在大量的不連續(xù)的突發(fā)過程，自然要求一種合理的理論來處理這些現(xiàn)象。

突變論的誕生是以法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·托姆 （1923～2002）于1972年提出的。托姆將系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的整體性“突躍”稱為突變，其特點(diǎn)是過程連續(xù)而結(jié)果不連續(xù)。突變理論可以被用來認(rèn)識和預(yù)測復(fù)雜的系統(tǒng)行為。

“突變”一詞，法文原意是 “災(zāi)變”，強(qiáng)調(diào)變化過程的間斷或突然轉(zhuǎn)換的意思。在自然界和人類社會活動中，除了漸變的和連續(xù)光滑的變化現(xiàn)象外，還存在著大量的突然變化和躍遷現(xiàn)象，如巖石的破裂、橋梁的崩塌、地震、海嘯、細(xì)胞的分裂、生物的變異、人的休克、情緒的波動、戰(zhàn)爭、市場變化、企業(yè)倒閉、經(jīng)濟(jì)危機(jī)等。

突變理論研究的是從一種穩(wěn)定組態(tài)躍遷到另一種穩(wěn)定組態(tài)的現(xiàn)象和規(guī)律。它指出自然界或人類社會中任何一種運(yùn)動狀態(tài)，都有穩(wěn)定態(tài)和非穩(wěn)定態(tài)之分。在微小的偶然擾動因素作用下，仍然能夠保持原來狀態(tài)的是穩(wěn)定態(tài)；而一旦受到微擾就迅速離開原來狀態(tài)的則是非穩(wěn)定態(tài)，穩(wěn)定態(tài)與非穩(wěn)定態(tài)相互交錯(cuò)。非線性系統(tǒng)從某一個(gè)穩(wěn)定態(tài) （平衡態(tài)）到另一個(gè)穩(wěn)定態(tài)的轉(zhuǎn)化，常常是以突變形式發(fā)生的。突變理論作為研究系統(tǒng)有序演化的有力數(shù)學(xué)工具，能較好地解說和預(yù)測自然界和社會上的突發(fā)現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、社會科學(xué)等方面有著廣闊的應(yīng)用前景。

突變理論是用形象的數(shù)學(xué)模型來描述連續(xù)性行動突然中斷導(dǎo)致質(zhì)變的過程，這一理論與混沌理論相關(guān)，盡管它們的出現(xiàn)是兩個(gè)完全獨(dú)立的理論，但現(xiàn)在突變理論被普遍視作為混沌理論的一部分。

雖然突變理論是產(chǎn)生于一門數(shù)學(xué)理論，但它的核心思想?yún)s有助于人們理解系統(tǒng)變化和系統(tǒng)中斷。如果系統(tǒng)處于休止?fàn)顟B(tài) （也就是說，沒有發(fā)生變化），它就會趨于獲得一種理想的穩(wěn)定狀態(tài)，或者說至少處在某種定義的狀態(tài)范圍內(nèi)是如此的。如果系統(tǒng)受到外界變化力量作用，系統(tǒng)起初將試圖通過反作用來平衡外界壓力。如果外力足夠小的話，系統(tǒng)將保持其初始狀態(tài)或連續(xù)地平緩運(yùn)動。如果變化力量足夠強(qiáng)大，而不可能被系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)動完全平衡的話，突變就會發(fā)生，系統(tǒng)隨之突然地進(jìn)入另一種新的穩(wěn)定狀態(tài)，或另一種運(yùn)動狀態(tài)范圍。在這一過程中，系統(tǒng)再不可能通過連續(xù)性的方式回到原來的穩(wěn)定狀態(tài)。

試舉一例，更為形象地解釋這一理論。讓人們假想有一只玻璃瓶放在桌面上，它處在一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，沒有任何變化，人們常稱其為穩(wěn)定平衡?，F(xiàn)在假想用你的手指輕推瓶頸，不要太用力。這時(shí)變化產(chǎn)生，玻璃瓶晃動起來，并通過一種連續(xù)性的方式使晃動連續(xù)地緩慢衰減，此為平衡點(diǎn)附近的微小振動。如果你停止推力，玻璃瓶將恢復(fù)到它的理想穩(wěn)定狀態(tài)。然而，如果你繼續(xù)用力推下去，在你的推力達(dá)到一定程度的時(shí)候，玻璃瓶便會倒下，由此又進(jìn)入了一種新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)。我們可以說玻璃瓶的狀態(tài)在這一瞬間就發(fā)生了突變，一個(gè)非連續(xù)性的變化就這樣產(chǎn)生了：在玻璃瓶下跌的過程中，沒有任何可能的穩(wěn)定中間狀態(tài)，直到它完全倒伏在桌面上為止。

托姆的突變理論認(rèn)為，系統(tǒng)變化是通過連續(xù)性的和非連續(xù)性的兩種變化模式來實(shí)現(xiàn)的。這一過程與混沌理論相關(guān)之處在于，玻璃瓶只存在兩種狀態(tài)——要么站立，要么躺倒。這兩種狀態(tài)也都是可能的結(jié)果。然而，還有一些狀態(tài)永遠(yuǎn)不可能被達(dá)到，因?yàn)樗鼈兙哂袃?nèi)在的不穩(wěn)定性。

至今，人類的主流科學(xué)理論認(rèn)為：自然界許多事物是連續(xù)的、漸變的、平滑的運(yùn)動變化過程，都可以用微積分的方法給以圓滿解決。例如，地球繞著太陽旋轉(zhuǎn)，有規(guī)律地周而復(fù)始地連續(xù)不斷進(jìn)行，使人能極其精確地預(yù)測未來的運(yùn)動狀態(tài)，這就需要運(yùn)用經(jīng)典的線性微分方程組來描述。但是，自然界和社會現(xiàn)象中，還有許多突變和飛躍的過程，飛躍造成的不連續(xù)過程，把系統(tǒng)的行為空間變成不可微的，經(jīng)典的微分方程理論就無法解決問題。例如，當(dāng)水處于100攝氏度時(shí)的突然沸騰，和0攝氏度冰的突然融化，火山爆發(fā)，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。

這種由漸變、量變發(fā)展為突變、質(zhì)變的過程，就是突變現(xiàn)象，通常的微分方程理論是不能描述的。以前科學(xué)家在研究這類突變現(xiàn)象時(shí)遇到了各式各樣的困難，其中主要困難就是缺乏恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來提供描述它們的數(shù)學(xué)模型。那么，有沒有可能建立一種關(guān)于突變現(xiàn)象的一般性數(shù)學(xué)理論來描述各種飛躍和不連續(xù)過程呢？這迫使數(shù)學(xué)家進(jìn)一步研究描述突變理論的飛躍過程，研究不連續(xù)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論。1972年法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·托姆在 《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學(xué)》一書中，明確地闡明了突變理論，宣告了突變理論的誕生。

突變理論主要以拓?fù)鋵W(xué)為工具，以結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論為基礎(chǔ)，提出了一條新的判別突變、飛躍的原則：在嚴(yán)格控制條件下，如果質(zhì)變中經(jīng)歷的中間過渡態(tài)是穩(wěn)定的，那么它就是一個(gè)漸變過程。比如拆一堵墻，如果從上面開始一塊塊地把磚頭拆下來，整個(gè)過程就是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的漸變過程。如果從底腳開始拆墻，拆到一定程度，就會破壞墻的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，墻就會嘩啦一聲，倒塌下來。這種結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性就是突變、飛躍過程。又如社會變革，從封建社會過渡到資本主義社會，法國大革命采用暴力來實(shí)現(xiàn)，而日本的明治維新就是采用一系列改革，以漸變方式來實(shí)現(xiàn)。對于這種結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定現(xiàn)象，突變理論用勢函數(shù)可能有凹點(diǎn)區(qū)域存在的特征借以表示穩(wěn)定，用凸點(diǎn)區(qū)域表示不穩(wěn)定，并有一套判別的運(yùn)算方法。例如，一個(gè)小球在凹區(qū)底部時(shí)是穩(wěn)定的，如果把它放在凸起頂端時(shí)是不穩(wěn)定的，小球就會從頂端處，不穩(wěn)定滾下去，往新凹地過渡，事物就發(fā)生了突變；當(dāng)小球在新凹地底處，又開始新的穩(wěn)定，所以根據(jù)表述某事物的勢函數(shù)的凹區(qū)的存在與消失就成為判斷事物的穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性、漸變與突變過程的根據(jù)。托姆的突變理論，就是借助數(shù)學(xué)工具，依據(jù)描述系統(tǒng)狀態(tài)的勢函數(shù)，求出系統(tǒng)處于臨界態(tài)的參數(shù)區(qū)域，參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)也隨著變化，當(dāng)參數(shù)跨越這些臨界位置時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)就會發(fā)生突變。

突變理論提出一系列數(shù)學(xué)模型，用以解釋自然界和社會現(xiàn)象中所發(fā)生的不連續(xù)的變化過程，描述各種現(xiàn)象為何從形態(tài)的一種形式突然地飛躍到根本不同的另一種形式。如巖石的破裂，橋梁的斷裂，細(xì)胞的分裂，胚胎的變異，市場的破壞以及社會結(jié)構(gòu)的激變……。按照突變理論，自然界和社會現(xiàn)象中的大量的不連續(xù)事件，可以由某些特定的幾何形狀來表示。托姆指出，發(fā)生在三維空間和一維空間的四個(gè)因子控制下的突變，有七種突變類型：折疊突變、尖頂突變、燕尾突變、蝴蝶突變、雙曲臍突變、橢圓臍形突變以及拋物臍形突變。

本質(zhì)上，突變理論是這樣一種程序。這個(gè)程序的主題是研究微分方程組的解如何隨方程的系數(shù)的變化而變化。很多時(shí)候，當(dāng)方程的系數(shù)變化很微小時(shí)，解的性質(zhì)也在小范圍內(nèi)連續(xù)變化。但確實(shí)存在這樣的一些情況，即當(dāng)方程組系數(shù)作微小變化時(shí)會引起解的性質(zhì)發(fā)生數(shù)量上的巨大變化或者性質(zhì)上的根本變化。如上面單擺的例子中，當(dāng)E＝2g時(shí)，則E＝2g±δE即使極微小的δE會引起單擺是作擺動或轉(zhuǎn)動的質(zhì)的變化。從觀念上，突變理論極力要抓住這些引起變化的“臨界點(diǎn)”，而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)及物理理論往往是把它作為反例而拋棄。從方法上，突變理論把微分方程的m個(gè)系數(shù)擴(kuò)展成m個(gè)連續(xù)參量組成的m維流形，與n個(gè)自變量的流形直積形成一個(gè)m＋n維的流形M×N。而傳統(tǒng)的方法卻恰好相反，首先尋找可積條件，把參數(shù)限制在某個(gè)小范圍，再通過邊界條件把自變量限制在某個(gè)有限范圍，從而得出解。因此不難推想，傳統(tǒng)的方法只是研究了問題的一個(gè)分支，而整個(gè)物理體系包含著多個(gè)分支，突變理論正是通過 “臨界集”的尋找，給這些分支劃出明確的界限。突變理論把體系分為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的 （在小擾動下，系統(tǒng)本身也僅發(fā)生小的變化）和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的；（在小擾動下系統(tǒng)可能發(fā)生突發(fā)性的巨大變化）。而突變理論的實(shí)質(zhì)正是研究體系的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性的存在及發(fā)生的條件及一定獨(dú)立參數(shù)的系統(tǒng)，可能發(fā)生的突變的類型的分類。

（1）物理過程經(jīng)驗(yàn)規(guī)律的尋求：要研究可能出現(xiàn)的突發(fā)性的物理過程，我們?nèi)匀恍枰獜膶?shí)驗(yàn)和觀察出發(fā)，只不過需要擴(kuò)大我們實(shí)驗(yàn)和觀察的范圍并改進(jìn)我們實(shí)驗(yàn)的觀念和方法。比如對于彈性體的實(shí)驗(yàn)觀察，物理學(xué)家常用胡克定律：在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。為從實(shí)驗(yàn)上得到這一結(jié)果，我們往往選用較柔和的彈簧，在較小的拉力作用下，測出一定大小的拉力作用下引起的彈簧伸長，只要拉力足夠小，總可以得出應(yīng)力和應(yīng)變的正比關(guān)系。但拉力超過一定大小，就會偏離線性關(guān)系。而以往物理學(xué)家就認(rèn)為這時(shí)就偏離了物理學(xué)的研究范圍。于是就丟掉了很多值得物理學(xué)研究的內(nèi)容，如彈簧的非線性變性、范性變形和斷裂發(fā)生的條件等等?？梢娭灰覀冏銐虻?cái)U(kuò)大我們的實(shí)驗(yàn)和觀測條件，就可能得到表述物理過程的更為詳盡更為復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，也就是表述物理現(xiàn)象更精確更廣泛的物理定律。而這些定律必然是非線性化的，從數(shù)學(xué)分析觀點(diǎn)，它必然會出現(xiàn)某些不連續(xù)甚至發(fā)生某些突變或爆炸過程。而突變理論正是由此出發(fā)來研究物理體系 （或其他體系甚至是生命體系）的演化發(fā)展特征。

實(shí)際上，現(xiàn)有物理體系有很多特征都是非線性或四次形式的。天文觀測表明：質(zhì)量大于0.43太陽質(zhì)量的大質(zhì)量恒星的光度與質(zhì)量的四次方成比例。而盧瑟福在研究原子核散射中發(fā)現(xiàn)微分有效散射截面與入射速度的四次方有關(guān)。按照斯蒂芬—波爾茲曼定律黑體輻射功率與其溫度的四次方成比例。在康普頓效應(yīng)的分析中，從入射光中散射出的能量率與電子電荷的四次方成比例。

（2）面對大量非線性的物理規(guī)律，如何在數(shù)學(xué)上加以處理，以求出有物理意義的解，并從中給出更多的可與觀測和實(shí)驗(yàn)對照的結(jié)果。我們采用了數(shù)學(xué)中的突變理論。