球體積的證明

劉徽在注《九章算術(shù)》時(shí)，研究了球體積公式。在《九章算術(shù)》中，提出了V=的球體積計(jì)算公式。從這個(gè)公式可以看出，當(dāng)時(shí)把足球的體積作為它的外切立方體體積的倍來計(jì)算的，其中“9”實(shí)際表示π²，因那時(shí)人們經(jīng)常取π=3進(jìn)行計(jì)算。劉徽首先看出了其中的錯(cuò)誤。他發(fā)現(xiàn)了一種有趣的立體圖形，并把它叫做“牟合方蓋”。牟，相等;蓋，傘?！澳埠戏缴w”是指兩個(gè)半徑相同，且兩軸相互垂直相交的圓柱的公共部分。由于其形狀就像把兩個(gè)方口圓頂?shù)膫銓?duì)合在一起，故取名為“牟合方蓋”。劉徽指出球體積應(yīng)該等于外切于它的一個(gè)牟合方蓋體積的倍，即

因此，計(jì)算球體積的問題歸結(jié)為計(jì)算V牟的問題，但劉徽一直沒有找到求“牟合方蓋”的體積辦法。他坦率地說:“欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑?以俟能言者。”希望后世能干的學(xué)者能盡快解決。

眼下暫且不談后世學(xué)者的事，先講講讀者關(guān)心的問題:劉徽是怎樣想到這種有趣的圖形的?有人說，因?yàn)樗?jīng)長(zhǎng)時(shí)期使用過一種方口圓頂?shù)亩敷?，從中受到啟發(fā)。這種開玩笑的說法是沒有根據(jù)的。數(shù)學(xué)史家推測(cè)，他是應(yīng)用了類推法。

劉徽研究《九章算術(shù)》時(shí)曾發(fā)現(xiàn):圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積分別與同高的外切方柱、方椎、方臺(tái)的體積之比，等于同高處橫截面面積之比，即π∶4。劉徽認(rèn)為，球體的體積可以通過其他容易求出體積的立體來表示，只要這個(gè)立體與球體在同高處的截面面積之比處處相等就可以了。

由于劉徽將球體看作是從圓柱到圓臺(tái)這一變化過程的繼續(xù)，因此所要尋找的立體，也應(yīng)該是從方柱到方臺(tái)這一變化過程的繼續(xù)，而且它的截面既應(yīng)是正方形的，又該與球同高處的截面——圓的面積之比恒為π∶4;這一立體應(yīng)該是一個(gè)中心對(duì)稱的，且對(duì)稱中心截面面積為最大，而且截面分別向上、下逐漸縮小的立體。

另外，根據(jù)《九章算術(shù)》將球體放在外切圓柱及外切立方體之中考察的啟發(fā)，劉徽醒悟到這立方體應(yīng)該是內(nèi)切于立方體的兩個(gè)直交圓柱的所圍部分，即“牟合方蓋”了。

“牟合方蓋”的發(fā)現(xiàn)是一個(gè)很了不起的成就，這反映了劉徽已經(jīng)不是單純地停留于經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，他已經(jīng)采用了辯證的思維形式。

劉徽之后200多年，他所期望的“能言者”果真出現(xiàn)，那就是祖沖之和他的兒子祖繿(又名祖繿之)。祖繿也是博學(xué)多才的數(shù)學(xué)家，從小就懂得孝敬父母，勤奮學(xué)習(xí)。傳說，在祖沖之臨終的時(shí)候，祖繿發(fā)誓要繼承發(fā)揚(yáng)他父親的成就，一定要讓皇帝采納《大明歷》，還說每年祖繿總要給他父親上墳，向他父親的在天之靈匯報(bào)讀書、研究心得。后來，他果真實(shí)現(xiàn)了自己的誓言。祖繿的主要工作是對(duì)《級(jí)術(shù)》進(jìn)行修改、補(bǔ)充，有人還認(rèn)為《級(jí)術(shù)》是由祖沖之和祖繿合著的。祖沖之在與戴法興辯論時(shí)曾指出張衡盲從古人，沿用了《九章算術(shù)》中錯(cuò)誤的球體積公式。看來，祖沖之已經(jīng)得到了正確的球體積計(jì)算公式。但是唐朝李淳風(fēng)在注《九章算術(shù)》時(shí)，又說所引用求球體積的方法是祖繿的。現(xiàn)在人們推測(cè)很可能是，祖沖之已經(jīng)明確地知道以前的球體積公式是錯(cuò)誤的，并且找到了正確的球體積公式，而祖繿則將它清晰地表達(dá)出來，并給出了嚴(yán)格的證明。

祖沖之、祖繿父子，運(yùn)用“祖繿原理”獲得球體積公式。所謂祖繿原理，是指“夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)立體，被平行于這兩個(gè)平面的任何平面所截。如果它們的截面面積總相等，那么這兩個(gè)立體的體積相等”。

西方數(shù)學(xué)書上稱這一原理為“卡瓦列里定理”，他們認(rèn)為是17世紀(jì)時(shí)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里于1635年最早發(fā)現(xiàn)的。實(shí)際上，祖繿早于卡瓦列里1100多年前就發(fā)現(xiàn)了。

祖繿原理的原文是:“冪勢(shì)既同，則積不容異?！卑船F(xiàn)在的話來說，即:二同高的立體，如在等高處的截面積相等則體積也相等。該文原載于祖沖之、祖繿父子撰寫的《綴術(shù)》一書，《綴術(shù)》已失傳。唐朝數(shù)學(xué)家李淳風(fēng)作《九章算術(shù)》注時(shí)，把祖繿原理及祖繿的由球體積求直徑的“開立圓術(shù)”引用了進(jìn)去，這才使這一發(fā)明得以流傳下來。

祖繿繼承了劉徽未完成的事業(yè)，求出了“牟合方蓋”的體積，從而得到球體積公式。他是這樣做的:

取牟合方蓋(簡(jiǎn)稱“方蓋”)的1/8，如圖(a)，設(shè)圓柱半徑為R。

作一距底面h的平面交方蓋，得一正方形PQMN(用陰影表示)，其邊長(zhǎng)為a，則有a²=R²－h(huán)²

另作一棱長(zhǎng)為R的正方體，如圖(b)，且使它的底面A₁B₁C₁D₁，與方蓋的底ABCD在同一平面上。從正方體中挖去一個(gè)倒立的四棱錐，得到一個(gè)新幾何體G。作一距底面為A的截面，交G得一曲尺形截面(圖(b)中陰影表示)，其面積為R²－h(huán)²=a²。

由祖_繿原理，方蓋的與G等積，而G的體積=R³－R²×R=

所以，牟合方蓋的體積V_牟=8×R³。

再由劉徽的公式，即可求得:

V_球=V_牟=R³=πR³

這個(gè)球體積公式是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)巨大成就，也是我們中華民族對(duì)世界科學(xué)的偉大貢獻(xiàn)。

祖繿原理還可以推廣為:“夾在兩平行平面間的兩個(gè)立體，被平行于這兩個(gè)平面的任一平面所截，如果它們的截面面積的比恒為一定值，那么這兩個(gè)立體的體積之比也等于這個(gè)定值。