第二節(jié)　外國(guó)古代數(shù)學(xué)課程回顧

在本節(jié)中，我們簡(jiǎn)要回顧了外國(guó)古代數(shù)學(xué)課程的演進(jìn)，包括古埃及、古巴比倫數(shù)學(xué)課程的萌芽，作為歐洲數(shù)學(xué)教育源頭的古希臘、古羅馬數(shù)學(xué)課程，中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)課程，等等。由此可看到國(guó)外古代數(shù)學(xué)課程的主要脈絡(luò)。

一、古埃及數(shù)學(xué)課程的萌芽

古埃及是世界四大文明古國(guó)之一，公元前3200年左右形成了統(tǒng)一的奴隸制國(guó)家。由于尼羅河每年泛濫，古埃及每年都要重新丈量土地，在這個(gè)過(guò)程中積累了豐富的幾何知識(shí)。開(kāi)始時(shí)，這些幾何知識(shí)靠家庭傳授或師徒傳授的方式得以傳播，這就是最早期的數(shù)學(xué)教育。為了使王公貴族的子弟受到必要的教育，在公元前2500年，埃及出現(xiàn)了學(xué)校，一定的數(shù)學(xué)知識(shí)是維護(hù)奴隸主統(tǒng)治所必需的，因而需要在學(xué)校講授。古埃及的學(xué)校主要有以下四種形式：

（1）宮廷學(xué)校。古埃及最早出現(xiàn)的學(xué)校，是培養(yǎng)王公貴族的場(chǎng)所。主要對(duì)皇室及重臣的子弟進(jìn)行教育，學(xué)完后可當(dāng)官吏。學(xué)校主要學(xué)習(xí)書(shū)寫、計(jì)算與政務(wù)等有關(guān)知識(shí)。

（2）職官學(xué)校。古埃及時(shí)期出現(xiàn)的學(xué)校，由政府機(jī)關(guān)設(shè)立，用以培養(yǎng)各種專業(yè)的官員。這種學(xué)校和業(yè)務(wù)機(jī)關(guān)聯(lián)系密切，由政府官員擔(dān)任教師，學(xué)校主要學(xué)習(xí)書(shū)寫、計(jì)算、與各專業(yè)訓(xùn)練有關(guān)的知識(shí)與技能。

（3）寺廟學(xué)校。在古埃及，僧侶是學(xué)識(shí)豐富，地位較高的社會(huì)階層，他們?cè)谏鐣?huì)上受到尊重，也自然承擔(dān)了教育的社會(huì)職責(zé)。由他們建立的寺廟學(xué)校也是水平較高的學(xué)校，其培養(yǎng)的目標(biāo)是專業(yè)人才。學(xué)校開(kāi)設(shè)的課程有數(shù)學(xué)、天文學(xué)、建筑學(xué)等。

（4）文士學(xué)校。古埃及的文職人員稱為文士，他們的社會(huì)地位高、待遇優(yōu)厚、受到人們的尊重，但并不是世襲。許多奴隸主的子弟都想成為文士。由文士開(kāi)設(shè)的學(xué)校叫做文士學(xué)校。學(xué)校開(kāi)設(shè)書(shū)寫、計(jì)算等一般課程，也開(kāi)設(shè)天文學(xué)、數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)等要求較高的課程。

在古埃及，懂得數(shù)學(xué)的人受到社會(huì)的尊重，數(shù)學(xué)成為各類學(xué)校都重視的課程。當(dāng)時(shí)的人們認(rèn)為不懂計(jì)算是一種恥辱。阿默斯紙草書(shū)相傳是公元前1650年左右埃及最早的數(shù)學(xué)課程材料，作者是書(shū)記官阿默斯。

概括地說(shuō)，古代埃及的數(shù)學(xué)成就表現(xiàn)為以下六個(gè)方面：

①十進(jìn)、二十進(jìn)記數(shù)法的形成。

②整數(shù)四則運(yùn)算。

③分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)法及其運(yùn)算。

④算術(shù)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)求和。

⑤求解一元一次、一元二次方程。

⑥矩形、三角形、梯形的面積計(jì)算等。

二、古巴比倫數(shù)學(xué)課程的萌芽

像尼羅河流域孕育了古埃及文明一樣，底格里斯河與幼發(fā)拉底河流域也孕育了亞述與巴比倫的古老文明。在公元前3000年左右，蘇美爾人在這里建立起奴隸制國(guó)家。亞述與巴比倫兩個(gè)古國(guó)繼承了蘇美爾文化，逐步積累和發(fā)展了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)。在公元前1800到公元前1600年間，巴比倫人已經(jīng)掌握了系統(tǒng)的十進(jìn)位制和六十進(jìn)位制記數(shù)法，制定了1—60的乘法表、倒數(shù)表、平方表與立方表，能夠解某些二次方程、三次方程，知道的近似值，懂得勾股定理。巴比倫的天文學(xué)也很發(fā)達(dá)，能夠測(cè)出日食和月食，在水利、建筑、機(jī)械等方面積累了豐富的知識(shí)。在公元前2000年左右，亞述與巴比倫兩個(gè)古國(guó)就開(kāi)始有學(xué)校教育。學(xué)校的類型、性質(zhì)和課程與古埃及的學(xué)校相似。為了培養(yǎng)大量能寫會(huì)算的文士承擔(dān)政府部門的管理工作，政府開(kāi)辦學(xué)校，文士個(gè)人也可以辦學(xué)。學(xué)校的課程主要有書(shū)寫和計(jì)算。歷史學(xué)家所發(fā)現(xiàn)的泥版教科書(shū)就是當(dāng)時(shí)的教科書(shū)。在巴比倫的文士學(xué)校中，數(shù)學(xué)是最重要的課程之一，學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有加、減、乘法運(yùn)算，系數(shù)與倒數(shù)知識(shí)以及這些知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。

概括地說(shuō)，古代巴比倫的數(shù)學(xué)成就表現(xiàn)為以下方面：

①算術(shù)四則計(jì)算。

②平方、開(kāi)平方術(shù)；立方、開(kāi)立方術(shù)。

③解一元一次方程、二元一次方程組。

④矩形、三角形、梯形的面積計(jì)算，平行六面體的體積，柱體的體積。

⑤勾股定理的發(fā)現(xiàn)等。

三、古希臘的數(shù)學(xué)課程

在公元前10世紀(jì)到公元前8世紀(jì)，希臘進(jìn)入奴隸社會(huì)，形成了獨(dú)特的希臘城邦制國(guó)家。公元前5世紀(jì)，希臘的哲學(xué)、科學(xué)、藝術(shù)都取得了巨大成就，成為歐洲文明的發(fā)源地。

1．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)成就

畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580—前500年），古希臘人，生于愛(ài)琴海的薩摩斯島上，青年時(shí)代學(xué)習(xí)了幾何學(xué)與哲學(xué)，曾到過(guò)巴比倫、印度，學(xué)習(xí)過(guò)許多天文、數(shù)學(xué)的知識(shí)。在公元前500年，他在意大利南部建立了自己的學(xué)派。該學(xué)派是一個(gè)集科學(xué)、宗教與哲學(xué)于一體的學(xué)術(shù)團(tuán)體，有成員三百多名，團(tuán)體的紀(jì)律嚴(yán)明，并規(guī)定學(xué)派一切服從畢達(dá)哥拉斯，一切成果不得外傳，違者按律處死。畢達(dá)哥拉斯是西方理論數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人，在數(shù)學(xué)史上有深遠(yuǎn)的影響。他提出了萬(wàn)物皆數(shù)的思想，認(rèn)為數(shù)是萬(wàn)物的本原。他在數(shù)論、幾何、代數(shù)方面取得重大成就。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)并且證明了勾股定理，發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，發(fā)現(xiàn)了五種正多面體：即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，該學(xué)派還提出了幾何三大作圖問(wèn)題。

2．柏拉圖的教育和課程思想

柏拉圖（Plato，約公元前430—前349年），古希臘著名的哲學(xué)家、教育家。他的教育思想是唯心主義的。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)先于世界而存在，研究數(shù)學(xué)就是探索世界的本質(zhì)。他主張數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，他在他教書(shū)的學(xué)院門前，親自書(shū)寫了“不懂幾何，請(qǐng)勿入內(nèi)”的橫幅，可見(jiàn)他對(duì)數(shù)學(xué)的重視。柏拉圖把學(xué)校課程分為低級(jí)課程和高級(jí)課程兩類。低級(jí)課程包括體育、音樂(lè)、讀、寫、算等；高級(jí)課程包括算術(shù)、幾何、天文、音樂(lè)等，這與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派一脈相承。

3．歐幾里得《幾何原本》的產(chǎn)生

公元前338年，馬其頓征服了希臘與地中海沿岸地區(qū)，許多移民進(jìn)入希臘，馬其頓人把高度發(fā)達(dá)的希臘文化帶入廣大被占領(lǐng)的地區(qū)，使得東西方文化進(jìn)行了一次大交流。公元前10世紀(jì)到公元前8世紀(jì)，希臘進(jìn)入奴隸社會(huì)。公元前5世紀(jì)，希臘進(jìn)入繁榮時(shí)期。在這個(gè)時(shí)期，地中海沿岸地區(qū)的文化受到希臘文化的重大影響，使數(shù)學(xué)得到了很大發(fā)展，其標(biāo)志是數(shù)學(xué)從哲學(xué)與天文學(xué)中脫胎出來(lái)，形成了獨(dú)立的學(xué)科。

歐幾里得（Euclid，約公元前330—前275年），生于雅典，曾就學(xué)于柏拉圖門下，是亞歷山大前期的一位大數(shù)學(xué)家。公元前300年左右，他被聘為亞歷山大大學(xué)教授，曾到亞歷山大城主持這里的數(shù)學(xué)學(xué)派工作。他把畢生精力奉獻(xiàn)給幾何學(xué)的教學(xué)與研究，是一位溫良敦厚的數(shù)學(xué)教育家。他謙虛謹(jǐn)慎，關(guān)懷他人，在學(xué)問(wèn)上一絲不茍。他的代表作《幾何原本》是這個(gè)時(shí)期最重要的數(shù)學(xué)著作。

《幾何原本》是用公理法建立完整的數(shù)學(xué)演繹體系最早的典范，是少有的數(shù)學(xué)鴻編巨著。該書(shū)不僅開(kāi)創(chuàng)了歐氏幾何，而且開(kāi)創(chuàng)了古典數(shù)論的研究。該書(shū)給出了獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法，先給出公理、公設(shè)、定義，然后給出一系列命題及其證明。全書(shū)共分13卷，內(nèi)容豐富，文字簡(jiǎn)練，概念清晰，判斷準(zhǔn)確，推理周密。

4．《九章算術(shù)》與《幾何原本》的比較

我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》與《幾何原本》相比，既有相同點(diǎn)也有不同點(diǎn)。其相同點(diǎn)是：

（1）從兩書(shū)的材料來(lái)源來(lái)看，兩書(shū)都是整理性的數(shù)學(xué)著作，分別對(duì)前人的數(shù)學(xué)成果進(jìn)行了整理與總結(jié)?！毒耪滤阈g(shù)》收集的實(shí)用問(wèn)題246個(gè)，算法（稱為術(shù)）202個(gè)?！稁缀卧尽肥占嗣}477個(gè)，定義119個(gè)。

（2）從兩書(shū)的作用來(lái)看，兩書(shū)都起教科書(shū)的作用?！毒耪滤阈g(shù)》是我國(guó)古代最有影響的數(shù)學(xué)教科書(shū)，其使用時(shí)間跨越了我國(guó)古代好幾個(gè)朝代?！稁缀卧尽肥俏鞣焦糯钣杏绊懙臄?shù)學(xué)教科書(shū)，其發(fā)行量?jī)H次于圣經(jīng)，直到19世紀(jì)，它仍然是學(xué)校數(shù)學(xué)中幾何教材的藍(lán)本。

（3）兩書(shū)成書(shū)的確切時(shí)問(wèn)尚未準(zhǔn)確界定。

其不同點(diǎn)是：

①《九章算術(shù)》是以應(yīng)用問(wèn)題為主線的歸納體系，其目的是為了解決社會(huì)生活與生產(chǎn)建設(shè)的常見(jiàn)問(wèn)題?！稁缀卧尽肥欠忾]的演繹體系，其目的是為了訓(xùn)練人們的思辨能力。

②《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)內(nèi)容主要是解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，先給出問(wèn)題，算出解答，再總結(jié)成解決同類問(wèn)題的一般方法（稱為“術(shù)”），重視數(shù)值計(jì)算是《九章算術(shù)》的一大特點(diǎn)。《幾何原本》的數(shù)學(xué)內(nèi)容以幾何為主，以少量不定義概念和少量不證明的命題為出發(fā)點(diǎn)，按照一定的邏輯規(guī)則，定義該體系中所有的其他概念，推演出該體系中所有的命題，抽象化的演繹推理是它的一個(gè)鮮明特色。

③《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際傳統(tǒng)的體現(xiàn)?！稁缀卧尽肥枪砘椒ǖ碾r形，其內(nèi)容與當(dāng)時(shí)的社會(huì)生活并沒(méi)有緊密的聯(lián)系，卻對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生重要的作用。

四、古羅馬數(shù)學(xué)課程

古羅馬原是意大利半島上的一個(gè)小城幫，從公元前6世紀(jì)起，逐步擴(kuò)展成為橫跨歐、亞、非三洲的大帝國(guó)。古羅馬在社會(huì)生產(chǎn)與文化傳承方面曾取得許多成就，對(duì)歐洲后來(lái)的發(fā)展有不少的影響。公元前3世紀(jì)以后，古羅馬開(kāi)始了學(xué)校教育。羅馬人的文化教育受到希臘較大的影響，但是他們與希臘人追求不同的教學(xué)目標(biāo)。希臘人追求的是抽象的哲學(xué)家思維；羅馬人追求的是演說(shuō)、雄辯的政治家才干。公元前146年，羅馬人征服了希臘，大批希臘教師到羅馬辦學(xué)。313年，羅馬皇帝改信基督教，并在313年確立了基督教為國(guó)教。教會(huì)學(xué)校成為唯一的學(xué)校教育形式。羅馬的學(xué)校教育分為初等教育、中等教育和高等教育三個(gè)層次。

1．初等教育

7—12歲的兒童進(jìn)入私立小學(xué)接受初等教育，學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容為讀、寫、算，其中“算”就是簡(jiǎn)單的記數(shù)與運(yùn)算知識(shí)。貴族和上層人士聘請(qǐng)家庭教師給子女教學(xué)。

2．中等教育

12—18歲的貴族和上層人士的子女在完成家庭教育之后，進(jìn)入文法學(xué)校接受中等教育。學(xué)生學(xué)習(xí)的課程有文法（包括語(yǔ)言與文學(xué)）、歷史、地理、科學(xué)與數(shù)學(xué)，有些學(xué)校加開(kāi)音樂(lè)、幾何、天文學(xué)，教學(xué)方法是講解與聽(tīng)寫，學(xué)習(xí)方法主要是背書(shū)。

3．高等教育

18—20歲的青年，從文法學(xué)校畢業(yè)后可以進(jìn)入修辭學(xué)校接受高等教育，高等教育的目的是培養(yǎng)演說(shuō)家與雄辯的政治家。修辭學(xué)校開(kāi)設(shè)的課程有修辭學(xué)、辯證法、法律學(xué)、倫理學(xué)、數(shù)學(xué)，其中數(shù)學(xué)包括幾何、算術(shù)、天文與音樂(lè)。

古羅馬的大中小學(xué)都開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)課程，其重點(diǎn)與希臘的數(shù)學(xué)課程不同，古羅馬看重實(shí)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，如測(cè)量與計(jì)算等。總的說(shuō)來(lái)，古羅馬仿效希臘的教學(xué)體制，在數(shù)學(xué)上沒(méi)有新的重大成就。

五、歐洲中世紀(jì)的數(shù)學(xué)課程

476年，西羅馬滅亡，這標(biāo)志著西歐奴隸制的結(jié)束，開(kāi)始進(jìn)入封建社會(huì)。由此時(shí)直至12世紀(jì)的文藝復(fù)興，在歷史上稱為中世紀(jì)。西歐中世紀(jì)初期，學(xué)校教育由教會(huì)控制，分為僧院學(xué)校、大主教學(xué)校和教區(qū)學(xué)校三種。神學(xué)和“七藝”成為當(dāng)時(shí)學(xué)校的主要課程?！捌咚嚒逼鋵?shí)就是文法學(xué)、修辭學(xué)、辯證法（邏輯學(xué)）、算術(shù)、幾何、天文、音樂(lè)。公元五六世紀(jì)，“七藝”被基督教加以改造，從而使中世紀(jì)歐洲學(xué)校的數(shù)學(xué)教育有濃厚的宗教色彩。例如學(xué)習(xí)的數(shù)字：

1——被解釋為唯一的神；

2——被解釋為耶穌基督具有神性和人性這兩重性格；

3——被解釋為圣父、圣子和圣靈的三位一體；

4——被解釋為四個(gè)福音傳道者。

當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)與幾何相關(guān)的一點(diǎn)測(cè)量常識(shí)，也是為了繪制教堂的建筑圖樣。由于基督教的思想禁錮，因此中世紀(jì)歐洲學(xué)校數(shù)學(xué)教育水平低下，數(shù)學(xué)研究也得不到應(yīng)有的發(fā)展。直到晚期，十字軍遠(yuǎn)征（1096—1291年）使歐洲人有機(jī)會(huì)接觸阿拉伯國(guó)家和東方國(guó)家的文明，于是，希臘、印度、阿拉伯和中國(guó)的文化（包括我國(guó)古代的四大發(fā)明——造紙、印刷、火藥、指南針）傳入歐洲，使得歐洲的文化和學(xué)校教育得到了發(fā)展。意大利由于地處地中海中北部，是東西方交通要沖，因此逐漸發(fā)展成為歐洲新的經(jīng)濟(jì)文化中心。

六、文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)課程

從14世紀(jì)中到16世紀(jì)末，西歐興起了新興的資產(chǎn)階級(jí)思想解放的運(yùn)動(dòng)，其表現(xiàn)是反對(duì)宗教的思想禁錮，掀起科學(xué)技術(shù)和認(rèn)識(shí)的革命。這個(gè)時(shí)期被稱為文藝復(fù)興時(shí)期。

1．科學(xué)發(fā)現(xiàn)與思想解放

在這個(gè)時(shí)期，歐洲出現(xiàn)了許多杰出的科學(xué)家和思想家。正如恩格斯所指出的：“這是一次人類從來(lái)沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)的最偉大進(jìn)步的改革，是一個(gè)需要巨人而且產(chǎn)生了巨人的時(shí)代?！?/p>

達(dá)·芬奇（1452—1519年），意大利杰出的畫家，他在建筑、機(jī)械、制圖和幾何方面都有過(guò)不少研究。他在科學(xué)上堅(jiān)持唯物主義的見(jiàn)解，主張“從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，并通過(guò)經(jīng)驗(yàn)去探索原因”。他在科學(xué)研究中形成了正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀，認(rèn)為“人們不能應(yīng)用數(shù)學(xué)的地方便沒(méi)有任何確定性可言”。

哥白尼（N．opernieus，1473—1543年），波蘭偉大的天文學(xué)家，在1543年出版了他的有關(guān)天體的偉大名著《天體運(yùn)行論》。該名著提出了以太陽(yáng)為中心的宇宙體系，打破了上帝創(chuàng)造世界的神話。這是對(duì)傳統(tǒng)唯心主義宇宙觀的挑戰(zhàn)。他經(jīng)常運(yùn)用數(shù)學(xué)作為工具從事天文學(xué)的研究，在他的名著中，“數(shù)學(xué)運(yùn)算的簡(jiǎn)便性達(dá)到前所未有的地步”。

伽利略（G．Galilei，1564—1642年），著名的意大利物理學(xué)家，他繼承和倡導(dǎo)了哥白尼的學(xué)說(shuō)，是第一個(gè)用望遠(yuǎn)鏡研究天文的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家。他第一個(gè)發(fā)現(xiàn)自由落體運(yùn)動(dòng)，給出了該運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并相信自然界是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述的。他的實(shí)驗(yàn)方法、分析方法和數(shù)學(xué)方法成為以后幾百年科學(xué)研究的基本方法。他指出，如果不使用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)語(yǔ)言，“人們就在一個(gè)黑暗的迷宮里勞而無(wú)功地游蕩著”。

2．學(xué)校教育

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們的認(rèn)識(shí)逐步?jīng)_破了神學(xué)的桎梏，既認(rèn)識(shí)了自然的力量，也認(rèn)識(shí)了自身的價(jià)值。新興的資產(chǎn)階級(jí)要求培養(yǎng)積極參與社會(huì)、政治、文化和工商業(yè)的人才，為資產(chǎn)階級(jí)子弟就學(xué)創(chuàng)造條件，如15世紀(jì)意大利的孟都亞宮廷學(xué)校、16世紀(jì)的法蘭西學(xué)院、日耳曼的城市中學(xué)等。這個(gè)時(shí)期的學(xué)校教學(xué)內(nèi)容有所改變，開(kāi)設(shè)科目有所增多，在原有“七藝”的基礎(chǔ)上又增加了文學(xué)、歷史、地理、機(jī)械與體育等課程，在教學(xué)中注意啟發(fā)兒童的學(xué)習(xí)興趣，重視實(shí)物教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

3．?dāng)?shù)學(xué)課程概況

在文藝復(fù)興的初期，數(shù)學(xué)教育尚未得到重視。文藝復(fù)興后期，民族語(yǔ)言進(jìn)入了學(xué)科教育，一批杰出數(shù)學(xué)家相繼出現(xiàn)。例如，韋達(dá)（Vieta，1540—1603年）引進(jìn)了字母符號(hào)，使代數(shù)系統(tǒng)化；納伯爾（Napiel，1550—1617年）發(fā)明了對(duì)數(shù)，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算；費(fèi)爾馬（Fermat，1601—1650年）對(duì)于數(shù)論和多個(gè)學(xué)科有杰出的貢獻(xiàn)，創(chuàng)立了坐標(biāo)思想和無(wú)窮小分析思想的萌芽；卡瓦列里（Cavalieri，1598—1647年）用不可分的思想方法研究幾何體的面積與體積，成為微積分學(xué)的先驅(qū)；巴斯加（Pascal，1623—1662年）對(duì)射影幾何進(jìn)行了開(kāi)創(chuàng)性的研究工作。這些數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性的工作，表明歐洲數(shù)學(xué)已經(jīng)在古代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上大踏步前進(jìn)了，這就為進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)期做了積極的準(zhǔn)備，也為數(shù)學(xué)課程的發(fā)展創(chuàng)造了條件。

歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)可以概括為三個(gè)方面：

（1）算術(shù)的新發(fā)展：1585年，荷蘭數(shù)學(xué)家斯蒂芬（Stevin，1548—1620年）發(fā)表了《十進(jìn)制算術(shù)》，把印度－阿拉伯算術(shù)格式演化為現(xiàn)代形式。意大利數(shù)學(xué)家?guī)蛣e利（R．Bombelli，1526—1572年）首先引進(jìn)了連分?jǐn)?shù)來(lái)逼近平方根。1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡丹諾（G．cardano，1501－1576年）用十進(jìn)制小數(shù)表示分?jǐn)?shù)，引進(jìn)并討論了復(fù)數(shù)。1614年，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納伯爾（J．Napier，1550－1617年）發(fā)明了對(duì)數(shù)，并發(fā)表了他研制的對(duì)數(shù)表《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書(shū)》。

（2）代數(shù)的新進(jìn)展：通過(guò)對(duì)三次、四次方程進(jìn)行系統(tǒng)深入的研究，卡丹諾得到了三次方程代數(shù)解法公式。法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Vieta，1540－1603年）發(fā)表了名著《分析方法引論》，可稱為第一部符號(hào)代數(shù)學(xué)。在該書(shū)中，他有意識(shí)地、系統(tǒng)地使用字母，使代數(shù)成為研究由字母所構(gòu)成的公式的變換以及關(guān)于代數(shù)方程的科學(xué)。

（3）幾何的新進(jìn)展：意大利數(shù)學(xué)家于1511年發(fā)表《論繪畫》，該書(shū)是透視法方面的著作，是射影幾何的萌芽。

（4）獨(dú)立的三角學(xué)的建立：德國(guó)數(shù)學(xué)家繆勒（Muller，1436－1476年）于1464年寫成著作《三角全書(shū)》，該書(shū)于1533年出版，使三角學(xué)成為真正獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。丟勒（Durer，1471－1528年）發(fā)表了《圓規(guī)直尺測(cè)量法》，把平面三角和球面三角分離開(kāi)來(lái)。

這個(gè)時(shí)期歐洲學(xué)校數(shù)學(xué)課程有如下特點(diǎn)：

①中小學(xué)普遍開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)課程。

②人們對(duì)數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)有了初步的認(rèn)識(shí)，知道數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、空間想像力與邏輯思維能力，這就是該課程的智育功能；數(shù)學(xué)課程的實(shí)用功能也為人們普遍接受。

③學(xué)校數(shù)學(xué)課程主要由算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角等科目構(gòu)成。這種課程框架已經(jīng)與近現(xiàn)代普通教育數(shù)學(xué)課程接近了。幾個(gè)歐洲國(guó)家的大中小學(xué)校開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容分別為：

德國(guó)——中等學(xué)校開(kāi)設(shè)算術(shù)，包括比例論；

英國(guó)——私立學(xué)校開(kāi)設(shè)算術(shù)、幾何、代數(shù)、天文學(xué)；

法國(guó)——人文主義學(xué)校開(kāi)設(shè)算術(shù)、幾何、天文、音樂(lè)；

意大利——大學(xué)開(kāi)設(shè)記數(shù)法、代數(shù)、幾何。