1901年的春天，數(shù)學家們都面臨著羅素悖論（我們在第6章中討論過）的挑戰(zhàn)，很多人都能感覺到他們所鉆研的這個學科的基礎(chǔ)正在他們腳下動搖。后來，羅素寫道：

對于這種處境，哲學家和數(shù)學家們有很多不同的反應(yīng)。不喜歡數(shù)理邏輯并指責它空洞無物的龐加萊高興地宣稱：“它不再（僅僅）是空洞無物，它還引起矛盾?！边@話很對，但它對解決問題毫無助益。其他一些不贊成格奧爾格·康托爾的數(shù)學家采取了馬奇·赫爾（March Hare）的辦法：“我對這厭煩了，讓我們換個話題。”這對我來說似乎還不夠。然而過了一段時間，理解數(shù)理邏輯和認識到迫切需要邏輯方法的人開始認真地去嘗試解決問題。第一個這樣做的人是F·P·拉姆塞（F. P. Ramsey ），很不幸的是，他早逝了，留下了很多未竟的工作。但在《數(shù)學原理》（三卷，1910—1913，羅素和A. N.懷特海著）出版前的這段時間，我的解決方法并沒有勝過這些后來的嘗試，基本上只是在摸索。⁽¹⁾

下面是羅素自己對于他的悖論靈感怎樣產(chǎn)生的解釋。記住，這是羅素在說話，所以如果你在初讀和再次審讀后都不懂他的邏輯，請不要過多擔心，他是怎樣被引向了這個矛盾的，他就此寫道：

通過思考康托爾對不存在最大基數(shù)的證明，據(jù)我粗淺的想法，世界上所有事物的數(shù)目應(yīng)該可能存在最大的數(shù)。于是，我把他的證明用到這個數(shù)上，看會發(fā)生什么。這個過程使我考慮到一個非常特殊的類⁽²⁾。沿著這條迄今看起來很恰當?shù)姆椒ㄋ伎枷氯ィ瑢ξ襾碚f，似乎一個類有時候是，有時候又不是它自身的一個元素。例如，茶匙的類不是另一個茶匙，而是不是茶匙的東西的類。（換句話說，所有茶匙的集合不是一個茶匙；所以它不是它本身的一個元素。）看起來有很多支持這種說法的例子，例如所有類的類是一個類。應(yīng)用康托爾的主張使我考慮不是類本身的元素所組成的類，看起來這些元素應(yīng)該能組成一個類。我問自己：這個類是否是它自身的一個元素⁽³⁾。

這樣，著名的羅素悖論誕生了。看起來，誰的基礎(chǔ)它都撼動不了。但它就是有這個能力，它不僅會對數(shù)學領(lǐng)域產(chǎn)生深遠的后果（詳見第6章和第7章），而且它還引起了一場認識上的混亂，時間長達10來年。羅素為此付出了卓絕的努力。盡管為數(shù)不多的幾個同事在早期給了他支持，但他很大一部分精力都花在應(yīng)付眾多同行的批評上了。

你也許從第一段了解到，羅素喜歡數(shù)理邏輯。實際上，他通常被認為是邏輯主義運動的奠基者，這項運動現(xiàn)在還有很多擁護者，但也引起了很多異議。正如羅素所說，邏輯主義者想說明“所有的純粹數(shù)學都是從純粹的邏輯前提得出來的，并只運用可以用邏輯術(shù)語定義的概念。”⁽⁴⁾

有時候，人們認為邏輯主義在做兩方面的努力。首先，它宣稱所有的數(shù)學都可以用邏輯術(shù)語來詮釋。這樣，數(shù)學術(shù)語和符號就組成了一個邏輯術(shù)語和符號的有效子集。其次，它宣稱所有的數(shù)學證明都可以用邏輯證明來重新表達。這樣，數(shù)學定理也可以組成邏輯定理的合理子集。

通過強調(diào)純粹數(shù)學是由邏輯的步驟組成的，羅素說：“純粹數(shù)學完全是由斷言組成的，大意是如果某某命題在某種情況下為真（例如，如果p，那么q），那么另一個某某命題在那種情況下也為真。重要的是，不要去討論第一個命題是否真的正確，也不用說我們是否只是設(shè)想在某種情況下為真……這樣，數(shù)學可以定義為一門這樣的學科：在其中，我們從來都不知道，我們在談?wù)撌裁椿蛭覀冋f的是否是真的?！?sup class="calibre6">(5)

不難相信，這招致了批評。羅素在后來寫道：“在一開始，這個論題是不受歡迎的，因為在傳統(tǒng)上，邏輯是與哲學和亞里士多德聯(lián)系在一起的，所以數(shù)學家們認為這跟他們不相干，那些認為自己是邏輯學家的人也極不愿意被要求掌握一門新的有相當難度的數(shù)學技術(shù)。”⁽⁶⁾在始終如一地對他進行批評的人中，有一位就是德高望重的法國數(shù)學家朱爾斯·亨利·龐加萊?？紤]到克羅內(nèi)克于1891年死后，龐加萊已成為康托爾超限數(shù)學的主要反對者，而羅素的邏輯大廈主要就建立在康托爾集合論的基礎(chǔ)上，龐加萊對羅素的態(tài)度就不會太讓人奇怪。

羅素和龐加萊之間的一系列爭論和反擊，從1906年初一直持續(xù)到1910年羅素做出的最后答復。在這段時間，羅素正值30多歲，而龐加萊50多歲了。在那時，兩個人在他們各自的領(lǐng)域都受到了所有人的高度尊敬，因此，他們都很尊重對方。法國天文學家查爾斯·諾德曼（Charles Nordmann）在他對龐加萊的頌詞里寫道：“生活在上世紀的十幾位偉大科學家中間，他創(chuàng)造了這樣一個奇跡：在科學界，從來沒有一個對他有敵意的人?！?sup class="calibre6">(7)但在知識上的互相批評中，龐加萊和羅素彼此毫不留情。

在講述這場戰(zhàn)斗之前，讓我們簡單地回顧一下羅素和他的數(shù)理邏輯。

伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素，1872年5月18日生于威爾士的特雷克（Trelleck）。兩歲時，他失去了母親；4歲時，他失去了父親；6歲時，他失去了祖夫。他主要由祖母帶大。在18歲以前，他一直在家接受家庭教師的教育。

盡管他因為祖母的好品行（包括她對他的愛和某些積極進取的社交愛好）而熱愛并尊敬她，但在成年后，他開始感到很壓抑。如他所說：“在我到14歲后，我祖母的知識局限讓我很難受，她的清教徒道德規(guī)范也開始顯得有些過分。”⁽⁸⁾事實上，終其一生，羅素經(jīng)常發(fā)現(xiàn)自己陷入理智與情感的沖突之中。

到十幾歲時，他已經(jīng)表現(xiàn)出了優(yōu)異的智力。在他的《自傳》（Autobiography）中，羅素寫道：

在11歲時，我的哥哥（比伯特蘭大7歲）做我的導師，開始教我歐幾里得幾何。在我的一生中，這是一樁重大事件，像初戀一樣讓我激動狂喜。我從來沒想到，世界上還有這么美好的東西。在學完第五命題⁽⁹⁾后，哥哥告訴我通常人們認為它很難，但我發(fā)現(xiàn)根本就不難。第一次我突然明白我也許有些聰明。從那一刻起，直到38歲與懷特海合作完成《數(shù)學原理》，數(shù)學是我主要的興趣，也是我主要的快樂源泉。然而像其他所有的快樂一樣，它不是純粹的。有人告訴我歐幾里得幾何里的內(nèi)容都是依據(jù)于證明，但我失望地發(fā)現(xiàn)他是從公理出發(fā)的。在開始的時候，如果哥哥不能給我講清楚這樣做的理由，我就拒絕接受它們。但他說：“如果你不接受它們，我們沒法繼續(xù)學習了?！蔽蚁Ｍ^續(xù)學下去，于是我暫時不情愿地接受了它們。當時對那些數(shù)學前提的疑惑一直伴隨著我，決定了我后來所從事研究的方向⁽¹⁰⁾。

1890年，他進入劍橋大學三一學院學習數(shù)學和哲學。兩年后，他被邀加入“使徒社”（the Apostles）。這是一個人數(shù)不多、人員經(jīng)過精心挑選的團體，經(jīng)常在大學里聚會。A·N·懷特海是成員之一，他當時是一位數(shù)學講師，他將對羅素的未來有重要影響。盡管非常清楚他們在智慧上的優(yōu)越性，但使徒社的成員們?nèi)匀唤吡Σ蛔屪约禾曾Q得意。羅素把對這種活動的參與看作是“我一生中在劍橋最大的快樂”⁽¹¹⁾。實際上，他認為他從使徒社里得到的快樂遠比他的成就給他的快樂多。他寫道，導師們“在劍橋給我的樂趣是很少的”⁽¹²⁾。他接著說：他“從課堂教學里沒有什么收益”⁽¹³⁾。

對他的早期發(fā)展來說，羅素寫道：

在上劍橋之前，我就已經(jīng)對哲學感興趣了，但除了密爾（Mill）的書，我沒有讀別的。為假設(shè)數(shù)學是對的找到一些理由，是我最大的期望。密爾的《邏輯》（Logic）在這個學科上的主張給我的印象是很不完全的……除了一堆錯誤，我的數(shù)學導師從未向我說明假定微積分正確的理由……在第四學年，我讀了大部分偉大哲學家的著作，也讀了很多數(shù)學哲學上的著作。詹姆斯·沃德（James Ward，羅素在劍橋的導師）一直都給我這個學科最新的書看。每次我把它們還給他時，我都說它們寫得很糟糕。我清楚地記得他的失望和他為了讓我滿意而去找書所付出的艱辛努力。之后，我已經(jīng)成為劍橋的一名教員了，我從他那里得到兩本薄書，兩本書他都沒讀過，也不認為有什么價值。它們是格奧爾格·康托爾的《集合論》（Mannichfaltigkeitslehre）⁽¹⁴⁾和弗雷格（Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）⁽¹⁵⁾。最終，這兩本書給了我想要的依據(jù)⁽¹⁶⁾。（我們將在本章的后部分討論弗雷格?，F(xiàn)在，我們只能說《概念文字》是一本關(guān)于邏輯的書，書中論述了建立算法的形式語言。）

對康托爾的入迷使羅素對一些小領(lǐng)域產(chǎn)生了強烈的好奇心。在19世紀的最后幾年，羅素在倫敦政治經(jīng)濟學院（the London School of Economics）做講師。他后來寫道：“我常常每天走到岳父母在格羅斯菲那路（Grosvenor Road）的家去，在那里我花時間讀格奧爾格·康托爾，并把他的要點抄到一個筆記本里。在那時，我錯誤地認為他所有的主張都是錯的，但我還是把它們仔細讀了一遍，不放過每一個細微之處。這樣做是很有幫助的，后來我發(fā)現(xiàn)是我全錯了?！?sup class="calibre6">(17)

羅素在校的時候，劍橋經(jīng)歷了一場意義深遠的變革。管理層開始認為學術(shù)研究是教師工作的重要組成部分，而不僅僅是課后打發(fā)時間的業(yè)余愛好。原創(chuàng)性的研究成果可以贏得豐厚的獎學金，在1895年，羅素也因為關(guān)于幾何基礎(chǔ)的一篇論文獲得一份這樣的獎學金。這篇論文發(fā)表于1897年。

在這次成功之后，羅素開始匯集各種觀點，以對數(shù)學的基礎(chǔ)做一番綜合的整理，但這是一項頗有傾向性的工作。他的研究，主要是他與朋友們的討論，還有他的演講，研究工作使他開始思考：在少數(shù)幾個基本邏輯概念的基礎(chǔ)上創(chuàng)建數(shù)學是可能的。這就是羅素邏輯主義的開端。

數(shù)理邏輯甚至邏輯主義不是突然從伯特蘭·羅素的腦子里和筆尖蹦出來的，懂得這一點很重要，羅素也確實是這樣認為的。例如在本書的第3章，我提到過萊布尼茲一直有興趣運用符號邏輯創(chuàng)建一種思維嚴密的微積分。在以后的歲月里，很多數(shù)學家審視并探討了很多種邏輯，包括數(shù)理邏輯和數(shù)學的基礎(chǔ)，但只有兩位數(shù)學家對引導羅素發(fā)生了特別的影響。

19世紀70年代末，德國邏輯學家、數(shù)學家、哲學家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）已發(fā)現(xiàn)大部分數(shù)學都可以由很少量的邏輯陳述推導出來。1884年，他已經(jīng)發(fā)表了《算術(shù)基礎(chǔ)》（Grundlagen［Foundations］ der Arithmetik）。這本書是對算法公理化所作的早期嘗試。然而這本書在很大程度上被忽視了，唯一見諸記載的評論是我們的格奧爾格·康托爾作出的。很顯然，他并不真正理解它，而是給了它一個激烈的評論。

弗雷格相信，邏輯主義——邏輯和數(shù)學的親密結(jié)合——在理論上是可能的，他開始設(shè)計用來作為源頭和基礎(chǔ)的命題。到1902年，他已經(jīng)將他的成果匯總起來，并發(fā)表了兩卷本的《算術(shù)基礎(chǔ)》的第一卷。弗雷格正出版他的第二卷的時候，對他早期的《算術(shù)基本定律》（Grundagesetze［Basic Laws］ der Arithmetik）印象極深的羅素意識到，自己的悖論在弗雷格的公理體系中產(chǎn)生了矛盾。羅素在給弗雷格的一封信（1902年6月6日）中向他指出了這點，弗雷格極為震驚。

對弗雷格來說，由于他的這本教科書已經(jīng)印好了，對其做出任何修改都太晚了。但他加了一個附錄，以這樣令人吃驚的聲明開頭：

工作剛剛完成，其賴以維系的根基就垮掉了，對于一位科學家來說，沒有比這更郁悶的遭遇了。當我的書接近出版的尾聲時，伯特蘭·羅素先生的一封信就把我置于這樣的境地。⁽¹⁸⁾

在附錄中，弗雷格修改了那個公理，盡管他已經(jīng)在這本書的其他地方，特別是第一卷中出了問題。

歷史記載表明：在這以后，弗雷格變得非常沮喪，雖然事實上主要是出于個人甚至是政治原因。直到晚年他才從陰影里走了出來，再次開始做一些為人稱道的工作，盡管再也不是這個領(lǐng)域的工作了。1923年，他實際上得出了這樣的結(jié)論：嘗試把數(shù)學建立在邏輯的基礎(chǔ)上是誤入歧途。

具有諷刺意味的是，當1901年羅素提出他的悖論時，他已經(jīng)開始致力于對他在邏輯主義上的努力——《數(shù)學原理》（1903）——做出首次鄭重說明。雖然弗雷格輕易地放棄了從邏輯中導出數(shù)學的努力，但羅素沒有，他決定繼續(xù)下去，并發(fā)表了他的成果——仍然討論了他的悖論，但沒有給出對悖論的解答，只是在尋求解決方案方面向前邁了一步。弗雷格的第二卷也發(fā)表了，但已經(jīng)是在10年之后；他的第三卷一直都沒有完成。

但是在《數(shù)學原理》的前言中，羅素自己承認：“弗雷格教授的成果，大部分都先于我，當他的現(xiàn)有成果開始出版時，其中的大部分我都不懂。我已經(jīng)見過他的《算術(shù)基礎(chǔ)》，但是由于他的符號系統(tǒng)太難，我沒有領(lǐng)會它的重要性，也不懂它的內(nèi)容。在這么晚的時候，對他的成果做出適當回應(yīng)的唯一辦法就是給它加上一個附錄?！?sup class="calibre6">(19)換句話說，弗雷格做得很對，但他認為羅素的悖論使自己的工作沒法再繼續(xù)下去了。這給了羅素一個自由馳騁的機會，但完成這件任務(wù)絕不是一件簡單的事。

另一個諷刺是，正如羅素自己在后來所說的：“盡管他（弗雷格）做出了劃時代的發(fā)現(xiàn)，但在1903年我注意到他之前，他一直完全得不到賞識?！?sup class="calibre6">(20)

今天如果弗雷格重生，他會很驕傲，也許還會很驚詫地發(fā)現(xiàn)新弗雷格主義（neo-Fregeanism）成了現(xiàn)在的時髦。最近幾十年，數(shù)學家們對他的工作進行很認真的探究，并嘗試把它融合到當今的研究成果和應(yīng)用中去。⁽²¹⁾

羅素的目標是為數(shù)學的原理創(chuàng)建一個更全面的處理方法。他開始更堅定地相信：純粹數(shù)學能夠建立在一小部分基本的邏輯概念上，它的命題也能從為數(shù)不多的基本邏輯原理推導出來。但羅素對他的初稿不是很滿意。

1900年，他參加了在巴黎召開的國際哲學大會（the International Congress of Philosophy）。他后來寫道：這次會議“是我知識生命的一個轉(zhuǎn)折點，因為在這里我遇到了（居塞普）皮亞諾（［Giuseppi］ Peano）……在大會的討論中，我發(fā)現(xiàn)他一直都比其他任何人更精確，在他參與的辯論中，他總是能獲勝。過了一段時間，我明白這應(yīng)該是由于他精通數(shù)理邏輯。因此，我讓他把他所有的研究成果都送給我。大會一結(jié)束，我就隱退到芬赫斯特（Fernhurst，羅素的家庭所在地），安靜地琢磨他和他的弟子寫的每一個字。對我來說，很明顯他的符號為邏輯分析提供了一個工具，這正是我尋求多年的?！?sup class="calibre6">(22)例如：用□表示“隱含”或“包含”，用∈表示“屬于”。這樣，命題“實體y是集合A的一個元素”可以用y∈A來表示。結(jié)果，這樣做既簡潔又精確。用這套符號，皮亞諾成功地表述了很多定義、定理和證明。

羅素很快就領(lǐng)會了皮亞諾的想法和他這套內(nèi)涵豐富的符號系統(tǒng)，并開始在皮亞諾成果的基礎(chǔ)上重寫他的書。例如，如羅素后來所解釋的：“將所有傳統(tǒng)的純粹數(shù)學簡化為自然數(shù)理論后，邏輯分析的下一步就是把這個理論本身簡化為不多的幾套前提和未定義的術(shù)語，憑借它們能夠推導出這個理論。皮亞諾已經(jīng)完成了這個工作。他向我們表明：運用純邏輯，整個的自然數(shù)理論都可以從三個原始的觀點和五個原始的命題推導出來。因此，可以說這三個觀點和五個命題就成為整個純粹數(shù)學關(guān)注的焦點。如果能運用其他的術(shù)語定義并證明它們，那么也就可以定義和證明整個純粹數(shù)學?！?sup class="calibre6">(23)

羅素的《數(shù)學原理》將要以兩卷本的形式出現(xiàn)在世人面前。盡管羅素對這本書的初稿不是很滿意，但巴黎大會之后的幾個月里，這本書的撰寫進展得很順利。1903年面世的第一卷確實是受歡迎的杰作，提出了很多支持邏輯與數(shù)學間有密切關(guān)聯(lián)的觀點。第二卷將寫入這些觀點所需要的證明，但它一直沒有完成。結(jié)果是它演變成了鴻篇巨制的三卷本《數(shù)學原理》。這套書，他是分階段在他的好友兼同事阿爾弗萊德·諾斯·懷特海（1861—1947）合作下完成的。

這套大部頭的杰作長達兩千多頁，直到現(xiàn)在仍公認是最重要的數(shù)學著作之一。盡管人們不經(jīng)常讀它，但它突出體現(xiàn)了羅素的“數(shù)學可以從邏輯的規(guī)則中推導出來”的主旨，它也給出了一些前提，說明這些規(guī)則在數(shù)論、集合論和其他數(shù)學領(lǐng)域中如何運用。

后來，羅素發(fā)出一個挑戰(zhàn)：“如果還有人不承認邏輯和數(shù)學的一致性，我們可以挑戰(zhàn)他們，讓他們指出，在《數(shù)學原理》嚴密的定義和推導過程中，哪個地方?jīng)]有邏輯而只有數(shù)學？！”⁽²⁴⁾

《數(shù)學原理》的寫作是一項艱巨的任務(wù)。作者曾估計可能要花一年時間完成，但第一卷直到1910年才面世。從1907年開始，在接下來的3年里，羅素每年工作8個月，每天工作10小時。第一卷出版時，又一個問題產(chǎn)生了。簽約出版這套書的劍橋大學出版社沒想到這套書最終會有這么多頁，出版它有可能會導致600英鎊的虧損。出版社同意承擔一半的虧損，如果作者能夠承擔另一半的話。倫敦皇家學會為自身的榮譽著想，捐助了200英鎊，兩位作者每人分擔了50英鎊。

然而與此同時，羅素還在努力解決悖論問題。他開始懷疑這些悖論構(gòu)成了某種惡性循環(huán)，并尋求規(guī)避這個悖論的方法。開始，他曾嘗試用一種稱作類型論（the theory of types）的方法。這個方法的基本觀點是區(qū)分個體、個體的范圍、個體的范圍的范圍，依此類推。每一層次成為一個類型。他規(guī)定：如果表述“x是一個u”有意義的話，那么u肯定與x是同一層次或類型，或者比x的層次或類型高。他把這寫在他的《數(shù)學原理》的附錄里。盡管這個觀念被大家紛紛議論了很多年，但這還是第一次出現(xiàn)在書面上。然而盡管它能夠解決他的悖論，卻不能對付康托爾的，所以他還是不能真正為之高興。

有趣的是，龐加萊也曾經(jīng)用同樣的思路解決這些悖論。他認為悖論包括一個集合和它的一個元素，該元素的定義取決于作為一個單元的該集合。他稱這種定義為非直謂的（impredicative），它在概念上與羅素稱之為惡性循環(huán)的東西類似。排除這些集合就不會產(chǎn)生討厭的悖論。這確實有效，但會給數(shù)學推導過程添加一個苛刻的限制。這樣做最大的問題是：很多已確定的數(shù)學知識剛好都是建立在這種集合上的。

1905年，羅素用了一些新想法再次嘗試。這一次針對這個問題，他摸索出三個不同的方法：曲折論（the zig-zag approach），在考慮定義清楚的類時，對命題函數(shù)（propositional function）的復雜程度加以限制；限量論（limitation-of-size theory），制定規(guī)則以防止某些類過大而引起矛盾；非類論（no-classes theory），提議完全廢除類。這些方法中的每一個都成為后來研究的對象。羅素在一篇名為《關(guān)于超窮數(shù)和超窮序型理論中的一些困難》（On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Types and Order Types）的論文中提出了這些方法。1905年12月14日，他在倫敦數(shù)學學會上宣讀了這篇論文，并把它發(fā)表在1906年3月7日的《倫敦數(shù)學學會會報》（the London Mathematical Society's Proceedings）上。論文中，羅素以這樣的評論開頭：“在某些邏輯推理的思考方法幫助下，我們可以相信三個理論中的每一個都是合理的。”⁽²⁵⁾

備受推崇的法國數(shù)學家朱爾斯·亨利·龐加萊卻對這些進展冷眼旁觀。

他于1854年4月29日生于法國的南希（Nancy），比羅素大18歲。在一個專業(yè)化迅猛發(fā)展的時代，他是為數(shù)不多的涉獵廣泛的數(shù)學科學家之一。在世紀之交，他已經(jīng)在好幾個領(lǐng)域頗有建樹，包括數(shù)論、拓撲學、概率論和數(shù)學物理學的諸多領(lǐng)域。另外，他還寫了一套關(guān)于天體力學的三卷本著作，這套書直到現(xiàn)在仍很著名。他甚至在狹義相對論方面做出了開創(chuàng)性的工作，這為后來的科學哲學發(fā)展作出了重要貢獻。

他的年輕時光是在一群充滿智慧和富有成就的人中間度過的。在家里受過短期的教育后，他分別南希中學、綜合理工大學、礦業(yè)學院（the School of Mines）就讀，接著是巴黎大學，在那里，他于1879年獲得巴黎大學數(shù)學科學博士學位。他的博士論文是關(guān)于微分方程的。1881年，他成為一名講師；1886年，他成為巴黎大學的一名正教授。他一直在這里工作直到1912年去世。

當時他的視力差、身體弱、社交能力不行，使他成為被取笑和欺負的對象（在某些場合，這樣的情景我們可以想象得到），但在他年輕時學習和工作的地方，他的杰出才能都讓他在同學、同事或同行中顯得鶴立雞群。

他的學業(yè)剛結(jié)束，他取得的數(shù)學和科學成果就讓人印象深刻：他在數(shù)學物理學上出版了30多本書，在數(shù)學方面發(fā)表了近500篇論文。他還在科學哲學上寫了很多受歡迎的文章和長達三卷本的書，都被認為是這個領(lǐng)域的經(jīng)典。著名的科學史家詹姆斯·R·紐曼（James R. Newman）對龐加萊的寫作風格作了一個有趣的評論：“除了他的句子有些高盧人的風味外，他流暢、精妙的風格很像伯特蘭·羅素。”⁽²⁶⁾我們很快就能夠比較他們的作品了！

龐加萊工作方法上的某些特別之處對我們了解他有些幫助。他的工作時間很特別——從上午10點到中午，從下午5點到7點。在晚上，他讀期刊。雖然他閱讀面廣泛，但他沒有利用別人的成果來開展自己的研究思路。在他自己的研究工作中，龐加萊直接從最基本的地方入手來得出他的觀點。這種研究方法從他的早年就開始了，也說明了為什么他在綜合理工大學上所有數(shù)學課時能夠一條筆記都不做。這不是因為他能夠記住所有的東西，而是因為在他需要的時候，他就能推導出這些東西來。他的傳記作者之一E·圖盧茲（E. Toulouse）后來說，龐加萊在寫論文時經(jīng)常不做一個全局的計劃——的確，他可能不知道他怎樣結(jié)束論文，就開始提筆寫了。

到和羅素發(fā)生爭論時，龐加萊獲得過所有能夠獲得的獎?wù)潞酮劷穑€曾被選為最顯赫的科學和數(shù)學組織的成員。這些榮譽中的一個似乎給他的研究生涯帶來了轉(zhuǎn)折。1887年，他年僅32歲就被選為法國科學院的成員。這顯然使他比以往更有的興趣去與公眾打交道，他開始為更多讀者寫東西。他寫的非技術(shù)類書籍和文章總數(shù)接近100本（篇），幾乎全部都是在他選入科學院后寫的。

他在國內(nèi)國外的聲譽日隆。他經(jīng)常被邀請為大眾就數(shù)學和科學發(fā)表演講或撰寫文章，當然這對他很簡單。作為一位數(shù)學家和科學家，他是不平凡的，因為他有著異常廣泛的興趣并且都能掌握它們。他博覽群書并清楚周圍發(fā)生的一切。他還開始更多地關(guān)注自然和數(shù)學哲學的基本問題。

與克羅內(nèi)克和他同時代的其他人一樣，對于在當時生根的新數(shù)學觀念，他有一些非常明確的想法。例如他認為：沒有必要去給整數(shù)下定義或者將它們的性質(zhì)公理化；如果不能用有限的語句給一個對象作出清楚而完整的定義，我們就不能引入它。

他稱集合論是一個病例，并預測：“后人會認為（康托爾的）集合論是一場我們設(shè)法痊愈的病?！?sup class="calibre6">(27)

他認為一些數(shù)學觀點比邏輯更基礎(chǔ)，不能用邏輯術(shù)語來表述。1904年，他寫道：“運用邏輯，我們證明；利用直覺，我們創(chuàng)造?！焙髞硭暶鳎骸耙虼耍绻麤]有直覺的澆灌，邏輯還是荒漠一片?！?sup class="calibre6">(28)

考慮到他所篤信的數(shù)學理念，他傾向并主要研究應(yīng)用數(shù)學就不奇怪了。他說：“經(jīng)驗是所有真理的唯一來源。”⁽²⁹⁾雖然這最終導致他去深刻思考科學知識的基礎(chǔ)這個問題，他對具體有形事物的傾向還是根深蒂固。這樣，與視無窮為一個實在且可演算的概念的康托爾形成對比，龐加萊反對無窮集的主張。實際上他主張：“實無窮是不存在的。無論多少事物已經(jīng)存在，我們稱為無窮的東西只具有創(chuàng)造新事物的無限可能性?！?sup class="calibre6">(30)莫里斯·克萊因?qū)懙溃?/p>

（龐加萊）非常討厭嚴重依賴符號邏輯的方法，在他的《科學與方法》（Science and Method）中，他甚至對這種行為作了諷刺。（塞薩爾）布拉利-福蒂（（Cesare）Burali-Forti）在1897年的一篇文章中針對整數(shù)運用了一個這樣的方法，人們會發(fā)現(xiàn)文中用了令人暈眩的符號來定義1這個數(shù)，談到這時，龐加萊評論說，對于以前從來沒有聽說過1這個數(shù)的人來說，這是一個極好的定義，很合適讓人們了解它。⁽³¹⁾

在另一篇龐加萊的早期文章中，他發(fā)表了一個更偏激的聲明，他寫道：

邏輯有時候制造怪物。半個世紀（以來），我們已經(jīng)看到，一些怪異的方程出現(xiàn)了，它們看起來竭力要跟有些實際用途的方程盡可能地不像……以前，發(fā)明一個新的方程是為了一些實際的目的；現(xiàn)在，它們發(fā)明出來，就是為了給我們前輩的推導找茬，除此之外，我們永遠也不會從中得到什么。⁽³²⁾

因此，看到龐加萊成為倚重集合論的邏輯主義的主要反對者，我們就不會奇怪了。有一段時間在法國，羅素的邏輯主義主要反對者是法國數(shù)學家路易斯·庫蒂拉特（Louis Couturat），他在1904年和1906年發(fā)表了一些文章。龐加萊正找不到地方發(fā)泄他的情感，而這時羅素的文章發(fā)表在1906年的《倫敦數(shù)學學會會報》（Proceeding of the London）上，龐加萊決定：該作出行動了。

正是在這個時候，龐加萊決定對羅素的邏輯主義發(fā)起一個全面的批判。法國期刊《形而上學與倫理學雜志》（Revue de Metaphysique et de Morale）于1893年開始出版，它的目標是使哲學和各種科學（道德的，自然的）能相互理解。龐加萊已成為主要的投稿者之一。因此，他選擇在這里發(fā)起他的批判。在羅素的論文發(fā)表僅僅兩個月后的1906年5月，龐加萊以《數(shù)學與邏輯》（Les mathematiques et la logique）為題刊發(fā)了他的反對文章。而這篇文章只是“跳板”。

龐加萊從回溯康托爾開始他的批判。在簡短地介紹了康托爾的集合論后，龐加萊寫道：

很多數(shù)學家跟隨（康托爾的）指引……在他們的眼中，為了用真正邏輯的方法教算術(shù)，我們應(yīng)該從確定超窮基數(shù)的一般性質(zhì)入手，然后從它們中間區(qū)分出一個非常小的類，即普通整數(shù)的類。由于這條便道，我們會在證明所有與這個小類相關(guān)的命題（也就是說，我們所有的算術(shù)和代數(shù)）上取得成功，而無需運用任何與邏輯不相關(guān)的原理。

然而龐加萊主張：

這種方法顯然與任何健全的心理相悖；當然，人的智力也不是用這種方法在構(gòu)建數(shù)學中取得進展的。因此我想，它的作者該不會夢想到在中學教學中引入這種方法吧。它符合邏輯嗎？或者這樣說更好，它是對的嗎？這讓我疑惑……

他接著說：

不幸的是，他們得出了稱之為康托爾悖論（Cantorian antinomies，就是指那些悖論）的矛盾結(jié)果……這些矛盾沒有讓他們沮喪，他們努力去修正他們的規(guī)則，以便讓那些已經(jīng)不言自明的矛盾消失。盡管如此，他們還是不能確定，新出現(xiàn)的矛盾是否也是不言自明的。

該是對這些不實學問進行審判的時候了。我不奢望讓他們明白，因為他們已經(jīng)在這種氛圍中呆得太久。另外，當他們的一個例證被駁倒后，我們肯定會看到它以一種無意義的變化形式復活了，它們中的一些已經(jīng)從它們的骨灰中復活過好多次了。

然后，他說：

這樣，可以被理解為，說明一個定理，知道它是什么意思既沒有必要，也沒有什么優(yōu)勢可言。幾何學家也許會被“邏輯鋼琴”（logic piano）所替代……或者如果你愿意，可以想象一臺機器，一端輸入假定，另一端就會輸出定理，就像傳說中的芝加哥機器一樣，扔進活豬，出來的都變成火腿和香腸。除了這些機器，對于他們所要做的，數(shù)學家們不需要知道更多。

因此，從假定推導到定理的邏輯正確性不應(yīng)該是唯一讓我們投入的事。完美邏輯的規(guī)則是數(shù)學的全部嗎？這就好比說，下棋的全部美妙之處就在于移動棋子的規(guī)則。在所有能由邏輯提供的材料建立的構(gòu)造中，我們必須做出選擇。真正的幾何學家會明智地作出這種選擇，因為有可靠的直覺或模糊的意識在指引著他。我知道，這種模糊的意識不會是更深奧和更隱秘的幾何，只憑它就可以賦予這棟在建造的大廈以價值⁽³³⁾。

這里是龐加萊對于羅素嘗試解決“悖論”的幾個評論：

依據(jù)曲折論，當“定義（命題函數(shù)）很簡單時，它們決定一個類；當它們復雜和含混時，它們不能決定一個類?！爆F(xiàn)在，誰來決定一個定義是否可以被認為簡單到能被接受？如果不對完全無能為力做一個忠實的坦白的話，這個問題就沒有答案。（諷刺性地引用羅素的話）“那些讓我們認識到這些定義是否正確的規(guī)則將會極其復雜，不能用任何合理的原因來解釋它們。”……除了排除悖論以外，我還沒能找到任何其他的指導性原則。

龐加萊這樣結(jié)束這一個觀點：

因此，這個理論仍然很含混；于是，黑暗中出現(xiàn)了一線曙光——“曲折”。羅素稱之為“曲折”的這個詞毫無疑問就是使艾皮米尼地斯狡辯（the argument of Epimenides）顯得與眾不同的獨特之處。

龐加萊指的是艾皮米尼地斯的話“我在說謊”。這句話引出了一個悖論。如果他在撒謊，那么他在說真話；如果他在說真話，那么他在撒謊。

關(guān)于限量論，龐加萊爭辯說：“如果一個類范圍太廣，它將沒有理由存在下去。也許它可以是無限的，但它不應(yīng)該大得過分了。但我們經(jīng)常反復遇到同樣的難題：在哪一個點上，它才開始變得過大？當然了，這個難題還沒有解決，但羅素就接著去討論第三個理論了?！?sup class="calibre6">(34)

接著，龐加萊矛頭轉(zhuǎn)向羅素的非類論。不過首先提醒大家注意，這是羅素在《會報》上發(fā)表的論文的結(jié)尾部分，羅素已經(jīng)加了一個附錄：“通過進一步的研究，我現(xiàn)在感覺到，對于這篇論文第一部分中敘述到的所有難題，非類論都能提供一個完整的解決辦法，這幾乎是沒有什么疑問的?！?sup class="calibre6">(35)

龐加萊不是很贊成這種說法。他指責說，

在非類論中，不允許說“類”這個詞，這個詞必須用各種委婉的說法來代替。對于只談類和類的邏輯來說，這是多么大的一個改變??！重組整個邏輯變得很有必要。想象一下，在談?wù)撘粋€類問題的地方，整頁的邏輯會讓所有的命題看起來怎樣地壓抑?。吭谝豁摲ξ兜恼撌鲋?，將會只有零散的命題幸存下來。Apparent rari nantes in gurgite vasto（在一個巨大的漩渦中，只看到到處有人在游泳。）⁽³⁶⁾

在繼續(xù)談到羅素的反應(yīng)和反擊前，我最好多寫一點龐加萊的指責：

在多產(chǎn)的問題上，看起來庫蒂拉特先生有些天真的幻想。照他的說法，邏輯給了創(chuàng)造以“支柱和翅膀”。接著，在下一頁中有“10年前，皮亞諾就出版了他的《匯編》（Formulaire）”。有翅膀10年了，還沒有飛起來，怎么會這樣呢？

我對皮亞諾致以最高的敬意，他出產(chǎn)了很多杰作（例如，“空間填充曲線”這個現(xiàn)在棄用的術(shù)語）。但終歸是，他還沒有比大部分沒有翅膀的數(shù)學家走得更遠、更高、更快，也許他用他的雙腿行走會更好。

相反，在邏輯中，我只看到了束縛創(chuàng)造的鐐銬。它對簡明沒有幫助——而且差得很遠。如果在說明1是一個數(shù)時需要27個函數(shù)，那么，要證明一個實定理的時候得需要多少個函數(shù)呢？⁽³⁷⁾

為了確保龐加萊明白他的觀點，羅素在龐加萊家鄉(xiāng)的《形而上學與倫理學雜志》上做出他的回應(yīng)。在1906年9月這一期上，他這樣開頭：

我相信，龐加萊先生發(fā)表在這份期刊上的文章《數(shù)學與邏輯》（1906年5月）誤解了我關(guān)于邏輯的性質(zhì)和目的……同時，它還提出了困擾超窮集合論悖論的一個解決辦法。龐加萊先生主張，這些悖論都起源于某種惡性循環(huán)，在這一點上，我同意他的說法。但他沒有意識到避免這種惡性循環(huán)的難度。我應(yīng)該努力說明，如果要避開它，像我的“非類論”之類的東西似乎是必需的。的確，正是為了這個目的，我發(fā)明了這個理論。⁽³⁸⁾

接下來是大約20頁的解釋，其中還包括對龐加萊的指責的其他回復。

一個特別有趣的例子是他對龐加萊輕視皮亞諾的回復。羅素回應(yīng)說：

對于龐加萊先生對皮亞諾先生的評價，我必須滿懷謙恭地斗膽提出與他不同的一點意見。（接下來羅素復述了龐加萊的指責——他還沒有比……沒有翅膀的數(shù)學家走得……，也許他用他的雙腿行走會更好。）

現(xiàn)在，我要向龐加萊先生表明，這只是說明皮亞諾先生的工作沒有引起他的興趣的一種表述方法。皮亞諾先生已經(jīng)鍛造出一個對某些研究來說具有巨大力量的工具。我們中的一些人對這些研究感興趣，從而對皮亞諾先生充滿敬意。我們認為，他正如我們中的這些人所敬重的那樣，比那些忽視他的“無翅膀”的數(shù)學家走得遠和快得多。⁽³⁹⁾

對于龐加萊對羅素非類論的評價，羅素這樣回答：

如果龐加萊先生能夠拋棄對邏輯與數(shù)學任何其他門類都截然不同的信念，他也會意識到：在倡議不把類當作獨立的實體上，我不是在倡議做出一個改變，以使它對于“重組所有邏輯”將是必須的；我也不希望禁止人們“說‘類’這個詞”，就像哥白尼希望禁止人們說日出一樣。

換句話說，龐加萊的問題只是他不了解羅素在做什么。羅素寫道：

也許，一個類比會讓大家明白，這個改變根本就不是那么大?，F(xiàn)在廣為接受的無窮小量微積分學，既不運用無窮小，也不以它為前提。但是這在多大的程度上改變了無窮小量微積分的面貌？幾乎沒有。某些證明被重寫，某些困擾18世紀數(shù)學家的悖論已經(jīng)解決了；否則微積分的規(guī)則會幾乎沒有改變。⁽⁴⁰⁾

羅素總結(jié)道：

龐加萊先生告訴我們，“邏輯中更清楚的觀念”不是我們需要的，但他沒有向我們揭示他做出這個重要發(fā)現(xiàn)的過程。對我來說，我只能想，他對避免惡性循環(huán)的嘗試說明了那些輕視邏輯的人的命運。⁽⁴¹⁾

在又一次的反擊中，龐加萊寫道：

不存在……實無窮?？低袪栔髁x者已經(jīng)忘了這個，并且他們已陷入矛盾中。的確，康托爾主義有用，但這是在運用到一個術(shù)語被精確定義的實際問題時……

像康托爾主義者一樣，邏輯主義者也會忘了它，并遭遇同樣的困境。

后來他又說：

羅素察覺到了這種危險，并聽取了勸告。他想改變一切，而且很容易理解的是，他不光在準備引進新的原理，這些原理的應(yīng)用在以前是禁止的；他還在準備禁止一些他以前認為合理的應(yīng)用。他已燒毀的他又重拾起來，他喜愛過的他又打算燒毀，而這種傾向更嚴重。他不給大廈加上一個新翼，反而掏空它的根基。⁽⁴²⁾

羅素在一篇新的論文中做出了回應(yīng)，題目為《以類型論為基礎(chǔ)的數(shù)理邏輯》（Mathematical Logic As Based on the Theory of Types），發(fā)表在1908年的《美國數(shù)學雜志》（American Journal of Mathematics）⁽⁴³⁾上。在文中，他提出一個新的類型論。1909年，龐加萊在《形而上學與倫理學雜志》上發(fā)表名為《無窮的邏輯》（La logique de l'infini）的文章做出回應(yīng)。文中，他給出了解決困擾邏輯悖論的方法，事后表明這是他在這上面最后的建議⁽⁴⁴⁾。

1. 只考慮能用有限語句定義的對象；

2. 永遠不要忘了，每一個關(guān)于無窮的命題肯定是一個關(guān)于有限的、轉(zhuǎn)化了的、有所刪改的陳述。

3. 避免不肯定的定義和分類⁽⁴⁵⁾。

對于有限與無窮的區(qū)別，龐加萊在他1909年的文章中說：

羅素先生將會毫無疑問地告訴我，它們沒有心理學上的區(qū)分，只有邏輯和認識論上的區(qū)分。我不得不被迫做出回應(yīng)：沒有獨立于心理學的邏輯和認識論。這段信念的表白大概會結(jié)束這場討論，既然它將展示我們觀點上無法調(diào)和的分歧。⁽⁴⁶⁾

然而對羅素來說，這場爭論還沒有完。1910年5月，他再次在龐加萊家鄉(xiāng)的刊物《形而上學與倫理學雜志》上發(fā)表名為《邏輯類型的理論》（La theorie des types logiques），以做出回應(yīng)。這時《數(shù)學原理》的第一卷即將面世了。在它的緒論中，與這篇最新的文章一樣，他提出了他在邏輯論上最新的想法。

在文章中，他再次討論起幾個主題，包括他對“要避免的悖論都起源于某種惡性循環(huán)”的贊同。在文中，他還加上了一些關(guān)于類的最新的權(quán)威性研究⁽⁴⁷⁾。

接著，他對他早期的研究做了拓展。在這篇文章的后面，他再次解釋了他的類型論。⁽⁴⁸⁾在更后面他寫道：“龐加萊先生的文章《無窮的邏輯》（La logique de l'infini）中有一點需要做點解釋。他（龐加萊）斷言（第469頁）：‘除非我們假定序數(shù)論已經(jīng)成立，否則類型論依然是不能理解的’。這個斷言對于我（羅素）來說，似乎存在著某種混亂?！?sup class="calibre6">(49)——這是羅素繼續(xù)要竭力消除的。

這種交流還會繼續(xù)下去嗎？也許會——但是命運不允許。在這之后不久，龐加萊因為前列腺問題生病了。他在一個療養(yǎng)院接受了一個手術(shù)，看起來他恢復得很好，但卻出現(xiàn)了并發(fā)癥。1912年7月12日，他去世了。

龐加萊（和其他人）的反對，對羅素和他在邏輯主義上的觀點有什么影響？1938年，在他1903年的《數(shù)學原理》的再版中，我們可以找到一個相當清楚的畫面。可喜的是，他決定“這本書現(xiàn)在所具有的興趣是歷史上的，它存在于這樣一個事實中：它代表了在它這個科目發(fā)展中的某個階段。因此，我沒有改變?nèi)魏螙|西，但在這篇前言中，我應(yīng)該盡力說明白：在哪些方面，我堅持它表達的觀點；在另外哪些方面，對于我來說，后續(xù)的研究似乎表明它們是錯的?！?/p>

總而言之，他告訴我們：“下文關(guān)于數(shù)學和邏輯是同一的基本論題，我從來沒有看到有任何理由要去修改它?！?sup class="calibre6">(50)（就是說，從1903年到1938年。）然而看起來有些東西一直讓人困惑，包括邏輯本身的定義，“因此，定義邏輯或數(shù)學決不簡單，除非運用一些給定的前提”⁽⁵¹⁾。

他也提到了龐加萊。即使在1938年，這時龐加萊已經(jīng)去世26年了，羅素仍然認為有必要去療救因龐加萊著名的評論所造成的傷痛。他寫道：

我還是回到悖論的問題和類型理論。亨利·龐加萊認為數(shù)理邏輯對發(fā)現(xiàn)沒有幫助，因而鉆研它是白費工夫，并且他還對悖論的出現(xiàn)感到欣喜，“La logistique n'est plus sterile；elle engendre las contradiction！”然而，以前被所有邏輯學家接受的前提會引出悖論，數(shù)理邏輯所要做的就是讓這些悖論變得明顯，不管數(shù)學有多么無辜。這些悖論不一定都是新近出現(xiàn)的，有一些可以回溯到古希臘時代。⁽⁵²⁾

但羅素不至于蠢到認為他的邏輯主義理論這些年一點變化都沒有。他在前言的后面承認：

在數(shù)理邏輯中，還是有很多有爭議的問題，它們……我不打算去解決它們。我只一次提到過關(guān)于這些悖論的問題，但在我看來，自從我寫《數(shù)學原理》（1900—1903）以來，（數(shù)理邏輯）已經(jīng)有了非常明確的進步……對我來說，在這中間的34年，我們所需要的哲學上的變化似乎部分歸功于數(shù)理邏輯在技術(shù)上的進步。⁽⁵³⁾

當然有變化。正如克萊因指出的：“盡管在《數(shù)學原理》的第一卷中，羅素和懷特海毫不猶豫地引進無窮公理和選擇公理，但他們在后來確實放棄了這種做法。他們不僅承認邏輯的基本定律不是絕對的真理，而且承認這兩個公理不是邏輯的公理。在《數(shù)學原理》的第二版中，這兩個公理沒有出現(xiàn)在書開頭的列表中，在需要它們證明某些定理時，對它們的應(yīng)用也作了特別說明?！?sup class="calibre6">(54)

實際上在后來的這些年，比起他更加樂觀的早年，羅素不再對他的觀點抱有終極成功的自信了。在他1938年《數(shù)學原理》的前言中，他已經(jīng)沒有那樣說了，這要部分地歸因于1931年哥德爾對一致性與完備性不相容的證明。（詳見第7章）這樣做會導致邏輯主義前景黯淡，就像它在早年聞名遐邇一樣。

但是正如羅素所說，一般而言，值得懷疑的原因“有兩個相反的方面：首先，在數(shù)理邏輯中有某些沒有解決的難題，這使它看起來沒有人們心目中的數(shù)學那樣確定；其次，如果數(shù)學的邏輯基礎(chǔ)是能夠接受的，那么它能證明（或有助于證明）很多東西，比如格奧爾格的理論——由于一些沒有解決的悖論（邏輯中也有這些悖論），很多數(shù)學家都對它表示懷疑。這兩種相反的批評有兩類代表：希爾伯特領(lǐng)導的形式主義和（魯伊茲）布勞威爾領(lǐng)導的直覺主義”⁽⁵⁵⁾。

在下一章中，我們將討論這兩個數(shù)學思想的學派，它們與邏輯主義的聯(lián)系以及在20世紀早期困擾數(shù)學的信心危機中所扮演的角色。

現(xiàn)在，圍繞羅素邏輯主義的爭議可能和以前一樣多。例如，圣母大學（the University of Notre Dame）的邁克爾·迪特弗森（Michael Detlefsen）說：“對于龐加萊的康德哲學觀點，羅素所謂的駁斥是不對的?！彼鲝垼骸白詈笪覀儼l(fā)現(xiàn)，邏輯學家所聲稱的數(shù)學推理能夠‘邏輯化’以及可以嚴格地完善都是站不住腳的?！?sup class="calibre6">(56)一些研究者認為，邏輯主義依然太讓人困惑，也太虛弱，以致不堪大用⁽⁵⁷⁾。但有其他人相信，經(jīng)過適當?shù)母倪M，它仍然將是一個有用的方法⁽⁵⁸⁾。

但是通過這種或那種方式，從羅素的那個時代直到現(xiàn)在，羅素的邏輯主義帶動了如此眾多領(lǐng)域的發(fā)展，如哲學、數(shù)學、語言學、經(jīng)濟學；特別是今天日新月異發(fā)展的計算機科學，更要歸功于它⁽⁵⁹⁾。

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(1) 羅素，1959年，第76—77頁。

(2) 羅素的術(shù)語“類”和現(xiàn)在用的“集合”具有同樣的意思。

(3) 羅素，1959年，第75—76頁。

(4) 羅素，1959年，第74頁。

(5) 羅素，《神秘主義與邏輯》，1918年（？），第70 —71頁。

(6) 羅素，1938年，第v頁。

(7) 諾德曼，瓊斯文集，1966年，第619頁。

(8) 羅素，1967年，第17—18頁。

(9) 在等腰三角形中，兩個底角相等。如果將兩腰延長相同長度，所產(chǎn)生的兩底角也相等。

(10) 羅素，1967年，第37—38頁。

(11) 莫哈德（Moorhead），1992年，第42頁。

(12) 羅素，1967年，第87頁。

(13) 同上書，第90頁。

(14) 《一個集合常用理論的基礎(chǔ)》（Grundlagen Einer Allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre），1883年。

(15) 這本書的英文名是《Concept Notation》。概略來說，它是弗雷格在邏輯方面出版的第一本書（1879年）。

(16) 羅素，1967年，第91頁。

(17) 羅素，1967年，第187頁。

(18) 克萊因，1972年，第1192頁。

(19) 羅素，1938年，第xvi頁。

(20) 奧康納和羅伯特森，2002年，在線查得。

(21) 參見：如基切爾（Kitcher）和阿斯普雷（Aspray），“一個武斷的介紹”，阿斯普雷和基切爾文集，第14—16頁。

(22) 羅素，1967年，第217—218頁。

(23) 羅素，1919年，第5頁。

(24) 伯頓，1991年，第655頁。

(25) 羅素，1973年，第145頁。

(26) 紐曼，1956年，第1377頁。

(27) 克萊因，1972年，第1003頁。

(28) 奧康納和羅伯特森，2003年，第5頁。

(29) 引自：諾德曼，瓊斯文集，1966年，第619頁。

(30) 克萊因，1980年，第233頁。

(31) 同上。

(32) 龐加萊，1906年，龐加萊文集，1946年，第435頁。

(33) 龐加萊，1906年，龐加萊文集，1946年，第449、451、452頁。

(34) 龐加萊，1906年，龐加萊文集，1946年，第479—480頁。

(35) 羅素，1906年，羅素文集，1973年，第164頁。

(36) 龐加萊，1906年，龐加萊文集，1946年，第480頁。這句話源于維吉爾的《埃涅阿斯紀》（Aeneid）（I. 118）。它描述了在一次風暴中，埃涅阿斯的船在伽太基（Carthage）近海遭遇的一場由海王引起的海難。

(37) 龐加萊，1906年，龐加萊文集，1946年，第472頁。

(38) 羅素，1906年，羅素文集，1973年，第191頁。

(39) 同上。

(40) 羅素，1906年，羅素文集，1973年，第192頁。

(41) 同上書，第213—214頁。

(42) 龐加萊，1906年，龐加萊文集，1946年，第484、485頁。

(43) 參見：羅素，1908年。

(44) 參見：《羅素文集》編者概要，1973年，第133頁。

(45) 在早些時候，羅素把肯定作為定義類的性質(zhì)。1906年，龐加萊提出只有某些性質(zhì)不包含惡性循環(huán)時，它們才是肯定的。后來，龐加萊和羅素都定義肯定的意義為不包含惡性循環(huán)。

(46) 戈德法布（Goldfarb），1988年，第79頁。

(47) 羅素，1910年，《羅素文集》，1973年，第215頁。

(48) 同上書，第244—250頁。

(49) 同上書，第252頁。

(50) 羅素，1938年，第v頁。

(51) 同上書，第xii頁。

(52) 同上書，第xii—xiii頁。

(53) 羅素，1938年，第xiv頁。

(54) 克萊因，1980年，第311頁。

(55) 羅素，1938年，第v頁。

(56) 迪特弗森，1993年，第49頁和28頁。

(57) 參見：如范·埃夫拉（Van Evra），2003年，第387頁。

(58) 參見：如蘭貝克（Lambek），1994年；林德斯基（Linsky）和薩爾塔（Zalta），2004年。

(59) 參見：如蘭貝克，1994年，第59頁；布羅德本特（Broadbent），第15頁；西蒙尼斯（Simonis），1999年，第172—173頁；克萊因，1972年，第1197頁。