【本節(jié)解讀】

圖形的翻折，是圖形運(yùn)動的又一種基本形式．廣泛應(yīng)用于我們的日常生活，它是我們認(rèn)識物體的形狀和位置關(guān)系的必要手段，而且也是我們解決現(xiàn)實(shí)生活中的具體問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要工具與平移和旋轉(zhuǎn)一樣是“空間與圖形”領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容．在本節(jié)中我們主要探究軸對稱圖形和圖形關(guān)于軸對稱．

【基礎(chǔ)知識詳解及要點(diǎn)點(diǎn)撥】

1．把一個(gè)圖形沿某一條直線翻折過來，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形．這條直線就是它的對稱軸．

2．軸對稱圖形是對一個(gè)圖形來說的，是指一個(gè)圖形的兩個(gè)部分之間的關(guān)系．軸對稱圖形的對稱軸在一個(gè)圖形上．

3．簡單的軸對稱圖形：

（1）線段：對稱軸是線段的垂直平分線所在的直線．

（2）角：對稱軸是角的平分線所在的直線．

4．畫對稱軸：如果一個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對稱，那么聯(lián)結(jié)對稱點(diǎn)的線段垂直平分線就是該圖的對稱軸．

【典型例題精講與規(guī)律、方法、技巧總結(jié)】

例1　從軸對稱的角度看，圖11-27中哪些圖形與其他圖形不一樣．

圖11-27

解題策略：“從軸對稱角度”要抓住“軸對稱圖形”和“對稱軸”這兩個(gè)要點(diǎn)．

解：④不是軸對稱圖形，其余都是軸對稱圖形，但⑤的對稱軸有無數(shù)條．①②都只有兩條對稱軸．

例2　如圖11-28所示，把一正方形對折三次后沿虛線剪下，則所得的圖形是（　?。?/p>

圖11-28

解題策略：在解答圖形折疊問題時(shí)，一般先作出折疊前后的圖形形狀及位置，然后利用軸對稱變換的性質(zhì)解題．

解：選C．

例3　如圖11-29所示的四個(gè)圖形中的軸對稱圖形是（　?。?/p>

圖11-29

解題策略：本題主要考查軸對稱圖形的折疊思想．①、③無論怎樣折疊兩部分總不能重合．

解：②④．

【知識聯(lián)系與拓展】

例4　如圖11-30所示，∠1＝∠2，若∠3＝40°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)必須保證∠1為（　?。?/p>

A．40°

B．60°

C．80°

D．50°

圖11-30

分析：由對稱性知，要掌握白球擊中白球必須使∠1＝∠2，∠2＋∠3＝90°，所以∠2＝50°，即∠1＝50°．

解：選D．

例5　紙上畫出4個(gè)點(diǎn)，任意3個(gè)點(diǎn)組成的三角形都是等腰三角形，問這4個(gè)點(diǎn)該怎么放？畫出你認(rèn)為可能的幾種情況．

分析：任意3點(diǎn)組成等腰三角形，說明這4點(diǎn)中，任意3點(diǎn)不共線，且組成的三角形是軸對稱圖形．因此要求這4個(gè)點(diǎn)組成的圖形是軸對稱圖形．

解：如圖11-31所示．

圖11-31

【基礎(chǔ)知識詳解及要點(diǎn)點(diǎn)撥】

1．如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線．

2．兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對稱，如果它們對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上．

3．如果一個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對稱，那么聯(lián)結(jié)對稱點(diǎn)的線段垂直平分線就是該圖的對稱軸．

4．畫軸對稱圖形：畫出圖形中的特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)，角的頂點(diǎn)）的對稱點(diǎn)，然后聯(lián)結(jié)對稱點(diǎn)，就可以畫出關(guān)于這條直線的對稱圖形．

5．軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系：軸對稱圖形研究的是一個(gè)圖形左右兩個(gè)部分的關(guān)系，而軸對稱研究的是兩個(gè)圖形的關(guān)系．如果把一個(gè)軸對稱圖形左右兩個(gè)部分看作是兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線軸對稱；把兩個(gè)關(guān)于某條直線軸對稱的圖形看作是一個(gè)整體，那么這個(gè)圖形是軸對稱圖形．

【典型例題精講與規(guī)律、方法、技巧總結(jié)】

例1　如圖11-32所示，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對稱，畫出這條直線．

圖11-32

解題策略：只要聯(lián)結(jié)A、B兩點(diǎn)，畫出線段AB的垂直平分線，就可以得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對稱軸．

例2　如圖11-33所示，已知△ABC和直線l，作出△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形．

圖11-33

解題策略：△ABC可以由三個(gè)頂點(diǎn)的位置確定，只要能分別作出這三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，聯(lián)結(jié)這些對稱點(diǎn)，就能得到要作的圖形．

例3　如圖11-34所示，實(shí)線構(gòu)成的圖形為已知圖形，虛線為對稱軸．請畫出已知圖形的軸對稱圖形．

圖11-34

解題策略：此題關(guān)鍵還是作出實(shí)線部分關(guān)于虛線的軸對稱圖形，只是在這里直接根據(jù)點(diǎn)格來作．

【知識聯(lián)系與拓展】

例4　如圖11-35所示，四邊形ABCD，直線l，畫出四邊形A′B′C′D′關(guān)于直線l對稱的圖形．

圖11-35

分析：畫某圖形的對稱圖形時(shí)，只要畫出圖形中的對稱點(diǎn)，然后聯(lián)結(jié)對稱點(diǎn)即可．

例5　如圖11-36所示，畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A₁B₁C₁和關(guān)于O點(diǎn)對稱的圖形△A₂B₂C₂．

圖11-36

分析：只要先找到已知圖形中的對應(yīng)點(diǎn)，描出并聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)即可得到相對應(yīng)的圖形．