三、數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)原理的表征

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維操作的基本單位，概念所指對(duì)象的特征性質(zhì)就形成了數(shù)學(xué)事實(shí)，而建立概念之間的因果關(guān)系就形成了各種數(shù)學(xué)原理（公理、定理、法則、公式）。所以數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)原理是對(duì)數(shù)學(xué)概念的心理加工，數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)原理是建立在概念體系上的高一層抽象程度的操作對(duì)象。同時(shí)，數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)原理又是解決問題的基本工具，概括概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)原理以及應(yīng)用數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)原理解決問題的過程中又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法，所以數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)原理在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的操作對(duì)象中起到承上啟下的作用。個(gè)體的數(shù)學(xué)思維操作的層級(jí)關(guān)系可以用以下的模型來刻畫：

圖4－3－1

數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)原理是對(duì)概念特征的一種描述，這種描述是對(duì)概念對(duì)象的模型結(jié)構(gòu)的特征捆綁，因此數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)原理是以對(duì)象模型的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的意象為中心的概念特征的捆綁與語言符號(hào)注釋。

例如，對(duì)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個(gè)事實(shí)的理解方式，在九年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行調(diào)查的結(jié)果是：有50%的學(xué)生以如圖4－3－2的“圖形分化＋特征描述”的方式進(jìn)行表征；20%的學(xué)生用圖4－3－3的命題形式進(jìn)行表征；10%的學(xué)生用如圖4－3－4的矩形的圖形特征描述進(jìn)行表征（教材中該命題的產(chǎn)生背景）；還有20%的學(xué)生用綜合方式表征這一數(shù)學(xué)原理（用圖4－3－3的命題檢索方式搜索定理的內(nèi)容，用圖4－3－2的方式標(biāo)記定理，還有的學(xué)生用圖4－3－4與平行四邊形的動(dòng)態(tài)變化來表征定理與逆定理，并與圓中的圓周角與半徑關(guān)系來描述定理與逆定理）。

通過對(duì)這些學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行追溯，發(fā)現(xiàn)用綜合表征方式表征的學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)明顯優(yōu)于用單一表征形式的學(xué)生（p＝0．01水平上差異顯著）。

數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)原理的表征方式具有多樣化的特征；采用以對(duì)象模型的意象為中心的，進(jìn)行概念與特征的捆綁方式，并建立與其它對(duì)象建立聯(lián)系的多樣化和綜合的表征方式是比較理想的表征方式。