魔法是一種足夠先進(jìn)的技術(shù)。

———亞瑟 ·C.克拉克 (ArthurC.Clarke)

1954年6月10日,一種新的幾何學(xué)誕生了。

喬治 ·波恩哈德 ·黎曼引進(jìn)了高維理論。他在德國(guó)哥廷根大學(xué)的著名的演講中 ,面對(duì)大學(xué)的教師們對(duì)他的高維理論作了詳細(xì)的解釋。像打開一間發(fā)霉的、黑暗的房間 ,放入溫暖的、燦爛的夏季陽(yáng)光一樣 ,黎曼的演講一下子就嫻熟地把高維空間的耀眼的性質(zhì)展示在世人面前。

他非常重要的和異常優(yōu)雅的論文《論幾何基礎(chǔ)的假說》顛覆了 2000年來(lái)成功地戰(zhàn)勝了懷疑論者所有攻擊的經(jīng)典希臘幾何的支柱。舊的歐幾里得幾何所有的圖像都是二維或三維的。這個(gè)理論轟然倒下 ,新的黎曼幾何在它的廢墟上崛起。黎曼革命對(duì)藝術(shù)和科學(xué)的未來(lái)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。在他的演講之后的 30年間 ,“神秘的四維 ”在歐洲影響了藝術(shù)、哲學(xué)和文學(xué)的發(fā)展。在它演講之后的 60年,愛因斯坦利用四維黎曼幾何解釋宇宙的由來(lái)及其演化。在他演講之后的 130年,物理學(xué)家利用十維幾何試圖統(tǒng)一物理宇宙的所有定律。黎曼工作的核心是 ,他認(rèn)識(shí)到在高維空間中物理法則將被簡(jiǎn)化 ,這正是本書的主題。

窮困中的輝煌

具有諷刺意味的是 ,黎曼一點(diǎn)也不像能在數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域開創(chuàng)如此深刻和徹底革命的人。他非常害羞,幾乎有點(diǎn)神經(jīng)質(zhì),他遭受著經(jīng)常性的精神衰弱帶來(lái)的痛苦。他還得了兩種伴生的疾病:貧窮和肺病 (結(jié)核)。事實(shí)上,整個(gè)歷史長(zhǎng)河中,世界上的許多偉大科學(xué)家都遭受著這兩種疾患的困擾。從他的性格和氣質(zhì)中看不出他作品中所表現(xiàn)出的驚人大膽、果斷和非凡的自信。

黎曼1826年出生于德國(guó)漢諾威,他是一個(gè)貧窮的路德派牧師的兒子,在家里的六個(gè)孩子中他排行老二。他的父親,曾在拿破侖戰(zhàn)爭(zhēng)中作戰(zhàn),作為一個(gè)鄉(xiāng)村牧師掙扎著供養(yǎng)他的大家庭。正如傳記作者 E.T.貝爾 (E.T.Bel)指出,“黎曼家的大多數(shù)孩子出現(xiàn)身體脆弱并夭亡是年輕時(shí)營(yíng)養(yǎng)不良的結(jié)果,而并不是由于他們的耐力差。在孩子長(zhǎng)大之前,他的母親也死了?！?/p>

在很早的時(shí)候,黎曼就展示了他著名的特質(zhì):超凡的計(jì)算能力、個(gè)性膽怯,終身對(duì)公眾場(chǎng)合演講感到恐懼。他很害羞,總是被別的男孩當(dāng)作笑柄,這使他進(jìn)一步沉浸在他的私人的數(shù)學(xué)世界中。

他對(duì)自己的家庭高度忠誠(chéng)。盡管自己健康狀況不佳且伴有肺病,但他依然盡力為他的父母特別是他心愛的妹妹買禮物。為了取悅父親,黎曼決心成為一名神學(xué)學(xué)生。他的目標(biāo)是盡快拿到牧師的報(bào)酬,以資助他的家庭。(很難想象這樣一個(gè)口吃的膽小的年輕人能夠做激烈的、熱情的演講 ———反對(duì)罪惡、驅(qū)逐魔鬼。)在高中,他努力學(xué)習(xí)《圣經(jīng)》,但他的思想總會(huì)飄回到數(shù)學(xué)上。他甚至試圖提出 “創(chuàng)世紀(jì)”正確的數(shù)學(xué)證據(jù)。他學(xué)習(xí)進(jìn)步很快,以至于他很快超越了他老師所掌握的知識(shí)。他的老師們很快發(fā)現(xiàn),他們已跟不上這個(gè)男孩的節(jié)奏。最后,這個(gè)學(xué)校的校長(zhǎng)給了黎曼一本厚重的書讓他看,讓他無(wú)暇做別的事情。這本書是阿德里安 -瑪麗 ·勒讓德 (Adrien-Marie Legendre)的《數(shù)論》,這是一本擁有 859頁(yè)的巨作,也是一本關(guān)于 “數(shù)論”這一難題的世界最高級(jí)的著作。黎曼用了6天時(shí)間就把它讀完了。

當(dāng)校長(zhǎng)問他 “你讀了多少了?”年輕的黎曼回答說,“這是一本奇妙的書,我已掌握了它。”這個(gè)校長(zhǎng)并不相信年輕人的回答,幾個(gè)月后,他問了黎曼這本書中的一個(gè)模糊的問題,黎曼做了完美的回答。^[1]

黎曼的父親每天為將食品放在餐桌上而掙扎,但他依然湊足了足夠的費(fèi)用送他19歲的兒子去聞名的哥廷根大學(xué)上學(xué)。在這里,黎曼首次遇到被稱為 “數(shù)學(xué)王子”的卡爾·弗里德里?！じ咚?(CarlFriedrichGaus)。高 斯是人類歷史上最偉大的科學(xué)家之一。即使今天 ,如果你要對(duì)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家排名 ,阿基米德、艾薩克 ·牛頓、卡爾 ·高斯的名字將永無(wú)變化地出現(xiàn)。

然而 ,黎曼的一生遇到無(wú)數(shù)的挫折和艱難 ,總是被極大的困難和脆弱的健康所壓倒。他的每一次勝利后都伴隨著不幸與失敗。例如 ,他的運(yùn)氣剛剛好轉(zhuǎn) ,開始在高斯手下學(xué)習(xí) ,而一場(chǎng)大規(guī)模的革命就席卷德國(guó)。在非人道的狀態(tài)下 ,受苦受難的工人階級(jí)開始反對(duì)政府 ,全德國(guó)很多城市的工人拿起了武器。1848年早期的游行示威和起義鼓舞了另一位德國(guó)人卡爾 ·馬克思 (KarlMarx)寫出了他的著作 ,深深地影響了后 50年整個(gè)歐洲的革命運(yùn)動(dòng)。

隨著整個(gè)德國(guó)陷入混亂 ,黎曼的研究被迫中斷了。他被選中參加了學(xué)生軍 ,在那里 ,他花費(fèi)了令人生厭的 16個(gè)小時(shí)保護(hù)了一位甚至比他還要膽小的人 ———國(guó)王 ,從而得到了一個(gè)值得懷疑的榮譽(yù)。當(dāng)時(shí)國(guó)王正在柏林的王宮里害怕得發(fā)抖 ,企圖躲過工人階級(jí)的憤怒。

超越歐幾里得幾何

如同德國(guó)的革命 ,當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界也正被一場(chǎng)強(qiáng)勁的革命之風(fēng)席卷。吸引黎曼興趣的是另一個(gè)權(quán)威的堡壘 ,歐幾里得幾何即將崩潰。歐幾里得幾何認(rèn)為空間是三維的。此外 ,這個(gè)三維空間是 “平的 ”(在平的空間中 ,最短距離是兩點(diǎn)之間的直線距離 ;這忽略了空間是彎曲的可能性 ,如在球體上)。

事實(shí)上 ,歐幾里得的《幾何原本》 (簡(jiǎn)稱《原本》)可能是在《圣經(jīng)》之后的所有時(shí)代最具影響力的書。2000年來(lái) ,西方文明最敏銳的頭腦都在驚嘆它的優(yōu)雅和它的幾何之美。成千上萬(wàn)歐洲最好的教堂是根據(jù)它的原則建立的。回想起來(lái) ,也許它太成功了。幾個(gè)世紀(jì)以來(lái) ,它成為了一種宗教,任何敢于提出彎曲空間或更高維度的人都將被視為瘋子或異教徒。無(wú)數(shù)代的學(xué)童學(xué)習(xí)歐幾里得的幾何定理 :圓的周長(zhǎng)等于它的直徑乘以 π、一個(gè)三角形的內(nèi)角之和為 180度。然而 ,盡管盡了最大努力 ,幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)的最精妙的數(shù)學(xué)家頭腦仍不能證明這些貌似簡(jiǎn)單的命題。事實(shí)上 ,歐洲的數(shù)學(xué)家們開始慢慢意識(shí)到 ,人們持續(xù)不變地敬仰了 2300年的歐幾里得的 《原本》依然存在不完整的地方。如果人們只局限在平面內(nèi),歐幾里得幾何一定是可行的;但如果放眼到曲面世界,歐幾里得幾何就難以通行了。

對(duì)黎曼來(lái)說,歐幾里得幾何不足以表現(xiàn)世界的豐富多樣性。在自然的世界中,沒有地方能看到歐幾里得理想的平面的幾何圖形。山脈、海洋波浪、云、漩渦,它們都是非完美的圓、三角形、矩形。它們都是無(wú)限多樣性彎曲和扭曲的物體。

革命的時(shí)機(jī)成熟了,但誰(shuí)會(huì)引導(dǎo)這個(gè)革命呢?用什么替換舊的幾何呢?

黎曼幾何的崛起

黎曼反叛表面上精確的希臘幾何。他發(fā)現(xiàn),這個(gè)幾何的基礎(chǔ)是建立在常識(shí)和直觀感覺的移動(dòng)的沙子上,而并非建立在堅(jiān)固的邏輯基礎(chǔ)上。

歐幾里得認(rèn)為,“顯而易見的,點(diǎn)沒有維度;線是一維的,即長(zhǎng)度;面是二維的,即長(zhǎng)度和寬度;固體是三維的,即長(zhǎng)度、寬度和高度。到此為止,沒有物體是四維的。”這些觀點(diǎn)得到哲學(xué)家亞里士多德的附和,亞里士多德是第一個(gè)詳細(xì)陳述不可能存在第四空間維的人。他在《論天》中寫道,“線在一維有大小,平面在兩維有大小,固體在三維有大小,此外沒有其他的量,因?yàn)槿褪且磺??！贝送?在公元150年,亞歷山大的天文學(xué)家托勒密比亞里士多德走得更遠(yuǎn),他在他的《論距離》一書中,給出第一個(gè)巧妙的 “證據(jù)”認(rèn)為第四維是不可能存在的。

托勒密說,首先畫三條相互垂直的線。例如,立方體的角由三條相互垂直的線組成。然后,他爭(zhēng)辯說,嘗試畫第四條線并垂直于其他三條線。他推理說,不管如何嘗試也無(wú)法畫出。托勒密聲稱,第四條垂直線是 “無(wú)法測(cè)量且沒有定義的”。因此第四維度是不可能的。

托勒密實(shí)際證明的是,用我們的三維大腦不能將第四維直觀化。(事實(shí)上,我們今天知道,數(shù)學(xué)中的許多對(duì)象不能可視化,但它們依然可以得到證明是存在的。)托勒密可能會(huì)遺臭萬(wàn)年,他反對(duì)科學(xué)上兩個(gè)偉大的思想:以太陽(yáng)為中心的太陽(yáng)系和第四維。

事實(shí)上,幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)一些數(shù)學(xué)家走了另外一條譴責(zé)第四維度的路。 1685年,數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯 (John Walis)反對(duì)這個(gè)概念,稱它為 “自 然界的怪物 ”。他認(rèn)為 “第四維度比喀邁拉 (獅頭、羊身、蛇尾的吐火女怪)和桑托爾還不可思議 ……長(zhǎng)度、寬度、高度占據(jù)了整個(gè)空間 ,超出這三維以外 ,無(wú)法想象還能有第四維?！睅浊陙?lái) ,數(shù)學(xué)家們重復(fù)著這個(gè)簡(jiǎn)單且致命的錯(cuò)誤 ———第四維度不能存在 ,因?yàn)樵谖覀兊哪X海里它不可想象。

所有物理規(guī)律的統(tǒng)一

歐幾里得幾何的決定性的突破來(lái)自高斯要求他的學(xué)生黎曼準(zhǔn)備 幾“何基礎(chǔ) ”的口頭介紹。高斯對(duì)觀察他的學(xué)生是否能提出歐幾里得幾何學(xué)以外的其他方案有著強(qiáng)烈的興趣。(幾十年前 ,高斯曾私下表示對(duì)歐幾里得幾何持有深刻而廣泛的保留意見。他甚至對(duì)他的同事們講到 ,可能存在生活在二維表面上的假想的 “書蟲 ”。他說要把這推廣到高維空間的幾何學(xué)中去。然而 ,高斯是一個(gè)非常保守的人 ,他從未公開發(fā)表過任何他的有關(guān)更高維度的作品 ,因?yàn)檫@將必然引起心胸狹隘的保守的老后衛(wèi)們的憤怒。他嘲弄地稱他們?yōu)?“笨蛋 ”,一個(gè)智力低下的古希臘部落的名字。^[2])然而 ,黎曼嚇壞了。這個(gè)膽小的人害怕在公眾面前講話 ,他的導(dǎo)師要求他準(zhǔn)備一個(gè)在全體教師面前的 ,有關(guān)本世紀(jì)最困難的數(shù)學(xué)問題的演講。在接下來(lái)的幾個(gè)月里 ,黎曼開始痛苦地建立更高維度的理論 ,這使他的身體健康退化到神經(jīng)衰弱的地步。由于他令人沮喪的財(cái)務(wù)狀況 ,他的體力進(jìn)一步惡化了。他被迫接受低薪的家教工作以馳援他的家庭生活。此外 ,他還要分心試圖解釋物理問題。特別是 ,他還要幫助另一位教授威廉 ·韋伯 (Wilhelm Weber)從事新的研究領(lǐng)域 ———有關(guān)電力的有趣的實(shí)驗(yàn)。

電力在古代就以閃電和電火花的形式為人們所知了 ,但在 19世紀(jì)早期,這個(gè)現(xiàn)象成為了研究的焦點(diǎn)。特別是 ,一根通電導(dǎo)線經(jīng)過指南針時(shí)能使后者發(fā)生偏轉(zhuǎn) ,這引發(fā)了物理學(xué)家界的注意。相反 ,垂直于磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的金屬棒會(huì)在導(dǎo)線中感生出電流。(這被稱為法拉第定律 ,今天所有的發(fā)動(dòng)機(jī)和變壓器 ———大多數(shù)現(xiàn)代技術(shù)的基礎(chǔ) ———都以這個(gè)定律為基礎(chǔ)。)對(duì)黎曼來(lái)說 ,這個(gè)現(xiàn)象說明 ,電和磁是同一種力的不同表現(xiàn)形式。黎曼被這一發(fā)現(xiàn)所激動(dòng) ,他相信他能給出數(shù)學(xué)解釋以統(tǒng)一電和磁。他每天都泡在韋伯的實(shí)驗(yàn)室里 ,相信新的數(shù)學(xué)將能為這些力給出新的解釋。

黎曼要準(zhǔn)備一次重要的關(guān)于 “幾何基礎(chǔ) ”的公眾講演 ,要支持他的家庭維持生活 ,要繼續(xù)進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)。這些沉重的負(fù)擔(dān)壓得他喘不過氣來(lái) , 1854年,他的健康最終崩潰了 ,他患上了神經(jīng)衰弱癥。后來(lái) ,他寫了一封信給他的父親 ,“我被 ‘所有物理定律的統(tǒng)一的研究 ’深深吸引 ,因此當(dāng)演講的題目給我之時(shí) ,我激動(dòng)不已 ,不能離開我的研究。部分是由于焦急地考慮這些問題的結(jié)果 ,部分是由于在這個(gè)討厭的天氣中待在屋里的時(shí)間太多 ,我病倒了 ”。這封信是有意義的 ,因?yàn)樗宄乇砻?,即使在生病的幾個(gè)月里 ,黎曼依然堅(jiān)定地相信 ,“他將發(fā)現(xiàn) ‘所有物理定律的統(tǒng)一 ’,并用數(shù)學(xué)最終鋪平統(tǒng)一的道路?！?/p>

力=幾何

盡管經(jīng)常生病 ,黎曼依然最終建立了一個(gè)驚人的關(guān)于 “力”的含義的新描述。自牛頓之后 ,科學(xué)家將力看作是兩個(gè)遠(yuǎn)距離的物體之間的瞬時(shí)作用。物理學(xué)家稱其為遠(yuǎn)距作用 ,這意味著一個(gè)物體可以瞬間影響遠(yuǎn)距離物體的運(yùn)動(dòng)。牛頓力學(xué)毫無(wú)疑問能夠描述行星的運(yùn)動(dòng)。然而 ,幾個(gè)世紀(jì)以來(lái),批評(píng)者認(rèn)為遠(yuǎn)距作用是不自然的 ,因?yàn)樗馕吨粋€(gè)物體甚至無(wú)需接觸就能改變另一個(gè)物體的方向。

黎曼建立了一個(gè)全新的物理描述。像高斯的 “書蟲 ”一樣 ,黎曼想象了生活在一張紙上的二維生物種族。他做出的決定性突破是 ,將這些書蟲放在一張皺褶的紙上。^[3]這些書蟲會(huì)如何看待它們的世界呢 ?黎曼認(rèn)為 ,它們的結(jié)論是它們的世界仍然是平的 ,因?yàn)樗鼈兊纳眢w也皺褶了。這些書蟲絕不會(huì)注意到它們的世界發(fā)生了扭曲。然而 ,黎曼指出 ,如果這些書蟲試圖在這些皺褶的紙上運(yùn)動(dòng) ,它們會(huì)感到一個(gè)神秘的看不見的 “力”阻止它們沿直線運(yùn)動(dòng)。每當(dāng)它們走過紙上的一個(gè)皺褶 ,它們都會(huì)被推得左右晃動(dòng)。

這樣 ,黎曼做出了自牛頓 200年歷史以來(lái)的首次重大突破。他排除了超距作用原理。對(duì)黎曼而言 ,“力”是幾何的結(jié)果。

接著 ,黎曼用在第四維中被弄皺褶的我們的三維世界來(lái)代替二維的紙。對(duì)我們來(lái)說 ,我們看不出我們的宇宙是彎曲的。然而 ,當(dāng)我們?cè)噲D走一條直線時(shí) ,我們會(huì)立刻意識(shí)到有些事情出現(xiàn)了差錯(cuò)。我們像醉鬼一樣行 走,好像有一種看不見的力在拉拽我們 ,推得我們左搖右晃。

黎曼得出結(jié)論 ,電、磁和引力皆是我們的三維宇宙在看不見的第四維皺褶引起的。因此 “力”本身并不存在 ,它只是幾何變形引起的表觀效果。黎曼通過引進(jìn)第四空間維度 ,無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代理論物理最重要的主題之一 ,即自然定律用更高維度去表達(dá)會(huì)更簡(jiǎn)單。

黎曼度規(guī)張量 :新的畢達(dá)哥拉斯定理

黎曼花了幾個(gè)月時(shí)間治愈了他的神經(jīng)衰弱。所以 ,當(dāng)他在 1854年作口頭報(bào)告時(shí) ,有著非常好的反應(yīng)?；仡櫰饋?lái) ,毫無(wú)疑問 ,這是數(shù)學(xué)史上最重要的公開演講之一。黎曼突破了統(tǒng)治數(shù)學(xué)長(zhǎng)達(dá) 2000年的歐幾里得幾何學(xué)的演講很快傳遍了整個(gè)歐洲的所有研究中心 ,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)博得了整個(gè)理論界的稱道。他的演講被翻譯為好幾種語(yǔ)言 ,且在數(shù)學(xué)家中產(chǎn)生了相當(dāng)大的轟動(dòng)。沒有什么地方需要回到歐幾里得的工作。

像物理學(xué)和數(shù)學(xué)中最偉大的著作一樣 ,黎曼偉大論文背后的基本內(nèi)核很容易被人理解。黎曼從著名的畢達(dá)哥拉斯定理 (勾股定理 )出發(fā) ,它是古希臘人在數(shù)學(xué)中最偉大的發(fā)現(xiàn)之一。這個(gè)定理建立了直角三角形三邊長(zhǎng)度的關(guān)系 :直角三角形兩條短邊的長(zhǎng)度的平方和等于最長(zhǎng)斜邊的長(zhǎng)度的平方 (即,如果 a和b是兩短邊的長(zhǎng)度 ,c是斜邊的長(zhǎng)度 ,那么 a2+b2= c2。)(當(dāng)然 ,勾股定理是一切建筑的基礎(chǔ) ,地球上的每一座建筑物都以這個(gè)定理為基礎(chǔ)。)這個(gè)定理很容易推廣到三維空間中。它指出立方體的三個(gè)相鄰邊長(zhǎng)度的平方和與對(duì)角線長(zhǎng)度的平方剛好相等。所以如果 a、b、c分別表示一個(gè)立方體的三個(gè)邊 ,而 d是它的對(duì)角線的長(zhǎng)度 ,那么 a2+b2+c2=d2(圖2.1)。

現(xiàn)在 ,將這個(gè)定理推廣到 N維也非常簡(jiǎn)單。想象有一個(gè) N維立方體。如果 a、b、c、d、…分別為 “超立方體 ”的邊的長(zhǎng)度 ,z是對(duì)角線的長(zhǎng)度,那么 a2+b2+c2+d2+…=z2。值得注意的是 ,盡管我們的大腦難以想象 N維立方體的形狀 ,但在數(shù)學(xué)上 ,我們可以輕松地寫出 N維立方體的邊長(zhǎng)的公式。(這是一個(gè)在超空間中工作的普遍特征。從數(shù)學(xué)的角度考慮 ,掌握 N維空間并不比掌握三維空間更困難。令人驚奇的是 ,在一張平平的

圖2.1一個(gè)立方體對(duì)角線的長(zhǎng)度由三維畢達(dá)哥拉斯定理給出:a2+b2+c2= d2。通過簡(jiǎn)單地添加更多項(xiàng)到畢達(dá)哥拉斯定理 ,這個(gè)方程很容易推廣到 N維超立方體的對(duì)角線。因此 ,盡管高維度無(wú)法直觀化 ,但在數(shù)學(xué)上 N維卻很容易表示。

紙上 ,你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述一個(gè)我們的腦子不可形象化的高維物體的性質(zhì)。)黎曼然后將這些方程推廣到任意維度的空間。這些空間可以是平的也可以是彎曲的。如果是平的 ,則歐幾里得通常是適用的 :兩點(diǎn)之間直線最短、平行線永不相交、三角形內(nèi)角之和為 180度。但黎曼還發(fā)現(xiàn) ,面可以具有 “正曲率 ”,就像球體的表面。這些面上的平行線總會(huì)相交 ,而且 ,這些面上的三角形的三個(gè)內(nèi)角之和可以超過 180度。面也可以具有 “負(fù)曲率”,如馬鞍形或喇叭形的表面。在這些表面中的三角形的內(nèi)角之和小于 180度。給定一條直線和直線外的一個(gè)點(diǎn) ,通過這個(gè)點(diǎn) ,人們可以畫出無(wú)窮多的與這條直線平行的平行線 (圖2.2)。

黎曼的目標(biāo)是在數(shù)學(xué)中引入一個(gè)全新的對(duì)象 ,使他能夠描述所有的表圖

2.2一個(gè)平面有零曲率。在歐幾里得幾何中 ,一個(gè)三角形的內(nèi)角和為 180度,平行線從不相交。在非歐幾里得幾何中 ,球面具有正曲率。一個(gè)三角形的內(nèi)角和大于 180度,平行線總是相交 (平行線包括中心為球心的弧線。這個(gè)規(guī)則排除了緯度線)。馬鞍形表面具有負(fù)曲率 ,三角形三內(nèi)角之和小于 180度。過直線外的一點(diǎn)有可作無(wú)窮多條線與它相平行。

面,無(wú)論這個(gè)表面多么復(fù)雜。這必然促使他重新引進(jìn)法拉第的場(chǎng)的概念。

我們記得 ,法拉第的場(chǎng)就像是一個(gè)農(nóng)民的農(nóng)場(chǎng)。我們認(rèn)識(shí)的農(nóng)場(chǎng)會(huì)占據(jù)二維空間的一個(gè)區(qū)域。法拉第的場(chǎng)則占據(jù)一個(gè)三維空間的區(qū)域。在這個(gè)空間中的任意一點(diǎn) ,我們通過對(duì)其指定一個(gè)數(shù)字集合 ,就能描述這個(gè)點(diǎn)上的磁力或電力的數(shù)。黎曼的想法是為空間的每一點(diǎn)引進(jìn)一個(gè)數(shù)字的集合 ,這組數(shù)將描述空間在這一點(diǎn)被彎曲的狀態(tài)或曲率值的多少。

例如 ,對(duì)于一個(gè)普通的二維表面 ,黎曼在每一個(gè)點(diǎn)引進(jìn)三個(gè)數(shù)字的集合,完全描述了這個(gè)表面的彎曲。黎曼發(fā)現(xiàn) ,在四維空間 ,人們需要為每個(gè)點(diǎn)引進(jìn)一組 10個(gè)數(shù)的集合以描述其性質(zhì)。無(wú)論空間如何皺褶或扭曲 ,在每個(gè)點(diǎn)的這 10個(gè)數(shù)字的集合足以編碼所有關(guān)于那個(gè)空間的信息。讓我們把這10個(gè)數(shù)字標(biāo)上符號(hào) g11、g12、g13、… (分析四維空間時(shí) ,下標(biāo)可以從 1到4變化。)這時(shí) ,黎曼的 10個(gè)數(shù)字的集合可以如圖 2.3那樣對(duì)稱性地安排。^[4] (看上去似乎有 16個(gè)分量。然而 ,g12 =g、g13 =g、…所以 ,實(shí)際上只有10個(gè)獨(dú)立的分量)今天,這個(gè)數(shù)字集合稱21為黎曼度31規(guī)張量。大約說來(lái) ,度規(guī)張量的值越大 ,紙的皺褶越大。無(wú)論紙張多么皺 ,度規(guī)張量為我們提供了一種測(cè)量任何點(diǎn)曲率的簡(jiǎn)單方法。如果皺褶的紙完全展平 ,那么我們會(huì)回到畢達(dá)哥拉斯公式

圖2.3黎曼度規(guī)張量包含數(shù)學(xué)上描述 N維彎曲空間所需要的所有信息。它用 16個(gè)數(shù)描述四維空間每點(diǎn)的度規(guī)張量。這些數(shù)可以安排成方陣 (這些數(shù)中的 6個(gè)實(shí)際是多余的 ,因此這個(gè)度規(guī)張量有 10個(gè)獨(dú)立的數(shù))。

黎曼的度規(guī)張量使他能夠建立一個(gè)強(qiáng)有力的工具描述具有任何曲率的任何維度的空間。他驚奇地發(fā)現(xiàn) ,所有這些空間都可以被明確定義且具有自洽性。早先的人們認(rèn)為 ,在研究被禁止的高維世界時(shí) ,會(huì)出現(xiàn)可怕的矛盾。令黎曼驚奇的是 ,他沒有發(fā)現(xiàn)任何矛盾。事實(shí)上 ,把黎曼的工作擴(kuò)展到 N維空間幾乎輕而易舉。度規(guī)張量很像棋盤上的方格 ,尺寸為 N ×N。這在我們后面幾章討論所有力的統(tǒng)一時(shí)有著深刻的物理意義。

我們將看到 ,統(tǒng)一的秘密在于擴(kuò)大黎曼度規(guī)到 N維空間 ,然后切成一些矩形片。每個(gè)矩形片對(duì)應(yīng)不同的力。用這種辦法我們可以描述大自然中的各種力量 ,像智力拼圖一樣將它們放進(jìn)度規(guī)張量。這是高維空間統(tǒng)一自然法則原理的數(shù)學(xué)表示 ,即在 N維空間中有 “足夠的空間 ”統(tǒng)一它們。更確切地說 ,在黎曼度規(guī)中有足夠的空間統(tǒng)一自然力。

黎曼預(yù)期了物理學(xué)的另一種發(fā)展 ,他是討論多連通空間或蟲洞的第一人。為了可視化這個(gè)概念 ,我們先拿出兩張紙 ,把一張紙放在另一張紙的上面。用剪刀在每張紙上剪一個(gè)短的切口 ,然后將兩張紙沿著切口粘在一(圖2.4)。(從拓?fù)鋵W(xué)角度看 ,此圖與圖 1.1是相同的 ,只是圖 2.4中蟲起洞頸部的長(zhǎng)度為 0而已。)

圖2.4黎曼切口 ,兩張紙沿著一條線粘連在一起。如果繞著切口走 ,我們就一直停留在同一空間。如果穿過切口 ,我們將從一張紙進(jìn)入到另一張紙。這是一個(gè)多連通表面。

如果一個(gè)蟲子住在上面這張紙上 ,它也許某天不小心走進(jìn)了切口 ,發(fā)現(xiàn)自己到了下面這張紙上。它會(huì)感到困惑 ,因?yàn)槊考|西都在錯(cuò)誤的地 方。經(jīng)過多次試驗(yàn) ,這個(gè)蟲子將發(fā)現(xiàn) ,只要重新進(jìn)入切口它可以重新回到它通常的世界中。如果它繞著切口走 ,那么它的世界看上去會(huì)非常正常 ;如果它試圖取捷徑通過切口 ,那就出現(xiàn)問題了。

黎曼切口是連接兩個(gè)空間的蟲洞的一個(gè)例子 (只是這個(gè)蟲洞的長(zhǎng)度為0)。數(shù)學(xué)家路易斯 ·卡羅爾在他的書《愛麗絲鏡中世界奇遇記》中極有效地利用了黎曼切口 ,連接英國(guó)與仙境的黎曼切口是鏡子。今天 ,黎曼切口以兩種形式被保存了下來(lái)。其一 ,它在世界上每一個(gè)數(shù)學(xué)研究生的教程上會(huì)出現(xiàn) ,在 “靜電理論 ”或 “共形映射 ”中會(huì)被引用。其二 ,黎曼切口可以在《暮光之城》的情節(jié)中發(fā)現(xiàn)。(需要強(qiáng)調(diào)的是 ,黎曼本人并未將他的切口看作宇宙之間的一種旅行方式 )黎曼的遺產(chǎn)

黎曼堅(jiān)持著他在物理學(xué)方面的工作。1858年,他甚至宣布自己成功地統(tǒng)一了光和電的描述。他寫道 ,“我完全相信自己的理論是正確的 ,過不了幾年 ,它會(huì)得到大家的公認(rèn) ”。雖然他的度規(guī)張量給了他一個(gè)強(qiáng)大的工具描述任何維度中的任何彎曲空間 ,但他不知道度規(guī)張量服從的精確方程。也就是說 ,他不知道是什么使紙張產(chǎn)生皺褶。

不幸的是 ,黎曼解決這個(gè)問題的努力不斷因貧窮而受挫。他的成功沒有轉(zhuǎn)化為錢。1857年,他又遭受了神經(jīng)衰弱的打擊。多年后 ,他終于得到了哥廷根大學(xué)高斯曾擔(dān)任過的那個(gè)令人垂涎的職位 ,但為時(shí)已晚。貧困的生活破壞了他的健康 ,像歷史上很多偉大的數(shù)學(xué)家一樣 ,他在 39歲時(shí)早逝于肺結(jié)核。他未能完成自己的引力、磁、電力的幾何理論。

總體來(lái)說 ,黎曼的工作不僅是給超空間的數(shù)學(xué)理論打下了基礎(chǔ) ,它的意義甚至更為深遠(yuǎn)?；叵肫饋?lái) ,我們看到黎曼預(yù)期了現(xiàn)代物理學(xué)中一些重大的課題。特別是 :

1.他利用高維空間來(lái)簡(jiǎn)化自然法則。對(duì)他來(lái)說 ,電、磁和引力都是超空間皺褶或變形引起的。

2.

他預(yù)期了蟲洞的概念。黎曼切口是多連通空間的最簡(jiǎn)單的例子。

3.

他將引力表示為一個(gè)場(chǎng)。因?yàn)槎纫?guī)張量描述了空間每一點(diǎn)的引力(通過曲率 ),所以它正是應(yīng)用在引力上的法拉第的場(chǎng)概念。

因?yàn)槔杪鼪]有電、磁、引力服從的場(chǎng)方程 ,所以他無(wú)法完成他的引力場(chǎng)工作。換句話說 ,他不能精確地知道為了產(chǎn)生引力 ,宇宙應(yīng)該如何皺褶。他試圖發(fā)現(xiàn)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的場(chǎng)方程 ,但他去世前未能完成這個(gè)項(xiàng)目。在他去世時(shí) ,他仍然沒有辦法計(jì)算需要多少皺褶才能描述這個(gè)力。這些至關(guān)重要的發(fā)展將留給麥克斯韋和愛因斯坦。

生活在空間彎曲中

咒語(yǔ)終于被打破了。

黎曼 ,在他短暫的一生中 ,解除了 2000年前歐幾里得投下的咒語(yǔ)。黎曼的度規(guī)張量是一個(gè)強(qiáng)大的武器 ,使年輕的數(shù)學(xué)家可以無(wú)視那些一提到高維空間就號(hào)叫的人。追隨黎曼腳步的人發(fā)現(xiàn)用度規(guī)張量談?wù)撃切┤藗兛床灰姷氖澜鐣?huì)更加容易。

很快 ,超空間的研究風(fēng)靡全歐洲。杰出的科學(xué)家開始將這個(gè)思想普及到公眾。赫爾曼 ·馮 ·亥姆霍茲 (Hermannvon Helmholtz)也許是他那代人中最著名的德國(guó)物理學(xué)家 ,他深受黎曼的影響 ,并通過廣泛地寫作和宣講向公眾介紹生活在球體上的智慧生命的數(shù)學(xué)知識(shí)。

根據(jù)亥姆霍茲的看法 ,球面上的那些生物具有與我們相似的推理能力,歐幾里得的所有假設(shè)和定理在他們那里都是沒用的。例如 ,在球面上的三角形的三個(gè)內(nèi)角之和并非 180度。高斯最先提出的 “書蟲 ”們發(fā)現(xiàn) ,他們竟然居住在亥姆霍茲的二維球面上。亥姆霍茲寫道 :“幾何定理必須根據(jù)這些與我們推理能力相同的生物居住的空間的類型而變化?！比欢?,亥姆霍茲在他的 “科學(xué)主題的普及演講 ”(1881年)中警告讀者說 ,“我們不可能將第四維直觀化?！彼f :“事實(shí)上 ,這樣的表現(xiàn)是不可能的 ,就像天生的盲人無(wú)法表現(xiàn)顏色一樣?！?/p>

一些科學(xué)家驚嘆黎曼著作的高雅 ,試圖找到這個(gè)有力工具的物理應(yīng)用。^[5]當(dāng)一些科學(xué)家們正在探索黎曼數(shù)學(xué)在更高維度的應(yīng)用時(shí) ,其他一些科學(xué)家們提出了更為實(shí)用的、世俗的問題。如:一個(gè)二維生物如何吃飯 ?為了讓高斯的二維人能吃飯 ,他們的嘴將不得不面對(duì)側(cè)面。但如果畫出他 們的消化道 ,我們可以注意到 ,這個(gè)通道將他們的身體完全分成了兩半 (圖2.5)。因此 ,如果他們吃飯 ,他們的身體將分裂成兩塊。事實(shí)上 ,任何一條連接他們身上兩個(gè)開口的管子都將會(huì)把他們的身體分成互不相連的兩塊。這給我們提出了困難的選擇。要么這些人像我們一樣吃飯并且他們的身體將被破開 ,要么他們遵循著與我們不同的生物學(xué)規(guī)律。

圖2.5二維的生物不能吃飯。一旦他吃飯 ,他的消化道必然將他分成不同的兩塊 ,身體就散架了。

不幸的是 ,黎曼的高等數(shù)學(xué)超出了 19世紀(jì)相對(duì)落后的物理學(xué)的認(rèn)知。

沒有物理原理來(lái)指導(dǎo)高等數(shù)學(xué)進(jìn)一步的研究。為了讓物理學(xué)家趕上數(shù)學(xué)家,我們必須等待又一個(gè)世紀(jì)。但這并沒有阻止 19世紀(jì)的科學(xué)家無(wú)止境地推測(cè)四維世界的生物是什么樣子。很快 ,他們意識(shí)到這樣的四維生物幾乎擁有如上帝般的力量。

成為神

想象人能穿墻破壁。

你不必為開門而煩惱 ,你可以順利地穿墻而過。你不必繞著建筑物行走,你可以通過它們的墻壁和支柱進(jìn)入 ,并從后墻出來(lái)。你不必繞著山繞道,你可以直接鉆進(jìn)山里。餓了 ,你無(wú)需打開冰箱的門就可以將手伸進(jìn)冰箱。你永遠(yuǎn)不會(huì)意外地被鎖在車門之外 ,因?yàn)槟憧梢灾苯哟┻^車門。

想象人可以隨意消失或重現(xiàn)。無(wú)需開車去上學(xué)或上班 ,你會(huì)消失和重新出現(xiàn)在你的教室或辦公室里。你不需要乘飛機(jī)去很遠(yuǎn)的地方 ,你可以消失和重新出現(xiàn)在你想要去的地方。在交通高峰期 ,你和你的車永遠(yuǎn)不會(huì)被困在城市交通中 ,只會(huì)消失和重新出現(xiàn)在你的目的地。

想象你擁有一雙 X光的眼睛。你能從遠(yuǎn)處看到事故的發(fā)生。你可以消失和重新出現(xiàn)在事故現(xiàn)場(chǎng) ,看到受害者的確切位置 ,即使他們被埋在廢墟之下。

想象一下能夠進(jìn)入一個(gè)物體而不需要打開它。你可以從橙子中取出橙子瓣而不需要?jiǎng)兤せ蚯懈?。你?huì)被譽(yù)為一個(gè)熟練的外科醫(yī)生 ,因?yàn)槟阌心芰π迯?fù)患者的內(nèi)臟且無(wú)需切割皮膚 ,因而大大減少患者疼痛和感染的風(fēng)險(xiǎn)。你能直接進(jìn)入病人的身體 ,直接通過皮膚做微妙的手術(shù)。

想象一下一個(gè)罪犯有了這些能力能夠做什么。他可以進(jìn)入戒備森嚴(yán)的銀行。他能夠看穿地下室沉重的大門發(fā)現(xiàn)貴重物品和現(xiàn)金 ,伸手到里面把它們拿出來(lái)。然后他可以大搖大擺地走出去 ,任憑衛(wèi)兵的子彈從他身邊穿過。有了這些能力 ,沒有監(jiān)獄能夠囚住罪犯。

沒有秘密能夠瞞過我們。沒有珍寶能夠不讓我們知道。沒有障礙能夠阻止我們。我們成了神奇的人 ,能夠完成各種技藝 ,超出了人類的理解能力。我們真的變得無(wú)所不能。

什么生物能夠具有這樣的像神一樣的能力 ?答案是 :來(lái)自高維世界的 生物。當(dāng)然 ,這些技藝超出了任何一個(gè)三維人的能力。對(duì)我們來(lái)說 ,墻是堅(jiān)固的 ,監(jiān)獄的鐵壁是不可打破的。試圖穿墻而過 ,必然碰得頭破血流。但對(duì)四維人來(lái)說 ,這些本領(lǐng)只不過是小孩玩意兒。

要理解怎樣完成這些奇跡 ,再次考慮生活在二維桌面上的高斯的神秘二維生物。要把一個(gè)罪犯囚禁起來(lái) ,平地居民只需圍繞著他畫一個(gè)圈。無(wú)論罪犯向哪邊走 ,他都會(huì)碰到穿不過的圈。然而 ,對(duì)我們來(lái)說 ,讓囚犯跳出這個(gè)監(jiān)獄是輕而易舉的事。我們只要彎下腰 ,抓住平地居民 ,把他拽出二維世界 ,再把他放回他的世界中的別的地方 (圖 2.6)。這種在三維世界十分平常的本領(lǐng) ,在二維世界中看上去卻非常神奇。

圖2.6在平地上 ,“監(jiān)獄 ”就是圍繞囚犯畫的一個(gè)圈。在二維空間中希望囚犯逃出這個(gè)圈是不現(xiàn)實(shí)的。然而 ,一個(gè)三維的人可以把平地居民拉出監(jiān)獄到三維空間中。對(duì)監(jiān)獄看守來(lái)說 ,就好像囚犯神秘地消失在稀薄的空氣中。

對(duì)他的監(jiān)獄看守來(lái)說 ,這個(gè)囚犯突然從無(wú)法逃脫的監(jiān)獄中丟失了 ,消失在稀薄的空氣中。之后 ,他又突然地重新出現(xiàn)在別的地方。如果你向監(jiān)獄看守解釋 ,囚犯向上移動(dòng)并離開了平面世界 ,他絕不會(huì)理解你說的是什么。在平地居民的詞典中 ,不存在向上這個(gè)詞語(yǔ) ,也不可能對(duì)這個(gè)概念直觀化。

其他一些事情也可以通過類似的方式解釋。例如 ,平地居民的內(nèi)部器(如胃和心臟 )對(duì)我們來(lái)說是完全可見的 ,就像我們?cè)陲@微鏡載玻片上看官細(xì)胞的內(nèi)部結(jié)構(gòu)一樣。進(jìn)入平地居民的體內(nèi) ,無(wú)需切開皮膚而對(duì)他們進(jìn)行外科手術(shù)也是很平常的事情。我們還能將平地居民從他們的世界中剝下來(lái),翻個(gè)身 ,再把他們放下。注意 ,他現(xiàn)在左右器官的位置發(fā)生了反轉(zhuǎn)。就這樣 ,他的心臟在右邊了 (圖2.7)。

圖2.7如果將平地居民從他們的世界剝下來(lái) ,在三維中將他翻個(gè)身 ,他的心臟將出現(xiàn)在右手側(cè)。他的所有的內(nèi)部器官都已經(jīng)被反轉(zhuǎn)。對(duì)于嚴(yán)格生活在平地上的人來(lái)說 ,這種變換在醫(yī)學(xué)上是不現(xiàn)實(shí)的。

觀察平地居民 ,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)自己非常萬(wàn)能。即便平地居民藏在屋子里或在地下 ,我們也能輕松看到他。他會(huì)認(rèn)為我們的能力是神奇的。然而 ,對(duì)我們來(lái)說 ,我們并不認(rèn)為自己很神奇。這只是一種更高的視野在起作用。(雖然在原則上 ,這樣神奇的本領(lǐng)在超空間物理領(lǐng)域內(nèi)是有可能性的。 但我們應(yīng)該注意到 ,駕馭多空間 —時(shí)間所必需的技術(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了地球上所能擁有的任何技術(shù)水平 ,這個(gè)問題甚至在幾百年內(nèi)也無(wú)法改變。駕馭超空間的能力有可能的確存在于宇宙中某些地外生命的能力范圍中。他們的能力遠(yuǎn)高于地球上所能發(fā)現(xiàn)的任何事物。他們擁有的技術(shù)所能控制的能量 ,要比我們最強(qiáng)有力的機(jī)器產(chǎn)生的能量還要大 1000萬(wàn)億倍。)雖然黎曼的著名演講通過亥姆霍茲和其他許多人的工作而被推廣 ,但普通公眾并不了解其意 ,或者說他們對(duì)二維生物的飲食習(xí)慣并無(wú)興趣。對(duì)一般人來(lái)說 ,更直接的問題是 :什么樣的人可以穿墻而過且能看穿鋼鐵并創(chuàng)造奇跡 ?什么樣的眾生是無(wú)所不能的且遵守一套不同于我們的定律 ?

當(dāng)然是鬼了 !

在缺乏物理原理激勵(lì)的條件下引進(jìn)高維思想 ,使第四維的理論突然有了意想不到的轉(zhuǎn)變。在多維空間的歷史上 ,我們將開始一段奇怪的但又不可忽視的彎路 ,并將考察它對(duì)藝術(shù)與哲學(xué)產(chǎn)生的意想不到的 ,但意義深遠(yuǎn)的影響。這種對(duì)大眾文化的巡視 ,將表明神秘主義者如何給我們一些聰明的方法 ,而使高維空間 “可視化 ”。

第四維度的鬼

1877年,第四維在公眾中引起了軒然大波。那時(shí) ,在倫敦的一個(gè)可恥的審判讓第四維臭名昭著。

倫敦各大報(bào)紙廣泛宣傳了巫師亨利 ·斯萊德 (HenrySlade)聳人聽聞的聲稱和離奇的審批。當(dāng)時(shí)的一些著名的物理學(xué)家卷入了這場(chǎng)哄鬧的審判。宣傳的結(jié)果是 ,對(duì)第四維的討論從抽象的數(shù)學(xué)家的黑板上蹦進(jìn)了上流社會(huì) ,并成為了整個(gè)倫敦餐桌上的談資?！俺裘阎牡谒木S ”成為了倫敦街談巷議的話題。

一位來(lái)自美國(guó)的巫師斯萊德訪問了倫敦并參加杰出市民舉行的降神會(huì)。他一開始是完全無(wú)辜的 ,后來(lái)他因詐騙罪被捕 ,并被指控 “使用微妙的手法和道具 ,通過手相術(shù)和其他辦法 ”欺騙顧客。通常情況下 ,這種審判并不會(huì)引起大眾的注意。但當(dāng)杰出的物理學(xué)家出面為他辯護(hù)時(shí) ,倫敦社會(huì)震驚了 ,大眾也產(chǎn)生了濃厚的興趣。為他辯護(hù)的物理學(xué)家說 ,這個(gè)巫師的特異功能證明他能召喚第四維度的靈魂。這個(gè)丑聞被推波助瀾 ,因?yàn)闉?斯萊德辯護(hù)的不是普通的英國(guó)科學(xué)家,而是世界上最偉大的物理學(xué)家。他們中的許多人獲得過諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

煽動(dòng)這起丑聞的主要人物是約翰 ·佐爾拉 (JohannZolner),萊比錫大學(xué)的物理學(xué)和天文學(xué)教授。佐爾拉率領(lǐng)一群顯赫的物理學(xué)家來(lái)為斯萊德辯護(hù)。

當(dāng)然,神秘主義者為皇家法院和公眾社會(huì)表演小把戲并沒有什么新奇。幾個(gè)世紀(jì)以來(lái),他們都宣稱:他們能用心靈讀出封閉信封里的字;從密閉的瓶子里取出物體;重新封裝折斷的火柴棒;將戒指套在一起。對(duì)這場(chǎng)官司最奇怪的曲解是,杰出的科學(xué)家聲稱,通過掌握四維空間的物體將有可能實(shí)現(xiàn)這些通靈技藝。在這個(gè)過程中,他們讓公眾初步了解了如何通過第四維表演這些神奇的把戲。

佐爾拉贏得了物理研究協(xié)會(huì)一些國(guó)際杰出的物理學(xué)家,甚至是這個(gè)組織的領(lǐng)導(dǎo)人的幫助。包括 19世紀(jì)一些最著名的名字:威廉 ·克魯克斯 (Wiliam Grookes),他是陰極射線管的發(fā)明家,他的發(fā)明在今天主要用于世界上的電視機(jī)和電腦顯示器^[6];威廉·韋伯 (Wilheim Weber),他是高斯的合作者和黎曼的導(dǎo)師 (今天,磁場(chǎng)的國(guó)際制單位正是以 “韋伯”命名);J.J.湯普森 (J.J.Thompson),他在1906年因發(fā)現(xiàn)電子贏得了諾貝爾獎(jiǎng);瑞利勛爵 (LordRayleigh),他是歷史學(xué)家公認(rèn)的 19世紀(jì)后期最偉大的古典物理學(xué)家之一和1904年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者。

克魯克斯、韋伯、佐爾拉對(duì)斯萊德的工作產(chǎn)生了特殊的興趣。斯萊德最終被法院認(rèn)定為詐騙罪。然而,他堅(jiān)持他可以通過在科學(xué)團(tuán)體面前重復(fù)他的技藝來(lái)證明他的清白。出于好奇,佐爾拉接受了這個(gè)挑戰(zhàn)。1877年佐爾拉進(jìn)行了一系列控制實(shí)驗(yàn),測(cè)試斯萊德是否具有通過第四維度傳送物體的能力。佐爾拉邀請(qǐng)了幾個(gè)杰出的科學(xué)家和自己一起對(duì)斯萊德的能力進(jìn)行評(píng)判。

首先,他們給了斯萊德兩個(gè)獨(dú)立的、完整的木環(huán)。斯萊德能把一個(gè)木環(huán)放到另一個(gè)木環(huán)中,使它們交織在一起而不破壞木環(huán)嗎?佐爾拉寫到,如果斯萊德成功,它將 代“表一個(gè)奇跡,即一種直到此前我們的物理概念和生理過程絕不能解釋的現(xiàn)象”。

其次,他們給了斯萊德一個(gè)蝸牛殼,向右扭曲的或向左扭曲的。斯萊德能把右旋貝殼變成左旋貝殼嗎,或者反之?再次,他們給了斯萊德一個(gè)干的動(dòng)物內(nèi)臟制成的繩子。他能在不切斷繩子的情況下在圓圈的繩子上做一個(gè)結(jié)嗎 ?

斯萊德還受到了諸如此類的各種類似試驗(yàn)。例如 ,繩子打一個(gè)右手結(jié),兩端用蠟封住 ,蓋上佐爾拉個(gè)人的印章。要求斯萊德不破壞封的蠟 ,解開這個(gè)結(jié) ,在左手端重新打個(gè)結(jié)。因?yàn)樵谒木S空間結(jié)總是解開的 ,所以對(duì)四維的人來(lái)說這個(gè)技藝是很容易實(shí)現(xiàn)的。他們還要求斯萊德從瓶子里取出東西 ,而不破壞瓶子。

斯萊德有表演這些奇跡的驚人的能力嗎 ?

第四維度的魔法

今天我們意識(shí)到操縱更高維度空間所需要的技術(shù) ,正如斯萊德所說 ,遠(yuǎn)超出了本行星在可以預(yù)見的未來(lái)能夠掌握的任何事情。然而 ,這個(gè)臭名昭著的案例令人感興趣的是 ,佐爾拉正確地得出了這樣一個(gè)結(jié)論 ———如果能有什么辦法將物體移動(dòng)到第四維度 ,斯萊德的巫師專長(zhǎng)就可以得到解釋了。因此 ,由于教學(xué)上的原因 ,佐爾拉的實(shí)驗(yàn)是非做不可且值得探討的。

例如 ,在三維中 ,兩個(gè)分離的獨(dú)立的環(huán)如果其中一個(gè)不被折斷 ,它們就很難交織糾纏在一起。同樣 ,封閉的圓形的繩子不破壞就不能扭成結(jié)。任何為得獎(jiǎng)牌而拼命要解開結(jié)的男孩或女孩都知道 ,圓形的閉合的繩子的結(jié)是不能解開的。然而 ,在更高的維度 ,結(jié)很容易解開 ,環(huán)可以交織在一起。這是因?yàn)橛?“更多的空間 ”互相移動(dòng)繩子和將環(huán)交織在一起。如果第四維度存在 ,繩索和環(huán)可以跳出我們的宇宙 ,交織在一起 ,然后回到我們的世界。事實(shí)上 ,在第四維度 ,結(jié)絕不能永遠(yuǎn)結(jié)在一起的。不用切開繩子就能解開結(jié)。這樣的奇跡在三維中是不可能的 ,但在第四維中這是輕而易舉的事。原來(lái) ,三維是唯一能使打的結(jié)不被解開的維度。(注解中給出了這個(gè)意想不到結(jié)果的證據(jù)。^[7])同樣 ,在三維中也不能將無(wú)法改變的左旋物體轉(zhuǎn)換成右旋物體。人類的心臟生來(lái)就在左邊 ,外科醫(yī)生不管多熟練 ,也不能逆轉(zhuǎn)人體的內(nèi)部器官。正如數(shù)學(xué)家奧古斯特 ·莫比烏斯 (AugustMobius)在 1827年首先指出的 ,如果我們能把物體舉出我們的宇宙 ,在第四維中實(shí)現(xiàn)翻轉(zhuǎn) ,然后再回到我們的宇宙這才可以成為可能。這些奇跡中的兩個(gè)如圖 2.8所示 ,只有物體能移動(dòng)到第四維度 ,才能進(jìn)行這樣的表演。

圖10.神秘的亨利 ·斯萊德 (HeySlde)說他能將右旋貝殼變成左旋的 ,能從封閉的瓶子中取出物品。n這r些奇a跡在三維空間中是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的 ,但如果能將物體移動(dòng)到四維空間 ,這些問題都可以得到解決。

科學(xué)團(tuán)體的兩極分化

佐爾拉在《科學(xué)季刊》和《抽象物理學(xué)》雜志上都發(fā)表了文章,引發(fā)了一場(chǎng)爭(zhēng)論的風(fēng)暴。他說,斯萊德在降神會(huì)上,在有杰出科學(xué)家在場(chǎng)的情況下所表演的神奇魔法讓觀眾吃驚。(然而,有些在受控條件下進(jìn)行的測(cè)試,斯萊德也沒做成功。)佐爾拉激烈地為斯萊德的技藝辯護(hù),在倫敦社會(huì)中到處炒作。(事實(shí)上,這是19世紀(jì)后期幾個(gè)涉及唯心論者和巫師的備受矚目的事件之一。維多利亞時(shí)代的英國(guó)顯然著迷于這類神秘事件。)科學(xué)家以及普通百姓很快地開始袒護(hù)這件事。支持佐爾拉說法的是他的著名的科學(xué)家的圈子,包括韋伯和克魯克斯。他們不是普通的科學(xué)家,而是科學(xué)藝術(shù)大師和老練的實(shí)驗(yàn)觀察者。他們花費(fèi)了畢生的時(shí)間研究自然現(xiàn)象,現(xiàn)在,就在他們的眼前,斯萊德表演了只有生活在四維空間的精靈才能擁有的技藝。

但是,貶損佐爾拉的人指出,科學(xué)家是最不適合評(píng)論魔術(shù)師的,因?yàn)樗麄兘邮艿挠?xùn)練是相信感覺。而魔術(shù)師接受的專業(yè)訓(xùn)練是轉(zhuǎn)移注意力、掩人耳目以及將這些感覺相混淆。一位科學(xué)家可能正仔細(xì)地觀察魔術(shù)師的右手,但魔術(shù)師卻正用左手出其不意地完成了魔術(shù)。批評(píng)家也指出,只有另一個(gè)魔術(shù)師才能聰明地發(fā)現(xiàn)一位同行魔術(shù)師空手套白狼的把戲。只有賊才能抓住賊。

在季刊雜志《基本原理》上發(fā)表的一篇特別嚴(yán)厲的批評(píng)文章是針對(duì)另外兩位杰出的物理學(xué)家,W.F.巴雷特爵士 (SirW.F.Baret

)和奧利弗

·洛奇爵士 (SirOliverLodge)的,他們的工作是有關(guān)心靈感應(yīng)的研究。這篇文章毫不留情地批評(píng)道:

無(wú)需將所謂的心靈感應(yīng)現(xiàn)象看作是不可解釋的,也無(wú)需將巴雷特爵士和洛奇爵士的智力表演當(dāng)回事。這里也許還有第三種可能,主觀意愿使他們接受了一些證據(jù),但如果他們接受過實(shí)驗(yàn)心理學(xué)的訓(xùn)練,他們就會(huì)重新看待自己之前找到的證據(jù)。

一個(gè)世紀(jì)后,在對(duì)以色列巫師尤里·蓋勒 (UriGel

er)特異功能的爭(zhēng) 論上出現(xiàn)了同樣的討論 ,贊成和反對(duì)。尤里 ·蓋勒說服加利福尼亞斯坦福研究所的兩位著名科學(xué)家 ,說他可以只用精神力量就能彎曲一把鑰匙和表演其他特異功能。(評(píng)論這件事時(shí) ,一些科學(xué)家津津樂道地引用古羅馬人的一句諺語(yǔ) :“想受騙者必受騙。”)英國(guó)科學(xué)界內(nèi)蔓延的激情觸發(fā)了一場(chǎng)生動(dòng)的辯論 ,迅速傳過英吉利海峽。不幸的是 ,在黎曼死后的幾十年里 ,科學(xué)家忘記了他最初的目標(biāo) ———通過更高維度簡(jiǎn)化自然法則。結(jié)果 ,高維理論徘徊在許多有趣卻問題百出的研究方向上。這是一個(gè)重要的教訓(xùn)。沒有清楚的物理動(dòng)機(jī)或沒有指導(dǎo)性的物理繪景 ,純粹的數(shù)學(xué)概念有時(shí)會(huì)演變成投機(jī)活動(dòng)。

然而 ,這幾十年來(lái)高維理論并未完全迷失方向 ,因?yàn)橄癫闋査?·欣頓 (CharlesHinton)那樣的數(shù)學(xué)家兼神秘主義者想出了一些很機(jī)敏的方法 ,可以用來(lái)觀察第四維。最終 ,第四維度普遍的影響峰回路轉(zhuǎn) ,全面流行起來(lái)并再次影響了物理世界。

[1]這一事件很可能引發(fā)了黎曼早期對(duì)數(shù)論的興趣。幾年后 ,他對(duì)數(shù)論中涉及 zeta函數(shù) (ζ函數(shù) )的某些公式做出了一個(gè)著名的推測(cè)。世界上最偉大的科學(xué)家與 “黎曼假設(shè) ”搏斗了 100年,也沒能找到任何證明。我 們最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)也不能給我們提供任何線索。黎曼假設(shè)現(xiàn)已作為數(shù)論中 (或許所有的數(shù)學(xué)中)最著名的未被證明的定理載入史冊(cè)。貝爾曾指出, “無(wú)論是誰(shuí),只要能證明黎曼假設(shè)成立或不成立,都將獲得莫大的榮耀”。

[2]雖然黎曼被認(rèn)為是最終打破歐幾里得幾何限制的人,但發(fā)現(xiàn)高維幾何的人應(yīng)該是黎曼年邁的導(dǎo)師———高斯。

1817年,黎曼出生前將近 10年,高斯私下表達(dá)了他對(duì)歐幾里得幾何的深深不滿。在給他的朋友天文學(xué)家海因里?！W伯斯 (HeinrichOlbers)的預(yù)言信中,他明確指出歐幾里得幾何學(xué)在數(shù)學(xué)上是不完整的。

1869年,數(shù)學(xué)家杰姆斯 ·J.西爾維斯特 (JamesJ.Sylvester)記載,高斯曾認(rèn)真考慮過高維空間的可能性。高斯想象了可以完全生活在二維的紙張中 (他稱之為 “書蟲”)的生物的特性。然后他推廣這個(gè)概念到包括 “能夠認(rèn)識(shí)四維或更多維度空間的生物”。

人們也許會(huì)疑問,高斯在建立更高維度的理論上比其他人早10年,那為什么他又錯(cuò)過了打破三維歐幾里得幾何的歷史性機(jī)會(huì)呢?歷史學(xué)家注意到高斯在他的工作、政治和個(gè)人生活中具有非常保守的傾向。事實(shí)上,他從未離開過德國(guó),幾乎在一個(gè)城市度過了一生。這也影響了他的職業(yè)生涯。

1829年的一封透露性的信中,高斯向他的朋友弗里德里希 ·威廉·貝塞爾 (FriedrichBesel)承認(rèn),他永不會(huì)出版他關(guān)于非歐幾里得幾何的著作。因?yàn)楦咚购ε逻@會(huì)在 “愚蠢的人”中引起爭(zhēng)議。數(shù)學(xué)家莫里斯 ·克萊(Mor

isKline)寫道,“高斯在1829年1月27日寫給貝塞爾的信中說,他恩永遠(yuǎn)不會(huì)公布他在這個(gè)問題上的發(fā)現(xiàn),因?yàn)樗ε鲁靶??；蛉缢f,他害怕 ‘愚蠢的人’(比喻一個(gè)愚蠢的希臘部落)的吵鬧”。高斯很害怕老的、守舊的、狹隘的相信三個(gè)維度是神圣的 “愚蠢的人”,因此,他隱藏了他的一些最好的著作。

1869年,西爾維斯特在訪問了高斯的傳記作家薩特里厄斯 ·馮·瓦爾德斯豪森 (Sartoriusvon Waltershausen)后寫道, 這“個(gè)偉大的人常說,他把幾個(gè)已解析的論述過的問題擱置起來(lái),希望等到他的空間概念被擴(kuò)展時(shí)將它們應(yīng)用到將來(lái)出現(xiàn)的幾何方法中。因?yàn)?正如我們可以設(shè)想出只擁有二維空間概念的生命 (像一張無(wú)限薄的紙片上變得無(wú)限纖細(xì)的書蟲 ),我們也可以想象出能認(rèn)識(shí)四維或者更高維空間的生命”。

高斯寫信給奧爾伯斯,“我越來(lái)越相信,歐幾里得幾何的物理必然性 不能被證明,至少不能被人類的推理證明。也許其他的生命形式能夠洞察我們現(xiàn)在可望而不可即的空間的性質(zhì)。到那時(shí),我們一定不要把幾何和算數(shù)放在同一課堂上,而要把它和力學(xué)放在同一課堂上”。

事實(shí)上,高斯十分懷疑歐幾里得幾何,以至于他甚至進(jìn)行過一個(gè)巧妙的試驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)它。他和他的助理爬上三個(gè)山峰:羅肯山 (Rocken)、霍赫海根山 (Hohhgn)、英塞爾斯伯格山 Islbr)。站在其中一個(gè)山峰e(cuò)ae(neseg上,可以清楚地看到另外兩個(gè)山峰。在三個(gè)峰之間畫一個(gè)三角形可以實(shí)驗(yàn)測(cè)量三角形的內(nèi)角。如果歐幾里得幾何是正確的,那么內(nèi)角之和應(yīng)是 180度。讓他失望的是,他的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形的內(nèi)角之和正好是 180度 (正負(fù)15分)。他的測(cè)量設(shè)備的粗略性使他無(wú)法肯定地證明歐幾里得是錯(cuò)的。(今天,我們認(rèn)識(shí)到這個(gè)實(shí)驗(yàn)必須在三個(gè)不同星系之間測(cè)量才能檢測(cè)出可觀的偏離歐幾里得的結(jié)果。)我們還應(yīng)指出,數(shù)學(xué)家尼古拉斯 ·I.羅巴切夫斯基 (Nikolaus I.Lobachevski)和亞諾什·波利耶 (JanosBolyai)獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了定義在曲面上的非歐幾里得幾何。但是,它們的構(gòu)建僅局限于通常的低維上。

[3]英國(guó)數(shù)學(xué)家威廉 ·克利福德 (Wiliam Cliford)翻譯了黎曼在 1873年進(jìn)行的著名的 “自然”演講,放大了黎曼的很多學(xué)術(shù)思想。他也許是第一個(gè)將黎曼的思想擴(kuò)大為電磁力是由于空間的彎曲造成的的人。這也使得黎曼的工作具體化?？死５聭岩稍跀?shù)學(xué)和物理中發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)神秘現(xiàn)象———高維空間和電磁———實(shí)際上是同一件事情,即電磁力是由高維空間的彎曲引起的。

這是首次有人懷疑 “力”是由空間本身的彎曲所產(chǎn)生的,比愛因斯坦早了50年?？死５绿岢龅?“電磁力是由四維空間的振動(dòng)所引起”的思想也超前于試圖用高維解釋電磁力的卡魯扎?？死５潞屠杪A(yù)言了20世紀(jì)科學(xué)家的發(fā)現(xiàn),即高維空間的意義是,它能為力給出簡(jiǎn)單而優(yōu)雅的描述。首次有人正確地得出高維的真正的物理意義,即超空間理論實(shí)際給我們各種力的統(tǒng)一的描述。

數(shù)學(xué)家杰姆斯·西爾維斯特 (JamesSylvester)記錄了這些先知的觀點(diǎn),他在1869年寫到,“克利福德先生已沉迷于一些奇怪的推測(cè)之中,這些推測(cè)是,我們能否從某些無(wú)法理解的光和磁現(xiàn)象推斷出我們所在的三維空間正在四維空間中被扭曲……就像一張紙被皺褶而產(chǎn)生扭曲”。

1870年,在克利福德寫了一篇非常吸引人的文章——— “論物質(zhì)的空間 理論 ”。他在文章中明確地寫道 ,“空間曲率的變化在我們稱之為物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象 (無(wú)論是可測(cè)量的或是空靈的 )中確有發(fā)生 ”。

[4]更確切地說 ,在 N維中 g黎曼度規(guī)張量是一個(gè) N ×N矩陣 ,它確定了兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。比如兩個(gè)點(diǎn)之間的無(wú)窮小距離由 ds2=∑dxμgμγdxγ給出。在平展空間的極限情況下 ,黎曼度規(guī)張量變成對(duì)角線 ,即gμγ =δμγ ,因此該公式簡(jiǎn)化為 N維中的畢達(dá)哥拉斯定理 (勾股定理)。度規(guī)張量與 δμγ的偏差粗略地講是該空間偏離平面空間的度量。從度規(guī)張量可以構(gòu)造黎曼曲率張量 ,由 Rβα表示。μγ任何給定點(diǎn)上的空間曲率都可以通過在那個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓并測(cè)量圓內(nèi)的面積來(lái)確定。在平面二維空間中 ,圓的面積為 πr2。但是 ,如果曲率是正的,如在球體中 ,該面積小于 πr2。如果曲率是負(fù)的 ,如馬鞍或喇叭 ,該面積大于 πr2。嚴(yán)格地說 ,按照這個(gè)慣例 ,一張皺褶的紙的曲率是零。這是因?yàn)楫嬙谶@張皺褶紙上的圓面積仍然等于 πr2。在黎曼的由紙的皺褶產(chǎn)生力的這個(gè)例子中 ,我們隱含地假定了紙是扭曲的、伸展的、折疊的 ,因此曲率為非零。

[5]1917年,愛因斯坦的一個(gè)朋友物理學(xué)家保羅 ·埃倫費(fèi)斯特寫了一篇題為 “空間有三個(gè)維度的物理學(xué)定律以何種方式變得明了 ?”的文章。埃倫費(fèi)斯特問自己 ,行星是否可能在高維空間中。例如 ,我們離蠟燭越遠(yuǎn),蠟燭的光就會(huì)變得越暗淡。同理 ,當(dāng)我們距離星星越遠(yuǎn)時(shí) ,星星對(duì)我們的引力就變得越微弱。根據(jù)牛頓的說法 ,引力按照平方反比定律變?nèi)?。如果我們離開一個(gè)蠟燭或星星的距離增加 1倍,那么光線或引力就會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的 1/4。如果我們把距離增加 3倍,它就會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的 1/9。如果空間是四維的 ,那么燭光或重力會(huì)變?nèi)醯酶鼮檠杆?,將與三次方呈反比。將蠟燭或星星的距離增加 1倍會(huì)使?fàn)T光或引力變?yōu)樵瓉?lái)的 1/8。太陽(yáng)系能存在于這樣一個(gè)四維世界中嗎 ?在原則上是可以的 ,但這些太陽(yáng)系中的行星的運(yùn)行軌道會(huì)變得不穩(wěn)定。即便最微弱的震動(dòng)也會(huì)使行星的軌道坍縮。隨著時(shí)間的推移 ,所有的行星都會(huì)偏離通常的軌道 ,并墜入太陽(yáng)。同理 ,因?yàn)橐?huì)使太陽(yáng)被擠碎 ,所以太陽(yáng)也不可能存在于更高的維度。引力平衡了使太陽(yáng)分開的聚變力。因此 ,太陽(yáng)處在核力和引力之間的微妙的平衡狀態(tài) ,核力會(huì)使它爆炸 ,而引力將它凝聚到一個(gè)點(diǎn)上。在一個(gè) 更高維度的宇宙中,這種微妙的平衡將被破壞,恒星可能會(huì)自行坍縮。

[6]佐爾拉在1875年轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)唯心主義者,那時(shí)他訪問了克魯克斯的實(shí)驗(yàn)室。克魯克斯是元素鉈和陰極射線管的發(fā)明者和《科學(xué)學(xué)報(bào)》季刊編輯?？唆斂怂沟年帢O射線管為科學(xué)帶來(lái)了革命。人們看電視、使用電腦顯示器、玩視頻游戲、拍攝 X射線都應(yīng)感謝克魯克斯的著名的發(fā)明。反過來(lái),克魯克斯也不是怪人。事實(shí)上,他是英國(guó)科學(xué)界的一頭獅子。他獲得過各種各樣的專業(yè)榮譽(yù)。他在 1897年被封為爵士,在 1910年獲得勛章。他的弟弟菲利普在1867年因黃熱病不幸去世,這激發(fā)了他對(duì)靈性的探究興趣。他成了心理研究學(xué)會(huì)一個(gè)杰出的成員 (后來(lái)的主席),這個(gè)學(xué)會(huì)包括了數(shù)量驚人的19世紀(jì)末重要的科學(xué)家。

[7]想象在三維以上的空間中如何解開結(jié),設(shè)想兩個(gè)環(huán)交織在一起。現(xiàn)在取這個(gè)交織環(huán)構(gòu)型的二維橫截面,結(jié)果是一個(gè)環(huán)位于這個(gè)平面上,而另一個(gè)環(huán)成為了一個(gè)點(diǎn) (因?yàn)樗怪庇谄矫??，F(xiàn)在在圓中出現(xiàn)了一個(gè)點(diǎn)。在更高的維度,我們能夠?qū)⑦@個(gè)點(diǎn)自由移動(dòng),將它徹底移到圓的外面,無(wú)需切割環(huán)任何部位。這意味著兩個(gè)環(huán)現(xiàn)在已按照要求完全分離。這也意味著,在大于三維空間中的結(jié)總是可以解開的,因?yàn)橛?“足夠的空間”。但同時(shí)也需要注意,如果我們處在三維空間中,我們就不能把點(diǎn)從圓環(huán)中移走,這就是為什么結(jié)只有在三維空間中才處于成結(jié)狀態(tài)的原因。