高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的教學(xué)策略

張佩萍

(上海市建青實驗學(xué)校,上海201103)

作者簡介:張佩萍,上海市人,上海市建青實驗學(xué)校副校長,中學(xué)高級教師,主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

摘　要:　數(shù)學(xué),作為一門培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的學(xué)科,教師在抓好“備課、上課、作業(yè)、評價和輔導(dǎo)”這5個教學(xué)基本環(huán)節(jié)的同時,在教學(xué)中如何突出學(xué)生的主體地位、如何對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行引導(dǎo)和啟迪、如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維顯得尤為重要。為此,具體的教學(xué)策略表現(xiàn)為:在教學(xué)中應(yīng)充分揭示數(shù)學(xué)思維活動的過程;在教學(xué)中應(yīng)通過實踐活動促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí);在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動;在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)問題情景。

關(guān)鍵詞:　數(shù)學(xué)思維;學(xué)生主體地位;教學(xué)策略

新課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體、強調(diào)對學(xué)生創(chuàng)新意識和能力的培養(yǎng)、強調(diào)對學(xué)生的人文熏陶、重視情感教育。新課程理念指出:教學(xué)就是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行的學(xué)習(xí)活動,在師生之間、學(xué)生之間的積極交往和互動中,完成學(xué)習(xí)任務(wù),實現(xiàn)共同發(fā)展,是師生共同建構(gòu)的過程。它是在充分尊重、理解、相信學(xué)生的基礎(chǔ)上,尊重學(xué)生的原有知識和經(jīng)驗,順應(yīng)學(xué)生的自我發(fā)展,鼓勵學(xué)生的個性,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和自我探究的學(xué)習(xí)能力。數(shù)學(xué),作為一門培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的學(xué)科,教師在抓好“備課、上課、作業(yè)、評價和輔導(dǎo)”這5個教學(xué)基本環(huán)節(jié)的同時,在教學(xué)中如何突出學(xué)生的主體地位、如何對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行引導(dǎo)和啟迪、如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維顯得尤為重要,為此,有以下幾點教學(xué)策略:

一、在教學(xué)中應(yīng)充分揭示數(shù)學(xué)思維活動的過程

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中,教師應(yīng)充分揭示概念的形成、結(jié)論的推導(dǎo)、方法的思考、問題的發(fā)現(xiàn)、規(guī)律的揭示等思維活動的過程。由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不僅是知識的接收、貯存和應(yīng)用的過程,更重要的是思維訓(xùn)練和發(fā)展的過程,因此在教學(xué)中,師生雙方要盡可能多地暴露思維過程,在展示思維的過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生步步深入,激發(fā)學(xué)生的求知欲,培養(yǎng)探究問題的能力。

在教學(xué)中,有意搜集或編制一些學(xué)生易犯而又意識不到的錯誤解法,找出致誤原因,克服思維定勢,這樣可起到深化思維的作用。如:學(xué)好復(fù)數(shù)相等的概念之后,立即請學(xué)生做一道題:解方程x ²＋(2＋i)x＝3＋i,很多學(xué)生很快給出了如下解法,原方程可化為:(x 2＋2x-3)＋(x-1)i＝0,由復(fù)數(shù)為0的條件可得(x 2＋2x-3)＝0且(x-1)＝0,于是可以推出x＝1,當(dāng)教師告訴學(xué)生這種解法是錯誤時,學(xué)生會感到驚詫:“復(fù)數(shù)為0的條件不是實部與虛部同時為0嗎?怎么可能錯?”這時,教師可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真鉆研課本,正是由于解題時把x默認(rèn)為實數(shù)造成的,這就引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突,有助于他們對知識的正確理解和運用。

中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性,對于這些概念的教學(xué),教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過的概念屬性,然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景,引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn),嘗試給新概念下定義,這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建。如在高二?圓錐曲線?這一章的教學(xué)中,在學(xué)習(xí)“橢圓概念”時,可設(shè)計如下操作與問題:

操作1:取一條定長的細(xì)繩,把它的兩端都固定在圖板的同一點處,套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,這時筆尖(動點)畫出的軌跡是什么?

操作2:如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板的兩點處,套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,畫出的軌跡將會是什么曲線?

問題1:在這一過程中,你能說出移動筆尖(動點)滿足的幾何條件嗎?

問題2:操作2滿足的幾何條件與操作1(圓)滿足的幾何條件的區(qū)別與聯(lián)系是什么?

在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中力圖通過問題探究定義本質(zhì)特征,發(fā)現(xiàn)形成定義,由學(xué)生熟悉的圓的定義出發(fā)去探討動點的變化規(guī)律:橢圓上的點到兩定點的距離為定值,由學(xué)生觀察并概括,教師補充,整理成定義,為接下來根據(jù)橢圓的定義、推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、探究橢圓的幾何性質(zhì)奠定了良好的基礎(chǔ)。這樣的教學(xué)設(shè)計著眼于從條件的類比變化探究新曲線的產(chǎn)生,包含了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)散性思維,也滲透了數(shù)學(xué)研究的漸變式思想。在教師引導(dǎo)下,學(xué)生已經(jīng)在潛移默化中經(jīng)歷了一個重新認(rèn)識舊知、創(chuàng)新衍生新知的探究歷程。在橢圓概念的形成過程中,引導(dǎo)學(xué)生積極思維、主動探索,強調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的理解,體現(xiàn)了學(xué)生思維活動的同頻共振過程,這一切正是充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過程的自然結(jié)果。

在教學(xué)中,將一個知識點或一種方法發(fā)散為相關(guān)聯(lián)的多種問題給學(xué)生思考、討論,有利于學(xué)生知識的鞏固并舉一反三。例如,學(xué)完排列組合后,可讓學(xué)生討論如下題目:(1)6人平分為甲、乙、丙3組;(2)6人平分為3個組;(3)6本不同書分給甲、乙、丙3人,甲1本、乙2本、丙3本;(4)6本不同書分給甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本,求不同分法的種數(shù)。

學(xué)生學(xué)習(xí)的思維過程,就是由常規(guī)思維方法先形成積極的思維定勢,然后打破消極的思維定勢,逐步培養(yǎng)思維發(fā)散性和逆向性、廣闊性及創(chuàng)造性。這樣周而復(fù)始、潛移默化,能提高學(xué)生的思維品質(zhì)及能力。如果教師平時授課時,僅講一種題型,歸納一種解題方法,只能使學(xué)生循規(guī)蹈矩,只能停留在“學(xué)會”的水平,而達(dá)不到“會學(xué)”的境界,為此可在知識的深度、廣度上給予拓展,選編一部分源于課本、而高于課本且富于思考性的題目,促使學(xué)生形成創(chuàng)造性的思維。同時,教師要盡可能“少講”,以留出空間和時間來鼓勵學(xué)生“多講”,以充分揭示學(xué)生思維活動的過程。

二、在教學(xué)中應(yīng)通過實踐活動促學(xué)生主動學(xué)習(xí)

新課程背景下,課堂教學(xué)的本質(zhì)是為每一個學(xué)生提供多方面發(fā)展的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。因此,教師在教學(xué)中,要適時、恰當(dāng)?shù)剡\用多種教學(xué)手段并安排學(xué)生實踐操作,要善于引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)過程中的探討活動,讓學(xué)生在動手實踐、自主探究和合作交流的過程中,正確理解所學(xué)的概念、性質(zhì)、定律、法則和公式等含義,引導(dǎo)學(xué)生參與知識形成的活動過程,積極實施啟發(fā)式、討論式和開放式的教學(xué),促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)源于生活,生活中充滿著數(shù)學(xué)。所以,從數(shù)學(xué)的需要出發(fā),去激活學(xué)生的生活經(jīng)驗,挖掘數(shù)學(xué)知識的生活內(nèi)涵,捕捉生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行教學(xué),幫助學(xué)生在經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程中理解數(shù)學(xué)知識、有利于學(xué)生更快樂有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。教師要引導(dǎo)學(xué)生提出問題,因為“呈現(xiàn)問題”是學(xué)習(xí)的第一步,然后師生共同梳理、整合問題。同時,教師要在教學(xué)過程中,要讓學(xué)生在親自實踐操作中發(fā)現(xiàn)問題,使學(xué)生完全處于自主參與的過程中,享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂。

例如,高二學(xué)完數(shù)列及其相關(guān)知識后,可根據(jù)“助學(xué)(購房)貸款”的還款細(xì)節(jié)設(shè)計幾個不同層次的問題進(jìn)行研究,供學(xué)生探究,加深理解數(shù)列的構(gòu)成特征及其實際意義。學(xué)習(xí)“函數(shù)單調(diào)性”前,可通過一張股票走勢圖,引導(dǎo)學(xué)生有興趣地進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情景。

再如,某校距浦東國際機場52公里,根據(jù)上海市出租車計價方法,問乘出租車最少需要多少車費?你還有什么更好的“打的”策略?要解決第一個問題,首先要建立函數(shù)模型(分段函數(shù)),再計算出車費。對于你還有什么更好的“打的”策略這一問題,學(xué)生會想到可以先乘出租車一段后下車換乘另一輛,充分用足起步價(當(dāng)然,也有學(xué)生會提出在高架上不能下車怎么辦?這樣的提問活躍了課堂氣氛)。這些來源于實際生活中的問題,能夠調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)激情。

三、在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動

教師要由“重教”轉(zhuǎn)為“重學(xué)”,要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)活動,切實關(guān)注怎樣幫助學(xué)生自己進(jìn)行知識建構(gòu),怎樣指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí),怎樣培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和探究能力等,以體現(xiàn)“教”為“學(xué)”服務(wù)。

例如,在高二“數(shù)列極限概念”的教學(xué)中,可設(shè)計如下問題,讓學(xué)生充分討論、交流。請他們觀察下列數(shù)列{a _n},當(dāng)數(shù)列的項數(shù)n無限增大時,a _n的變化趨勢如何?

學(xué)生通過討論、交流發(fā)現(xiàn)(1)、(2)、(5)、(6)、(7)幾個數(shù)列。當(dāng)項數(shù)n無限增大時,a _n無限趨近于一個數(shù)(0和1)。數(shù)列(3)雖然時而為正,時而為負(fù),但它是趨于穩(wěn)定的變化狀態(tài),即當(dāng)項數(shù)n無限增大時,無限趨近于0。概括出了這6個數(shù)列的共同特征后,再回過頭看(4)、(8)兩個數(shù)列,體會它們的極限為什么不存在,使學(xué)生對數(shù)列極限概念的理解更準(zhǔn)確。

數(shù)學(xué)概念是抽象的,但對數(shù)學(xué)概念的理解又是具體的。從特殊例子抽象到一般概念時,可以降低學(xué)生理解的難度。學(xué)生在上述討論、交流的過程中可以發(fā)現(xiàn)某些數(shù)列蘊含著共同規(guī)律,使自己的認(rèn)識由感性上升到理性,以加深對數(shù)列極限概念的理解。在數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)節(jié)點上,通過這樣的辨析、討論,有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”中探求規(guī)律,逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì),激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性,提高其數(shù)學(xué)素質(zhì),從而真正把對能力的培養(yǎng)落到實處。

四、在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)問題情景

教學(xué)情境是教師為了支持學(xué)生的學(xué)習(xí),根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容有目的地創(chuàng)設(shè)的教學(xué)時空和教學(xué)環(huán)境。美國著名學(xué)者布魯巴克說過:“最精湛的教學(xué)藝術(shù),遵循的最高準(zhǔn)則就是讓學(xué)生自己提出問題?！迸囵B(yǎng)學(xué)生“提出問題”的意識的關(guān)鍵是要有一個民主和諧的教育教學(xué)環(huán)境,教師要有意識地創(chuàng)設(shè)這種環(huán)境,讓學(xué)生在情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,在理解情境的情節(jié)與內(nèi)容的基礎(chǔ)上通過聯(lián)想與識別找到解決問題的方法。教師要注意適時選擇以學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ),以日常生活、生產(chǎn)實際為背景,設(shè)置有一定容量和開放度的問題,由教師和學(xué)生共同提出問題,引起矛盾,激發(fā)探究動機,明確探究目標(biāo)。同時,教師的提問還應(yīng)具有層次性,有利于不同水平的學(xué)生思考和探究,更要有明確的指向性,有利于學(xué)生開展議論并理解數(shù)學(xué)。

例如,在高一“周期函數(shù)概念”的教學(xué)中,考慮到“周期函數(shù)”是反映現(xiàn)實世界中周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,所以可以在“周期函數(shù)”概念引入先前設(shè)計幾個生活中的實例,比如,四季更替、潮起潮落,使學(xué)生理解“周期性現(xiàn)象”是一類重要的自然現(xiàn)象,普遍存在于我們的周圍,又如“星期”每過7天就重復(fù)出現(xiàn)一次,今天是星期三,7天前、7天后、14天前、14天后……也是星期三。為了保護(hù)視力,學(xué)生們的座位每周以組為單位輪換一次, 4個星期(即28天)后又回到了原來的位置,這樣有規(guī)律性的重復(fù)就是周期性現(xiàn)象。從而引出周期函數(shù)的概念。概念引入后,還可以設(shè)計周期T為何不等于零?(T＝0,無研究的價值);今天是15日,以后還會有15日嗎?以前有過15日嗎?它們之間相隔幾天?(使學(xué)生明確定義中的周期T必須是常數(shù))等幾個層層遞進(jìn)的問題,讓學(xué)生討論、交流,以揭示其本質(zhì)屬性,使學(xué)生真正理解概念。

再如,在高二“算法初步”這一章的教學(xué)中,可以創(chuàng)設(shè)如下情境:編一個程序,交換兩個變量A和B的值,并輸出交換后的值(也就是如何交換A,B的值)。

學(xué)生:輸入A,輸入B,然后A＝B,B＝A。

教師:這個問題就如同日常生活中的兩瓶紅、黑墨水,你想交換兩者,可不可以直接把黑的倒到紅的瓶里,再倒回來?必須要借助空瓶才可實現(xiàn)交換,所以這里也應(yīng)該引進(jìn)一個變量T。首先把紅墨水倒入空瓶T中,再把黑墨水倒入原先裝有紅墨水的瓶中,最后把空瓶T中的紅墨水倒入原先裝有黑墨水的瓶中。因此上述A與B的交換問題可抽象為數(shù)學(xué)符號語言:T＝A,A＝B,B＝T。

情境的創(chuàng)設(shè)貫穿于一堂課的始終,其方法和途徑也是多種多樣的。創(chuàng)設(shè)情境雖不是目的,但沒有情境的創(chuàng)設(shè),就很難激活學(xué)生的思維。因此,教師必須精心創(chuàng)設(shè)問題情景,使之成為課堂教學(xué)的催化劑。教師在創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)情境時,必須對學(xué)生的身心特點、知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮,對可用的情境進(jìn)行比較,選擇具有較好的教育功能的情境。要以問題為軸線組織教學(xué)活動,以學(xué)生作為提出問題的主體,因此,如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。教學(xué)實驗表明,學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問題,不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響,還受其所處的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此,教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)教學(xué)情境,而且要真正轉(zhuǎn)變對學(xué)生提問的態(tài)度,提高引導(dǎo)水平,一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問題,另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問題。教師還要積極引導(dǎo)學(xué)生對所提的問題進(jìn)行分析、整理,篩選出有價值的問題,注意啟發(fā)學(xué)生揭示問題的數(shù)學(xué)實質(zhì),將提問引向深入。

學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)對數(shù)學(xué)教師而言是一項緊迫而又意義深遠(yuǎn)的任務(wù),任重而道遠(yuǎn)。作為一名教育實踐者,還有很多方法要探索、很多策略需嘗試。例如,在教學(xué)中如何充分暴露學(xué)生的思維,然后設(shè)置疑難和問題,展開討論?針對某一教學(xué)目標(biāo),如何留出相應(yīng)的時間和空間讓學(xué)生思考,而建構(gòu)自己對數(shù)學(xué)的理解?如何根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平的差異進(jìn)行因材施教?

實踐(動手)操作、自主探究、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的重要方法。教師要重視接受性學(xué)習(xí)和其他學(xué)習(xí)方式的平衡兼顧,倡導(dǎo)多種學(xué)習(xí)方式的有機結(jié)合,適當(dāng)運用多種教學(xué)方式和策略來組合實施教學(xué),在教學(xué)中要充分揭示數(shù)學(xué)思維活動的過程、盡量通過實踐活動促學(xué)生主動學(xué)習(xí)、多創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動和問題情景,使學(xué)生在操作、探究、提問、質(zhì)疑、交流的教學(xué)環(huán)境中,體驗數(shù)學(xué)概念的抽象和概括過程、基本原理的歸納過程、解題思路的探索和分析過程、基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和總結(jié)過程、數(shù)學(xué)模型的建立、求解和解釋過程,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

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Teaching Strategies of Mathematics Thinking Training in High School

ZHANG Peifu

(Shanghai Jianqing Experimental School, Shanghai 201103)

Abstract:New Curriculum noted that mathematics as a discipline of training students’logical thinking, teachers should take good control of“preparation, attend class, student work, evaluate and tutorship.”At the same time, how to highlight students’main body status in teaching, how to guide the students’mathematics study and enlightenment, and how to cultivate students’mathematical thinking are especially important.The teaching strategies are that teachers should show the process of the thinking, and teachers should encourage students to independent study, and teachers should create learning situations to improve the students’Mathematics study.

Key words: mathematical thinking, students’main status, teaching strategies