亞歷山大階段是古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的“黃金時(shí)代”，這時(shí)期的數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了追求推理論證和密切聯(lián)系實(shí)際的傾向。歐幾里得（約公元前330年—前275年）在古代豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，對(duì)客觀世界的空間關(guān)系進(jìn)行了高度的抽象，使古老的“測(cè)地術(shù)”形成一門(mén)理性科學(xué)——幾何學(xué)，成為古希臘科學(xué)的主要標(biāo)志。

在《幾何原本》中，歐幾里得首先嚴(yán)格定義了點(diǎn)、線、面、圓等基本概念，接著精心選擇了無(wú)法再少的10個(gè)命題，并采用亞里士多德關(guān)于公理和公設(shè)的區(qū)分（即公理適用于一切科學(xué)，而公設(shè)只適用于幾何學(xué)），把它們列為不證自明的5個(gè)公理和5個(gè)公設(shè)，然后從這些定義、公理和公設(shè)出發(fā)，循序漸進(jìn)、有條不紊地推演出467個(gè)命題，構(gòu)成了一個(gè)完整的邏輯演繹體系。

歐幾里得給出一些基本概念的定義如下：^[9]

點(diǎn)是沒(méi)有部分的。

線只有長(zhǎng)度而沒(méi)有寬度。

一線的兩端是點(diǎn)。

直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線。

面只有長(zhǎng)度和寬度，面的邊緣是線。

平面是它上面的線一樣地平放著的面。

平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度。

當(dāng)包含角的兩條線都是直線時(shí)，這個(gè)角叫作直線角。

當(dāng)一條直線和另一條橫的直線交成的鄰角彼此相等時(shí)，這些角的每一個(gè)被叫作直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線。

大于直角的角叫作鈍角。

小于直角的角叫作銳角。

邊界是物體的邊緣。

圖形是被一個(gè)邊界或幾個(gè)邊界所圍成的。

圓是由一條線包圍成的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線上的點(diǎn)連接成的所有線段都相等，這個(gè)點(diǎn)叫作圓心。

圓的直徑是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線在兩個(gè)方向被圓周截得的線段，且把圓二等分。

半圓是直徑和由它截得的圓弧所圍成的圖形，而且半圓的心與圓心相同。

直線形是由直線圍成的，三邊形是出三條直線圍成的，四邊形是由四條直線圍成的，多邊形是由四條以上直線圍成的。

在三邊形中，三條邊相等的，叫作等邊三角形；只有兩條邊相等的，叫作等腰三角形；各邊不等的，叫作不等邊三角形。

在三邊形中，有一個(gè)角是直角的。叫作直角三角形；有一個(gè)角是鈍角的，叫作鈍角三角形；有兩個(gè)角是銳角的，叫作銳角三角形。

在四邊形中，四邊相等且四個(gè)角是直角的，叫作正方形；角是直角，但四邊不全相等的，叫作長(zhǎng)方形；四邊相等，但角不是直角的，叫作菱形；對(duì)角相等且對(duì)邊也相等，但邊不全相等且角不是直角的，叫作斜方形；其余的四邊形叫作不規(guī)則四邊形。

平行直線是在同一平面內(nèi)的直線，向兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)，在不論哪個(gè)方向它們都不相交。

歐幾里得承認(rèn)的五條公理如下：^[10]

等于同量的量彼此相等的。

等量加等量，其和仍相等。

等量減等量，其差仍相等。

彼此能重合的物體是全等的。

整體大于部分。

歐幾里得給出了五個(gè)公設(shè)如下：^[11]

任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫(huà)直線。

一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng)。

以任意點(diǎn)為心及任意的距離可以畫(huà)圓。

凡直角都彼此相等。

同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于二直角的和，則這二直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交。

歐幾里得第5公設(shè)，是現(xiàn)行平面幾何中的平行公理——“過(guò)給定直線外的一點(diǎn)，至多存在一條直線與給定直線不相交”——的原始等價(jià)命題。

《幾何原本》共十三篇。第一篇講直邊形，包括全等定理、平行定理、畢達(dá)哥拉斯定理、初等作圖法等；第二篇講用幾何方法解代數(shù)問(wèn)題，即用幾何方法做加減乘除法，包括求面積、體積等；第三篇講圓，討論了弦、切線、割線、圓心角、圓周角的一些性質(zhì)；第四篇仍講圓，主要講圓的內(nèi)接和外切圖形；第五篇是比例論；第六篇運(yùn)用已經(jīng)建立的比例論討論相似形；第七、八、九、十篇繼續(xù)討論數(shù)論，第十一、十二、十三篇講立體幾何，其中第十二篇主要討論窮竭法，這是近代微積分思想的早期來(lái)源。全部十三篇幾乎包括了今日初等幾何課程中的所有內(nèi)容?！?/p>

幾何原本》集希臘古典數(shù)學(xué)之大成，構(gòu)造了世界數(shù)學(xué)史上第一個(gè)宏偉的演繹系統(tǒng)，對(duì)后世數(shù)學(xué)的發(fā)展起了不可估量的推動(dòng)作用。同時(shí)，它又是一本出色的教科書(shū)，以至毫不變動(dòng)地被使用了2000多年，至今中學(xué)教材中的幾何學(xué)內(nèi)容仍與《幾何原本》的內(nèi)容基本一致。在西方歷史上，也許只有《圣經(jīng)》在抄本數(shù)和印刷數(shù)可與之相比。我國(guó)明代杰出的科學(xué)家徐光啟于1607年與傳教士利馬竇合作譯出了《幾何原本》的前六卷，這是我國(guó)最早的譯本，“幾何”一詞與“幾何原本”這一書(shū)名，都是徐光啟第一次使用的。