1908年，當(dāng)閔可夫斯基（Hermann Minkowski）——著名數(shù)學(xué)家，偶然成了愛(ài)因斯坦在蘇黎世理工大學(xué)的老師——證明他能把狹義相對(duì)論的基本概念精煉成一種非同尋常的4維幾何時(shí)，愛(ài)因斯坦對(duì)那種想法并沒(méi)多大熱情?？墒呛髞?lái)他認(rèn)識(shí)了閔可夫斯基的時(shí)空幾何觀的舉足輕重的意義。實(shí)際上，他自己對(duì)閔氏思想的推廣，構(gòu)成了他的廣義相對(duì)論彎曲時(shí)空基礎(chǔ)的基本要素。

閔氏的4維空間包容了標(biāo)準(zhǔn)的3維空間和一個(gè)描述時(shí)間流的第4維。于是，這個(gè)4維空間的點(diǎn)通常代表一個(gè)事件，因?yàn)槿魏我粋€(gè)那樣的點(diǎn)不但有空間的規(guī)定，也有時(shí)間的規(guī)定。就這個(gè)概念本身來(lái)說(shuō)，真沒(méi)什么太革命的東西。但閔氏思想——那可是真革命——的關(guān)鍵在于，他的4維空間幾何并不自然分解為一個(gè)時(shí)間維和（更重要的）一系列對(duì)應(yīng)于給定時(shí)刻的普通3維歐幾里得空間。相反，閔氏時(shí)空有著不同的幾何結(jié)構(gòu)，奇妙地融合了歐幾里得的古老幾何思想。它實(shí)際上是時(shí)空的整體幾何，將時(shí)空編織為一個(gè)不可分割的整體，完全概化了愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論的結(jié)構(gòu)。

于是，在閔氏的4維幾何里，我們不再將時(shí)空看作一串3維曲面——每個(gè)面代表不同時(shí)刻的一個(gè)“空間”——的簡(jiǎn)單疊加（圖2.10）。在那樣的解釋里，每個(gè)那樣的3維曲面都描述了一組應(yīng)該認(rèn)為是同時(shí)發(fā)生的事件。在狹義相對(duì)論中，空間分離的事件的“同時(shí)”，沒(méi)有絕對(duì)的意義。相反，“同時(shí)性”依賴于某個(gè)任意選擇的觀測(cè)者的速度。

當(dāng)然，這是與我們的尋常經(jīng)驗(yàn)沖突的，因?yàn)槲覀兯坪跽娴陌l(fā)現(xiàn)相隔遙遠(yuǎn)的事件有一個(gè)獨(dú)立于我們速度的同時(shí)性。但（根據(jù)愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論）如果我們以堪比光速的速度運(yùn)動(dòng)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們看來(lái)同時(shí)的事件對(duì)其他不同速度的觀測(cè)者來(lái)說(shuō)通常都不是同時(shí)的。而且，就非常遙遠(yuǎn)的事件來(lái)說(shuō)，速度不需要很大。例如，兩人在同一條路上沿相反方向散步，在他們走過(guò)對(duì)方的時(shí)刻，他們認(rèn)為仙女座星系同時(shí)發(fā)生了若干事件，但那些事件其實(shí)可能相隔幾個(gè)星期（見(jiàn)圖2.11）！[2.25]

圖2.10　閔可夫斯基之前的時(shí)空。

根據(jù)相對(duì)論，“同時(shí)性”概念對(duì)遙遠(yuǎn)事件來(lái)說(shuō)不是絕對(duì)的，而依賴于具體觀測(cè)者的速度。所以，將時(shí)空分解為一系列同時(shí)的3維空間是主觀的事情，因?yàn)閷?duì)觀測(cè)者的不同速度可以得到不同的分解。閔氏時(shí)空實(shí)現(xiàn)了一種客觀的幾何，不依賴于任何觀測(cè)者的視點(diǎn)，而且不隨觀測(cè)者的改變而改變。從一定意義說(shuō)，閔可夫斯基做的就是將“相對(duì)性”從狹義相對(duì)論中拿走，為我們呈現(xiàn)一幅絕對(duì)的時(shí)空活動(dòng)的圖景。

圖2.11　兩個(gè)漫步者從對(duì)方面前走過(guò)，在兩人看來(lái)他們相互經(jīng)過(guò)的事件X是同時(shí)的，而做出這個(gè)判斷的依據(jù)卻是仙女座星系中間隔幾個(gè)星期的不同事件。

圖2.12（a）閔氏4維空間中p的零錐；（b）未來(lái)錐的3維描述是原點(diǎn)在p的一系列膨脹的同心球。

愛(ài)因斯坦的理論告訴我們，任何有質(zhì)量粒子的速度一定總是小于光速。用時(shí)空?qǐng)D來(lái)說(shuō)，這意味著這種粒子的世界線——構(gòu)成粒子歷史的所有事件的軌跡——必然引向它的每個(gè)事件的零錐內(nèi)部，如圖2.13。粒子也可能在世界線的某些地方加速，那時(shí)它的世界線不會(huì)是直線；從時(shí)空?qǐng)D看，加速度表示為世界線的曲率。在世界線彎曲的地方，則世界線的切向量必然處于零錐內(nèi)部。如果粒子無(wú)質(zhì)量，[2.28]如光子，那么它的世界線必然沿著每一點(diǎn)的零錐的表面，因?yàn)樗诿總€(gè)事件中的速度其實(shí)就是光速。

圖2.13　中均勻分布的零錐。有質(zhì)量粒子的世界線都引向錐的內(nèi)部，而無(wú)質(zhì)量粒子的世界線沿著錐的表面。

的幾何是完全均勻的，每個(gè)事件都是平等的。但當(dāng)我們過(guò)渡到愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論時(shí)，這種均勻性就普遍地失去了。不過(guò)，我們還可以為零錐賦予連續(xù)的時(shí)間方向，任何有質(zhì)量粒子的世界線的未來(lái)方向的切向量仍然處于未來(lái)零錐內(nèi)。而且，和前面一樣，無(wú)質(zhì)量粒子（光子）的世界線的切向量都沿著零錐表面。在圖2.14中，我描繪了廣義相對(duì)論的這種情形，其中零錐不再是均勻分布的。

圖2.14　廣義相對(duì)論中的非均勻零錐。

我們得試著想象這些錐畫在某種印有零錐的理想“橡皮膜”上。我們可以在橡皮膜上任意活動(dòng)，也能以任意方式扭曲它，只要變形是光滑的，零錐保持在膜上。我們的零錐決定了事件之間的“因果結(jié)構(gòu)”，這是任何形變都改變不了的——只要我們認(rèn)為橡皮膜一直帶著這些錐。

2.1節(jié)圖2.3（c）的埃舍爾的雙曲面呈現(xiàn)了類似的情景，在那兒我們可以想象埃舍爾的畫就印在這種理想的橡皮膜上。我們可以讓一個(gè)接近邊界的魔鬼活動(dòng)，通過(guò)這種變形，它來(lái)到先前被中心附近的魔鬼占據(jù)的位置?？梢酝ㄟ^(guò)這種運(yùn)動(dòng)將所有的魔鬼移到先前被其他魔鬼占據(jù)的位置，而且這種運(yùn)動(dòng)也將描述埃舍爾圖畫表現(xiàn)的雙曲幾何的一種基本的對(duì)稱性。在廣義相對(duì)論中，這種對(duì)稱性也會(huì)出現(xiàn)（和2.1節(jié)描述的弗里德曼模型一樣），但是相當(dāng)例外。然而，能夠?qū)崿F(xiàn)這種“橡皮膜”變形，正是廣義相對(duì)論的基本組成部分，被稱作“微分同胚”（或“一般坐標(biāo)變換”）。關(guān)鍵是這種變形一點(diǎn)兒也不會(huì)改變物理狀態(tài)?！耙话銋f(xié)變性”原理作為愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的基石，所說(shuō)的就是我們構(gòu)建物理學(xué)定律時(shí)要用這種“橡皮膜變形”（“微分同胚”）的方式，它不會(huì)改變空間及其內(nèi)容的物理意義和性質(zhì)。

這并不是說(shuō)所有幾何結(jié)構(gòu)都失去了，我們空間剩下的唯一幾何或許就是它的拓?fù)湫再|(zhì)之類的東西（實(shí)際上，拓?fù)鋵W(xué)有時(shí)就被稱為“橡皮膜幾何”，它看茶杯的表面和環(huán)面是一樣的，等等）。但我們必須用心確定需要什么結(jié)構(gòu)。流形一詞常用來(lái)描述這種有著確定有限維的空間（我們可以說(shuō)有n個(gè)空間維的流形為n-流形），它是光滑的，但除了光滑和拓?fù)涠?，不必賦予任何其他結(jié)構(gòu)。在雙曲幾何的情形，流形其實(shí)還被賦予了度規(guī)的概念。度規(guī)是一個(gè)數(shù)學(xué)“張量”（見(jiàn)2.6節(jié)），常用字母g表示，可以認(rèn)為它為空間中任何有限光滑的曲線賦予了長(zhǎng)度。[2.30]構(gòu)成這種流形的“橡皮膜”的任何變形都帶著連接兩點(diǎn)p, q的任何曲線（p, q也跟著變形），而度規(guī)g賦予的連接p和q的曲線段的長(zhǎng)度應(yīng)該不受那種變形的影響（從這個(gè)意義說(shuō)，g也是“跟著”變形走的）。

長(zhǎng)度概念還蘊(yùn)涵著直線概念，即所謂的測(cè)地線，這種直線l的特征在于對(duì)線上的任意兩個(gè)分離不太遠(yuǎn)的點(diǎn)p和q，從p到q的最短曲線（在g所賦予的長(zhǎng)度意義上）實(shí)際上就等于l的pq部分的長(zhǎng)度，見(jiàn)圖2.15。（在這個(gè)意義上，測(cè)地線提供了“兩點(diǎn)間的最短路徑”。）我們還可以定義兩條光滑曲線之間的角度（一旦g定了，這也就決定了），于是，當(dāng)g給定時(shí)，我們也就有了普通的幾何概念。不過(guò)，這個(gè)幾何通常不同于我們熟悉的歐幾里得幾何。

圖2.15　度規(guī)g為曲線賦予長(zhǎng)度和角度，測(cè)地線l提供了度規(guī)g下的“p和q點(diǎn)之間的最短路徑”。

于是，埃舍爾的雙曲幾何圖像[圖2.3（c），貝爾特拉米-龐家勒的共形表示]也有它的直線（測(cè)地線）。通過(guò)圖形背景的歐幾里得幾何，這些測(cè)地線可以理解為與邊界圓呈直角相交的圓?。ㄒ?jiàn)圖2.16）。令a和b是經(jīng)過(guò)兩個(gè)給定點(diǎn)p和q的弧線的端點(diǎn)，那么p和q之間的雙曲g-距離等于

圖2.16　在雙曲面的共形表示中，“直線”（測(cè)地線）是與邊界圓周交于直角的圓弧。

其中l(wèi)n是自然對(duì)數(shù)（1.2節(jié)中常用對(duì)數(shù)lg的2.302585……倍），“｜qa｜”等代表背景空間的普通歐幾里得距離，C是正常數(shù)，叫雙曲空間的偽半徑。

但是，我們可以不管g確定的結(jié)構(gòu)而賦予某個(gè)其他類型的幾何。我們這兒最關(guān)心的就是所謂的共形幾何。這種結(jié)構(gòu)可以度量?jī)蓷l光滑曲線在任一點(diǎn)相交的角度，但“距離”或“長(zhǎng)度”的概念是不確定的。前面說(shuō)過(guò)，角度的概念其實(shí)是由g決定的，但g本身卻不能由角度概念來(lái)決定。雖然共形結(jié)構(gòu)不能確定長(zhǎng)度的量，卻能決定任何一點(diǎn)處不同方向的長(zhǎng)度之間的比值——所以它決定了無(wú)窮小的形狀。我們可以將不同點(diǎn)的長(zhǎng)度重新度量（放大或縮?。┒粫?huì)改變共形結(jié)構(gòu)（見(jiàn)圖2.17）。我們記重新度量為其中Ω是定義在每一點(diǎn)的正實(shí)數(shù)，在空間光滑變化。于是，不論Ω的取值如何，g和Ω2g決定了同一個(gè)共形結(jié)構(gòu)，但g和Ω2g有不同的度規(guī)結(jié)構(gòu)（如果Ω≠1），這里Ω是尺度變化因子。再看埃舍爾的圖2.3（c），我們發(fā)現(xiàn)雙曲面的共形結(jié)構(gòu)（不是度規(guī)結(jié)構(gòu)）其實(shí)等同于歐幾里得空間在邊界圓的內(nèi)部，但不同于整個(gè)歐幾里得平面的共形結(jié)構(gòu)。

圖2.17　共形結(jié)構(gòu)不確定長(zhǎng)度的度量，但通過(guò)任何一點(diǎn)在不同方向的長(zhǎng)度之比確定了角度。長(zhǎng)度可以在不同的點(diǎn)重新度量（放大或縮小），而不會(huì)影響共形結(jié)構(gòu)。

對(duì)我們的時(shí)空幾何來(lái)說(shuō)，這些思想仍然實(shí)用，但也有一些重要差別，原因在于閔可夫斯基對(duì)歐幾里得幾何概念的“扭曲”。這所謂“扭曲”就是數(shù)學(xué)家指的度規(guī)符號(hào)的改變。用代數(shù)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，其實(shí)就是幾個(gè)“+”號(hào)變成了“-”號(hào)，它主要告訴我們，對(duì)n維空間來(lái)說(shuō)，n個(gè)相互垂直的一組方向里，有多少被看作是“類時(shí)”的（在零錐內(nèi)部），有多少是“類空”的（在零錐外面）。在歐幾里得幾何和它彎曲形式的黎曼幾何中，我們認(rèn)為所有方向都是類空的?！皶r(shí)空”的通常概念只包含一個(gè)類時(shí)方向，在這樣的正交集中其余方向都是類空的。如果空間是平直的，我們稱它為閔可夫斯基空間，如果空間是彎曲的，我們稱它為洛侖茲（Lorentzian）空間。對(duì)我們考察的通常的時(shí)空類型（洛侖茲空間），n=4，符號(hào)是“1+3”，將我們的4個(gè)相互正交的方向分解為1個(gè)類時(shí)方向和3個(gè)類空方向。類空方向（或類時(shí)方向，假如多于1個(gè)）之間的“正交”意思是“交于直角”，而類空與類時(shí)方向之間的正交從幾何上看更像圖2.18描繪的情形，正交方向?qū)ΨQ地與它們之間的零錐方向相連。從物理上講，世界線沿類時(shí)方向的觀測(cè)者認(rèn)為在與他正交的類空方向發(fā)生的事件都是同時(shí)的。

圖2.18　歐幾里得圖像表示的類空和類時(shí)方向在洛倫茲時(shí)空里的“正交”，其中零錐是直角的。

在尋常的（歐幾里得或黎曼）幾何里，我們慣于用空間間隔來(lái)考慮長(zhǎng)度，而那間隔可以用一根直尺來(lái)度量。但在（歐幾里得或黎曼）時(shí)空里，直尺是什么呢？是一根帶子，乍看起來(lái)并不像用來(lái)測(cè)量?jī)蓚€(gè)事件p和q之間的空間間隔的東西，如圖2.19。我們可以將p放到帶子的一邊，而把q放到另一邊。我們還可以假定那個(gè)直尺很窄，而且沒(méi)有加速，從而愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的（洛侖茲的）曲率效應(yīng)就無(wú)關(guān)緊要，用狹義相對(duì)論就足以應(yīng)對(duì)。但是根據(jù)狹義相對(duì)論，如果要直尺子度量的距離正確給出p和q之間的時(shí)空間隔，我們必須要求事件相對(duì)于直尺的靜止坐標(biāo)系是同時(shí)發(fā)生的。在直尺的靜止坐標(biāo)系中，我們?nèi)绾未_保事件真正是同時(shí)的呢？是啊，我們可以用愛(ài)因斯坦最初的論證方法。他更多的是用勻速運(yùn)動(dòng)的火車而不是直尺來(lái)思考——那么現(xiàn)在我們也那樣來(lái)討論。

圖2.1　9點(diǎn)p和q在中的類空間隔不能直接用2維的帶子來(lái)測(cè)量。

令發(fā)生事件p的火車（直尺）的一端為車頭，而q的一端為車尾。想象車頭有一個(gè)觀測(cè)者，從事件r向車尾發(fā)出一個(gè)光信號(hào)，達(dá)到那兒的時(shí)刻恰好發(fā)生事件q；信號(hào)立刻反射回車頭，在事件s被觀測(cè)者接收，見(jiàn)圖2.20。于是，假如p在發(fā)射和接收信號(hào)的中間時(shí)刻，即從r到p的時(shí)間間隔恰好等于從p到s的時(shí)間間隔，那么觀測(cè)者可以判斷q與p在火車的靜止坐標(biāo)系里是同時(shí)的。這時(shí)（也僅僅在這時(shí)），火車（即直尺）的長(zhǎng)度恰好等于p和q的空間間隔。

圖2.20　只有當(dāng)pq同時(shí)，火車（直尺）才能度量距離pq，所以我們需要光信號(hào)和時(shí)鐘。

我們看到，這不但比簡(jiǎn)單“拿尺子”量?jī)蓚€(gè)事件的空間間隔要復(fù)雜一些，而且觀測(cè)者實(shí)際測(cè)量的是時(shí)間間隔rp和ps。這些（相等的）時(shí)間間隔直接提供了我們需要確定的空間間隔pq的度量（用光速為1的單位）。這說(shuō)明了時(shí)空度量的關(guān)鍵事實(shí)，即它更多的是與時(shí)間（而非距離）的測(cè)量有著直接的關(guān)系。它不是度量曲線的長(zhǎng)度，而是直接為我們提供時(shí)間的度量。而且，被賦予時(shí)間度量的并非都是曲線：只有所謂的因果曲線才可能是粒子的世界線，這些曲線處處是類時(shí)的（切向量在零錐內(nèi)部，是有質(zhì)量粒子的路徑）或零的（切向量沿著零錐表面，是無(wú)質(zhì)量粒子的路徑）。時(shí)空度規(guī)g的作用是為任何因果曲線的有限線段賦予時(shí)間度量（對(duì)零曲線的任何部分，時(shí)間度量的貢獻(xiàn)為零）。在這個(gè)意義上，正如愛(ài)爾蘭著名相對(duì)論專家辛格（John L.Synge）建議的[2.31]，時(shí)空度規(guī)具有的“幾何”不是“測(cè)地”（geometry）的，而是“測(cè)時(shí)的”（“chronometry”）。

因?yàn)檎麄€(gè)理論依賴于以自然方式定義的度規(guī)g，[2.32]所以對(duì)廣義相對(duì)論的物理學(xué)基礎(chǔ)來(lái)說(shuō)，重要的是大自然真的存在基本水平的超精確時(shí)鐘。實(shí)際上，這個(gè)時(shí)間度量對(duì)物理學(xué)來(lái)說(shuō)也是相當(dāng)核心的問(wèn)題，因?yàn)槲覀兛梢悦鞔_地說(shuō)，任何一個(gè)（穩(wěn)定的）有質(zhì)量粒子都充當(dāng)著幾乎完美的時(shí)鐘。如果粒子質(zhì)量為m（假定是常數(shù)），那么我們從愛(ài)因斯坦的著名公式可以看到它有一個(gè)靜止能量E：[2.33]

E=mc2

這是相對(duì)論的基本結(jié)果。另一個(gè)幾乎同樣著名的公式——量子論的基本公式——是普朗克公式

E=hν

（h是普朗克常數(shù)），它告訴我們粒子的靜止能量定義了一個(gè)特別的量子振動(dòng)的頻率ν（見(jiàn)圖2.21）。換句話說(shuō)，任何穩(wěn)定的有質(zhì)量粒子的行為猶如一個(gè)非常精確的量子鐘，它“滴答”的特定頻率恰好正比于它的質(zhì)量，系數(shù)為基本常數(shù)c2/h：

ν=m（c2/h）

圖2.21　任何穩(wěn)定的有質(zhì)量粒子的行為猶如一個(gè)非常精確的量子鐘。

實(shí)際上，單個(gè)粒子的量子頻率是極高的，不可能直接用來(lái)做實(shí)用的時(shí)鐘。對(duì)實(shí)際的時(shí)鐘來(lái)說(shuō)，我們需要一個(gè)包含大量粒子的系統(tǒng)，眾粒子結(jié)合起來(lái)協(xié)同作用。但關(guān)鍵的一點(diǎn)還在于我們做鐘是需要質(zhì)量的。單憑無(wú)質(zhì)量粒子（如光子）是不可能做出時(shí)鐘來(lái)的，因?yàn)樗鼈兊念l率只能是零；光子要等到永恒才可能讓它內(nèi)在的“時(shí)鐘”敲響第一聲“滴答”！這個(gè)事實(shí)對(duì)我們以后有著重大意義。

這些都遵從圖2.22，我們可以從它看到不同的時(shí)鐘——都從同一個(gè)事件p出發(fā)，但以不同速度（堪比光速但小于光速）運(yùn)動(dòng)。碗型的3維曲面（普通幾何中的雙曲面）區(qū)分了相同時(shí)鐘的一串“滴答”。（這些3維曲面是閔氏幾何球面的類比，是到固定點(diǎn)的“距離”為常數(shù)的曲面。）我們注意，因?yàn)闊o(wú)質(zhì)量粒子的世界線是沿著零錐的，它連第一個(gè)碗型曲面都不可能達(dá)到，這和我們前面說(shuō)的是一致的。

圖2.22　碗型3維曲面代表同樣時(shí)鐘的不同瞬間。

最后，類時(shí)曲線的測(cè)地線概念在物理上可以解釋為有質(zhì)量粒子在引力作用下的自由運(yùn)動(dòng)的世界線。在數(shù)學(xué)上，類時(shí)測(cè)地線l的特征表現(xiàn)為，對(duì)l上任意兩個(gè)分隔不太遠(yuǎn)的點(diǎn)p和q，從p到q的最長(zhǎng)曲線（在g決定的時(shí)間長(zhǎng)度的情況下）其實(shí)就是l的一部分（見(jiàn)圖2.23），它奇妙地倒轉(zhuǎn)了測(cè)地線的歐幾里得或黎曼空間的長(zhǎng)度極小性質(zhì)。這種測(cè)地概念也適用于零測(cè)地線，這種情形的“長(zhǎng)度”為零，單憑時(shí)空的零錐結(jié)構(gòu)就能確定。這種零錐結(jié)構(gòu)其實(shí)等價(jià)于時(shí)空的共形結(jié)構(gòu)，這個(gè)事實(shí)對(duì)我們以后有重要意義。

圖2.23　類時(shí)測(cè)地線l的特征在于，對(duì)l上的任何兩個(gè)間隔不太遠(yuǎn)的點(diǎn)p和q，從p到q的最長(zhǎng)局域曲線其實(shí)就是l的那部分長(zhǎng)度。