1．因子分析模型（衛(wèi)海英，2002）

（1）初始因子模型

例：為了了解學生的知識和能力，隨即抽取80名學生，每人回答30題，問題涉及面很廣，但總的來講，主要是測試學生的語文水平、數(shù)學推導、藝術修養(yǎng)、歷史知識、生活常識5個方面，每個方面稱為公共因子。可以設想每個學生的成績X_i，其標準化成績x_i＝（X_i－）／S_i（i＝1，2，…，80），上述5個公共因子的線性函數(shù)表示為

其中：F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)₅為5個公共因子，它們是不可測的，只是一個抽象的概念。其系數(shù)a_i1，a_i2，…，a_i5叫做因子負荷（或載荷、權數(shù)），表示第i個學生在5個方面的能力，μ_i是第i個學生的知識能力不能被5個因子包括的部分，稱為特殊因子，假定μ_iN（0）。因子分析的任務就是要估計F_j的個數(shù)及a_ij和方差，然后給因子F_j一個合理的解釋。若難以找到合理解釋，需進一步作因子旋轉，以求旋轉后能得到合理的解釋。

將問題一般化，則因子分析的一般模型可寫成：設某問題中的測量指標有X₁，X₂，…，X_p，其標準化指標為x_i（i＝1，2，…，p），各指標均受m（m＜p）個因子支配，同時每個指標還受一個特殊因子的制約，于是，標準化變量x_i可用因子F和特殊因子u線性表示，即

此模型有兩個特點：一是模型不受量綱的影響；二是因子負荷不是唯一的。這種非唯一性從表面上看是不利的，但通過因子軸的旋轉，可使新的因子更具有鮮明的實際意義。

（2）旋轉后的因子模型

當初始因子模型（公式5）求得后，一般來說，載荷矩陣的結構比較復雜，不易于因子的解釋，若用公共因子線性組合表達標準化指標則更容易做出有意義的解釋，即：使得矩陣A中各列元素向更?。?）和向更大（1）兩極分化，但保持同一行中各元素平方和（公因子方差）不變，實現(xiàn)這一目的的變換方法叫因子軸的旋轉。通過因子軸的旋轉，可求得對公共因子命名和解釋的結果。設從公共因子F旋轉到公共因子G，則公式5變?yōu)?/p>

式中的b_ij仍稱為因子載荷。

（3）因子得分模型

無論是公式5還是公式6的因子模型，都是將指標表示為公因子的線性組合。在因子分析中，還可以將公因子表示為指標的線性組合，這樣就可以從指標的觀測值估計各個公共因子的值，此值稱為因子得分。即

（4）模型的有關假設

①線性假設。模型為線性模型。

②獨立性假設。各特殊因子之間以及特殊因子與所有公因子之間均相互獨立。

③公因子都是均數(shù)為0、方差為1的獨立正態(tài)隨機變量，其協(xié)方差矩陣為單位矩陣。