在思考非歐幾里得幾何同物理學(xué)的關(guān)系時(shí)，必然會(huì)涉及幾何學(xué)同物理學(xué)之間的一般關(guān)系問(wèn)題。我首先要注意后一個(gè)問(wèn)題，同時(shí)盡可能設(shè)法不涉及有爭(zhēng)論的哲學(xué)問(wèn)題。

在古代，幾何學(xué)無(wú)疑是半經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)，它有點(diǎn)像原始的物理學(xué)。一個(gè)大小可以忽略不計(jì)的物體，就作為一個(gè)點(diǎn)。一條直線，要么用視線方向上的一些點(diǎn)來(lái)定義，要么用拉緊的線來(lái)定義。

在這里，我們碰到的各種概念，就像通常所有的概念一樣，都不是直接由經(jīng)驗(yàn)得到的，或者換句話說(shuō)，不是用邏輯方法由經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)出的，可是，終究同我們所感覺(jué)到的對(duì)象直接有關(guān)。在知識(shí)的這種狀態(tài)下，關(guān)于點(diǎn)、直線、截段相等，以及角相等的命題，同時(shí)也就是同自然界對(duì)象有關(guān)的已知感覺(jué)的命題。

只要人們理解到，這種幾何的大部分命題都能用純粹邏輯方法從少數(shù)被稱(chēng)為公理的命題推導(dǎo)出來(lái)時(shí)，它就變成了數(shù)學(xué)科學(xué)。數(shù)學(xué)是這樣一門(mén)科學(xué)，它只研究按一定規(guī)則建立起來(lái)的給定對(duì)象之間的邏輯關(guān)系。

在科學(xué)的興趣范圍內(nèi)，關(guān)系的推導(dǎo)就占有主要地位。因?yàn)椴灰蕾?lài)于那些不可靠的、帶有偶然性的外部經(jīng)驗(yàn)，而獨(dú)立地去建立邏輯體系，對(duì)于人的精神來(lái)說(shuō)，總是具有令人神往的誘惑力。

在幾何體系中，只有基本概念（點(diǎn)、直線、截段等等）和所謂公理才是幾何的經(jīng)驗(yàn)起源的證據(jù)。人們總力求把這些邏輯上不能再簡(jiǎn)化的基本概念和公理的數(shù)目減少到最低限度。那種從模糊的經(jīng)驗(yàn)領(lǐng)域里求得全部幾何的意圖，不知不覺(jué)地造成了錯(cuò)誤的結(jié)論，這可以比作把古代英雄變成神。久而久之，人們就習(xí)慣于把基本概念和公理看成是“自明的”，亦即看成是人類(lèi)精神所固有的觀念的對(duì)象和性質(zhì)；按照這種觀點(diǎn)，幾何的基本概念同直覺(jué)的對(duì)象是相符合的，而不論以哪種方式來(lái)否定這條或那條公理，都不可能沒(méi)有矛盾?？墒?，這些基本概念和公理應(yīng)用于實(shí)在客體的可能性本身卻成了問(wèn)題，正是從這個(gè)問(wèn)題中產(chǎn)生了康德的空間概念。

物理學(xué)為幾何學(xué)拒絕其經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)提供了第二個(gè)理由。按照物理學(xué)家對(duì)固體和光的性質(zhì)所已形成的更為精確的觀點(diǎn)，自然界里并沒(méi)有其屬性同歐幾里得幾何的基本概念完全符合的客體。固體不能被認(rèn)為是絕對(duì)不變的，而光線實(shí)際上既不能準(zhǔn)確地體現(xiàn)為直線，甚至一般地也不能體現(xiàn)為任何一維的形式。嚴(yán)格地說(shuō)來(lái)，根據(jù)現(xiàn)代科學(xué)的見(jiàn)解，幾何學(xué)如果單獨(dú)拿出來(lái)，它總是同任何經(jīng)驗(yàn)都不符合的；它應(yīng)當(dāng)和力學(xué)、光學(xué)等等一起來(lái)說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)。而且，既然沒(méi)有幾何學(xué)的幫助，物理學(xué)的定律就無(wú)法表示，那么幾何學(xué)就應(yīng)當(dāng)走在物理學(xué)的前面，因而幾何學(xué)也應(yīng)當(dāng)被看作是這樣的一門(mén)科學(xué)，它在邏輯上先于一切經(jīng)驗(yàn)和一切經(jīng)驗(yàn)科學(xué)。

十九世紀(jì)初，不僅對(duì)于數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，而且對(duì)于物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，歐幾里得幾何的基礎(chǔ)也似乎是絕對(duì)不可動(dòng)搖的，其原因就在這里。

對(duì)此還可以補(bǔ)充說(shuō)，在整個(gè)十九世紀(jì)期間，如果一個(gè)物理學(xué)家并不特別關(guān)心認(rèn)識(shí)論，那么幾何學(xué)同物理學(xué)的相互關(guān)系問(wèn)題還更要簡(jiǎn)單，更要概括，更要絕對(duì)。

物理學(xué)家不自覺(jué)地堅(jiān)持的這種觀點(diǎn)，符合于這樣兩條原則：歐幾里得幾何的概念和基本原理都是自明的；標(biāo)有某些記號(hào)的固體體現(xiàn)著線段的幾何概念，光線則體現(xiàn)著直線。

為了根本上改變這種狀況，必須進(jìn)行巨大的工作，這項(xiàng)工作差不多延續(xù)了一個(gè)世紀(jì)。值得注意的是，遠(yuǎn)在歐幾里得幾何的框架對(duì)于物理學(xué)顯得過(guò)于狹窄之前，這項(xiàng)工作就已從純粹的數(shù)學(xué)研究方面開(kāi)始了。用數(shù)目最少的公理來(lái)奠定幾何學(xué)的基礎(chǔ)，曾經(jīng)是數(shù)學(xué)的課題。在歐幾里得的公理中，有一條公理，在數(shù)學(xué)家看來(lái)，就不像別的公理那樣是直接自明的；在很長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，數(shù)學(xué)家總想把它歸并到別的公理中去，亦即想用別的公理來(lái)證明它。這條公理就是所謂平行公理。由于為它提供證明的一切努力都沒(méi)有獲得任何結(jié)果，漸漸地便作出了這樣的假設(shè)，認(rèn)為這種證明是不可能的，也就是說(shuō)，這條公理不能歸并到別的公理中去。如果能建立一種在邏輯上沒(méi)有矛盾的科學(xué)體系，它同歐幾里得幾何的區(qū)別在于，而且僅僅在于，用另一條公理來(lái)代替平行公理，那么，就可以認(rèn)為這個(gè)假設(shè)是被證明了。洛巴切夫斯基（Лoбaчeвcкий）和玻約（Bolyai）父子分別從不同的側(cè)面獨(dú)立地得出了這種思想，并且令人信服地實(shí)現(xiàn)了它；他們的極為寶貴的功績(jī)就在于此。

此后，數(shù)學(xué)家們不能不產(chǎn)生這樣一種信念，即相信同歐幾里得幾何并存著的，還有別種同它在邏輯上完全平等的幾何。當(dāng)然也就發(fā)生了這樣的問(wèn)題：難道只有歐幾里得幾何才算是物理學(xué)的基礎(chǔ)，任何別種幾何都不行嗎？這問(wèn)題還以更加明確的形式提了出來(lái)：物理世界的幾何究竟是怎樣的？它究竟是歐幾里得的還是任何別種的？

許多人都爭(zhēng)論過(guò)這個(gè)問(wèn)題有沒(méi)有意義。為了說(shuō)明這種爭(zhēng)論，必須在下面兩種觀點(diǎn)中徹底堅(jiān)持一種。第一種觀點(diǎn)，同意幾何“體”實(shí)際上體現(xiàn)著物理的固體，當(dāng)然，這只要固體是遵守那些關(guān)于溫度、機(jī)械應(yīng)力等等已知的規(guī)則就行了。這是從事實(shí)際工作的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家的觀點(diǎn)。如果幾何的“截段”同自然界的一定客體相對(duì)應(yīng)，那么幾何的一切命題也都具有說(shuō)明現(xiàn)實(shí)物體的性質(zhì)。這種觀點(diǎn)亥姆霍茲說(shuō)得最明白，可以補(bǔ)充一句：要是沒(méi)有這種觀點(diǎn)，實(shí)際上就不可能通向相對(duì)論。

可是，從第二種觀點(diǎn)來(lái)看，如果在原則上否認(rèn)那些同幾何的基本概念相對(duì)應(yīng)的客體存在，那么，幾何學(xué)本身就不能說(shuō)明實(shí)在客體的任何狀況。只有幾何學(xué)同物理學(xué)一起才能說(shuō)明這些狀況。這種觀點(diǎn)可能更適合于已有的物理學(xué)的系統(tǒng)敘述，它已被龐加勒特別清楚地說(shuō)過(guò)了。按照這種觀點(diǎn)，一切幾何學(xué)的內(nèi)容都是約定的；要解決究竟哪種幾何比較好的問(wèn)題，就要看在這種假設(shè)中，同經(jīng)驗(yàn)顯得最一致的物理學(xué)能“簡(jiǎn)單”到什么程度。

我們認(rèn)為第一種觀點(diǎn)最符合我們的知識(shí)的現(xiàn)狀。按照這種觀點(diǎn)，關(guān)于歐幾里得幾何適用或不適用的問(wèn)題，具有明確的含義。歐幾里得幾何像一般幾何一樣，它有著數(shù)學(xué)科學(xué)的特點(diǎn)，因?yàn)橛晒硗茖?dǎo)出定理，首先是純粹邏輯的問(wèn)題，但同時(shí)它又是物理科學(xué)，因?yàn)樗墓肀旧砭桶P(guān)于自然界客體的論斷，這些論斷的正確性只有通過(guò)實(shí)驗(yàn)才可以證明。

但是我們應(yīng)該時(shí)時(shí)記住，有這樣一種虛構(gòu)的理想，以為自然界中實(shí)際上存在著不變的標(biāo)尺；后來(lái)知道，這種想法要不是完全不適用，就是它只對(duì)某些特定的自然現(xiàn)象才有效。廣義相對(duì)論已經(jīng)證明，這種想法對(duì)于一切從天文學(xué)看來(lái)不是很小的區(qū)域都是不適用的；也許量子論將會(huì)證明這種想法對(duì)于原子大小數(shù)量級(jí)的范圍也是不適用的。黎曼曾認(rèn)為這兩者都是可能的。

在幾何學(xué)同物理學(xué)相互關(guān)系的思想發(fā)展上，黎曼的功績(jī)是兩重的。第一，他發(fā)現(xiàn)了一種同洛巴切夫斯基雙曲面幾何相對(duì)立的橢面幾何；從而他第一個(gè)指出了有限廣延的幾何空間的可能性。這個(gè)思想立即被理解了，并且產(chǎn)生了物理空間是不是有限的問(wèn)題。第二，黎曼大膽地創(chuàng)立了歐幾里得幾何或狹義非歐幾何都無(wú)法相比的更為普遍的幾何。這就是他所創(chuàng)立的“黎曼”幾何。這種幾何（也像狹義非歐幾何那樣），只在無(wú)限小的區(qū)域里才同歐幾里得幾何相一致。這種幾何是把高斯的曲面理論運(yùn)用到任意多維的連續(xù)區(qū)上的結(jié)果。根據(jù)這種更一般的幾何學(xué)，空間的度規(guī)的性質(zhì)以及在非無(wú)限小區(qū)域里安排無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的不變體的各種可能性，都不是完全由幾何公理來(lái)決定的。黎曼并沒(méi)有因這個(gè)結(jié)論而困惱，也沒(méi)有斷言自己的體系在物理上是無(wú)意義的，他反而得出這樣大膽的思想，認(rèn)為物體的幾何關(guān)系可能是由各種物理原因，即由各種力決定的。

由此，他用純粹數(shù)學(xué)推理的方法，得出了關(guān)于幾何學(xué)同物理學(xué)不可分割的思想；七十年后，這個(gè)思想實(shí)際上體現(xiàn)在那個(gè)把幾何學(xué)同引力論融合成為一個(gè)整體的廣義相對(duì)論中。

黎曼幾何后來(lái)由于引進(jìn)勒維-契維塔的無(wú)限小平行移動(dòng)的概念而獲得更加簡(jiǎn)單的形式，魏耳和愛(ài)丁頓又進(jìn)一步推廣了黎曼理論，希望在擴(kuò)大了的概念體系中找到電動(dòng)力學(xué)定律的根據(jù)。不論這些企圖會(huì)得到什么樣的結(jié)果，即使在現(xiàn)在，就已經(jīng)有大量的根據(jù)可以說(shuō)：從非歐幾何發(fā)展起來(lái)的思想是極其富有成果的。

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