2．5．1　投影變換的目的和方法

1．投影變換的目的

當(dāng)直線或平面相對(duì)于投影面處于特殊位置（平行、垂直）時(shí)，它們的投影反映線段的實(shí)長(zhǎng)與傾角、平面的實(shí)形與傾角、點(diǎn)線距離和點(diǎn)面距離的實(shí)長(zhǎng)等，如圖2．5．1所示。當(dāng)直線或平面和投影面處于一般位置時(shí)，則它們的投影不具備上述特性。為此，通過(guò)一定的方法改變幾何元素在投影體系中的位置，使幾何元素處在有利于解題的位置，這時(shí)空間幾何元素本身及其相互間的度量問(wèn)題或定位問(wèn)題的解決就會(huì)簡(jiǎn)化，這種變換稱為投影變換。因此，投影變換一般是將原來(lái)在原投影面體系中處于一般位置的空間幾何元素改變?yōu)榕c投影面處于有利解題的位置，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的。

圖2．5．1　幾何元素與投影面處于特殊位置

（a）求直線的實(shí)長(zhǎng)；（b）求平面的實(shí)形；（c）求交叉兩直線間的距離；（d）求面的實(shí)形與傾角；（e）求直線與平面的交點(diǎn)

2．投影變換的方法

投影變換的方法大致有2種。

①換面法——變換投影面，“面”動(dòng)“體”不動(dòng)。換面法在兩投影面體系中解題時(shí)，保持幾何元素的位置不動(dòng)，保留一個(gè)投影面，設(shè)立一個(gè)新投影面替換另一個(gè)投影面，新投影面與保留的投影面構(gòu)成一個(gè)新的兩投影面體系，使選定的幾何元素在新的兩投影面體系中處于有利于解題的位置，然后在新的兩投影面體系解題，這樣的投影變換方法稱為換面法。在圖2．5．2中，為了作出△ABC的實(shí)形，可以保留H面，用與△ABC平行的V₁面（V₁面也垂直于H面）替換V面，則V₁與H面就構(gòu)成一個(gè)互相垂直的新的兩投影面體系?！鰽BC在新投影體系中就成為V₁面的平行面，在V₁面上的投影△a′₁b′₁c′₁反映出它的實(shí)形。

②旋轉(zhuǎn)法（換位法）——變換幾何元素，“體”動(dòng)“面”不動(dòng)。在兩投影面體系中．投影體系保持不動(dòng)，幾何元素繞同—條軸旋轉(zhuǎn)到有利于解題的位置，再用新投影來(lái)解題。為了作圖方便，旋轉(zhuǎn)軸通常選擇投影面的垂直線，這樣的投影變換方法稱為旋轉(zhuǎn)法。如圖2．5．3所示，為了作出鉛垂的△ABC的實(shí)形，以一條垂直于H面的鉛垂線為軸，讓△ABC繞其旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與V面平行的位置△A₁B₁C₁，此時(shí)△A₁B₁C₁在V面上的投影△a′₁b′₁c₁反映它的實(shí)形。

本章主要介紹換面法。

圖2．5．2　換面法

圖2．5．3　旋轉(zhuǎn)法