3.3.2　平面與平面立體的截交線

平面與平面立體相交，截交線是由直線圍成的平面圖形。多邊形的各邊是截平面與平面立體各表面的交線，其各頂點(diǎn)是平面立體的棱線與截平面的交點(diǎn)或兩條截交線的交點(diǎn)。求截交線時(shí)，可根據(jù)具體情況選擇求兩平面的交線或求直線與平面的交點(diǎn)或兩者兼用等方法。

例3.9　求三棱錐SABC被正垂面P截切后的投影。

分析：如圖3.16（a）所示，截平面P與三棱錐的各個(gè)棱線均相交，其截交線為三角形，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ即為三棱錐的三條棱線與截平面的交點(diǎn)。因?yàn)榻仄矫鏋檎姑?，所以截交線的正面投影積聚為直線，為已知投影，其水平投影和側(cè)面投影均為三角形。作圖步驟如下：

①如圖3.16（b）所示，標(biāo)出點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′、2′、3′；

②按照投影規(guī)律求出截交線的水平投影1、2、3和側(cè)面投影1″、2″、3″；

③1、2、3和1″、2″、3″均可見(jiàn)，所以△123和△1″2″3″亦可見(jiàn)，將其連成粗實(shí)線；

④整理輪廓線。將棱線的水平投影加深到與截交線水平投影的交點(diǎn)1、2、3點(diǎn)處；同理，棱線的側(cè)面投影加深到1″、2″、3″點(diǎn)處。

圖3.16　三棱錐的截交線及投影

例3.10　求如圖3.17（a）所示五棱柱被正垂面P截切后的水平投影和側(cè)面投影。

分析：因?yàn)榻仄矫鏋檎姑鍼，所以截交線的正面投影都重合在P上，即截交線的正面投影已知，只要作出截交線的水平投影，則可作出截交線的側(cè)面投影，從而完成五棱柱被切割后的側(cè)面投影。作圖步驟如下：

①如圖3.17（b）所示，畫(huà)出五棱柱的側(cè)面投影；

②在已知的正面投影上標(biāo)出截交線上各點(diǎn)的投影a′、b′、c′、d′、e′；

③由五棱柱的積聚性，求出各點(diǎn)的水平投影a、b、c、d、e；

④由各點(diǎn)的水平投影和正面投影求出其側(cè)面投影a″、b″、c″、d″、e″；

⑤截交線的三面投影均可見(jiàn)，按順序用粗實(shí)線連接各點(diǎn)的同面投影；

圖3.17　五棱柱的截交線及投影

⑥整理輪廓線。