【知識結構框圖表解】

【本節(jié)解讀】

同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式．一些同底數(shù)冪的表面形式可能不相同，但其本質是同底數(shù)冪，此時要善于應用相應法則進行轉化．

【基礎知識講解與要點點撥】

1．同底數(shù)冪的乘法法則：準確掌握同底數(shù)冪的乘法法則的前提是對法則的由來有清晰的認識，從而達到深刻理解．同底數(shù)冪相乘運算法則的推導，其主要依據(jù)是以前已學習過的乘方意義和乘法結合律．

由上可知：對于任意底數(shù)a和任意正整數(shù)m，n都有：a^m·aⁿ＝a^m＋n（m、n為正整數(shù)）．

2．同底數(shù)冪的乘法法則適用于三個或三個以上的同底數(shù)冪的乘法運算．

（1）當三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，仍適用法則，即a^m·aⁿ·a^p＝a^m＋n＋p（m、n、p都為正整數(shù)）．

（2）指數(shù)可以是數(shù)字，也可以是字母，但字母表示的數(shù)在此都是正整數(shù)．

（3）運算中一定要注意化成同底數(shù)冪后方能進行．

（4）最后結果應以不能化簡為最終結果，但以10為底的冪，仍可以寫成冪的形式．

3．逆用這個法則，也可以把一個冪分解為兩個同底數(shù)冪的積．其中它們的底數(shù)與原來冪的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來冪的指數(shù)．如3⁴＝3³×3¹＝3²×3²等．

【典型例題精講與規(guī)律、方法、技巧總結】

例1　下列算式是否正確？對錯誤的指出錯誤原因，并加以改正．

（1）a²·a²＝2a²

（2）x³＋x³＝x⁶

（3）x⁴·x⁴＝x¹⁶

（4）a·a²＝a²

解題策略：計算此類題目時應認真審察每個問題的運算形式，特別要分清冪的底數(shù)和指數(shù)．

解：（1）錯．錯在將a²·a²與a²＋a²混淆，結果應為a⁴．

（2）錯．錯在將x³＋x³與x³·x³混淆，結果應為2x³．

（3）錯．錯在把法則“底數(shù)不變，指數(shù)相加”，誤作為“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”，結果應為x⁸．

（4）錯．計算時誤把a的指數(shù)當作0，而a的指數(shù)應為1，結果應為a³．

注意：應用同底數(shù)冪的乘法法則時要注意：

（1）與整式的加減即合并同類項區(qū)分開．

（2）單個字母如x、y等的指數(shù)為1，而不是0．

例2　計算下列各題：

（1）a·a²·a³

（2）（x＋y）²·（x＋y）³

（3）（-x）²·x³·（-x²）

（4）（x－2y）²·（x－2y）^m－1·（x－2y）^m＋2

解題策略：在冪的運算法則中的底數(shù)，可以是數(shù)字、字母，也可以是單項式或多項式．例如（1）中的a與（3）中的x是單項式；（2）中的（x＋y）與（4）中的（x－2y）是多項式，而指數(shù)可以是自然數(shù)，也可以是代表自然數(shù)的字母．

解：（1）a·a²·a³＝a^1＋2＋3＝a⁶

（2）（x＋y）²·（x＋y）³＝（x＋y）^2＋3＝（x＋y）⁵

（3）（-x）²·x³·（-x²）＝x²·x³·（-x²）＝-x^2＋3＋2＝-x⁷

（4）（x－2y）²·（x－2y）^m－1·（x－2y）^m＋2＝（x－2y）^{2＋（m－1）＋（m＋2）}＝（x－2y）^2m＋3

注意：（1）中a的指數(shù)是1不是0；（2）中要注意區(qū)別（-x）²與（-x²）的不同，（-x）²＝x²，而-x²＝-1·x²；（4）中指數(shù)含有自然數(shù)和字母，相加時要合并同類項化簡．

例3　計算下列各題：

（1）（a－b）³·（b－a）²

（2）-（-a）³·（-a²）·（-a）

（3）x³·x⁴＋x·x³·x³＋（-x）·（-x）³·x³

（4）（-a）³（-a）²·（-a）＋（-a⁴）（-a）²

解題策略：應用同底數(shù)冪的乘法法則時，應先把各式化為同底數(shù)冪，為此應熟悉下列轉換等式：（a－b）²ⁿ＝（b－a）²ⁿ，（a－b）^2n＋1＝-（b－a）^2n＋1；計算時，結合乘法法則確定積的性質符號，第（3）、（4）小題為混合運算，應先根據(jù)同底數(shù)冪的運算性質進行乘法運算，再進行加減運算．

解：（1）（a－b）³·（b－a）²＝（a－b）³·（a－b）²＝（a－b）⁵

或（a－b）³·（b－a）²＝［-（b－a）］³·（b－a）²＝-（b－a）³·（b－a）²＝-（b－a）⁵

（2）-（-a）³·（-a²）·（-a）＝-（-a）³·（-a）·（-a²）＝-（-a）⁴·（-a²）＝-a⁴·（-a²）＝a⁶

或-（-a）³·（-a²）·（-a）＝-（-a³）·（-a²）·（-a）＝a³·a²·a＝a⁶

（3）原式＝x^3＋4＋x^1＋3＋3＋（-x）^1＋3·x³＝x⁷＋x⁷＋x⁴·x³＝x⁷＋x⁷＋x⁷＝3x⁷

（4）原式＝（-a）^3＋2＋1＋（-a⁴）·a²＝a⁶－a⁶＝0

注意：要特別注意運算中符號的處理，結合乘方的意義和乘法法則，通常宜將字母前的負號看作因數(shù)-1，且要熟悉并掌握（-1）²ⁿ＝1，（-1）^2n＋1＝-1（n為正整數(shù)）．當代數(shù)式中負號較多時，可分別化簡，也可整體處理，同時注意區(qū)分性質符號和運算符號．

【知識聯(lián)系與拓展】

例4　化簡：（a＋b－c）²ⁿ·（c－a－b）^2n－1＋（a＋b－c）^2n＋1·（c－a－b）^2n－2

解題策略：題中的底數(shù)不同，在運算過程中，一要注意符號，二要注意化為同底數(shù)冪的形式，再運用同底數(shù)冪乘法法則進行．

注意：等式（a－b）^2n－1＝-（b－a）^2n－1（n為正整數(shù)），在同底數(shù)冪的乘法運算中經常出現(xiàn)．當?shù)讛?shù)互為相反數(shù)時可設法化為底數(shù)相同，但必須注意指數(shù)的奇偶性，指數(shù)是偶數(shù)時，底數(shù)可直接變?yōu)樗南喾磾?shù)；指數(shù)是奇數(shù)時，底數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)時，所得的冪也為相反數(shù)．當?shù)讛?shù)出現(xiàn)多項式時，注意添括號法則的正確使用．

例5　探究下面問題的解題技巧．

計算：（-2）²⁰⁰⁶＋（-2）²⁰⁰⁷

解題策略：每項的指數(shù)太大，故不能硬算．考慮到指數(shù)2006與2007是連續(xù)整數(shù)，結合乘方的意義考慮，由2²⁰⁰⁶×2＝2²⁰⁰⁷得到2²⁰⁰⁷＝2×2²⁰⁰⁶，這是逆用同底數(shù)冪的乘法公式．本題的錯誤結果為-2．

解：（-2）²⁰⁰⁶＋（-2）²⁰⁰⁷＝2²⁰⁰⁶＋（-2²⁰⁰⁷）＝2²⁰⁰⁶－2²⁰⁰⁷＝2²⁰⁰⁶－2×2²⁰⁰⁶＝2²⁰⁰⁶×（1－2）＝-2²⁰⁰⁶

注意：本題的解法體現(xiàn)了一個非常重要的數(shù)學方法與技巧：逆向思維法，即逆向使用運算公式：a^m＋n＝a^m·aⁿ，逆用公式能把一些法則、公式從反方向角度加以應用，從而靈活、有效地解決問題．

試計算：3⁴×3⁵－3²×3⁶＋3×（-3）⁷．

解題策略：由題目特點，正用和逆用法則a^m·aⁿ＝a^m＋n，再逆用乘法分配律進行簡化運算．

解：原式＝3^4＋5－3^2＋6－3^1＋7＝3⁹－3⁸－3⁸＝3×3⁸－3⁸－3⁸＝3⁸×（3－1－1）＝3⁸

注意：本題的解法還體現(xiàn)了轉化的思想．即把一個式子靈活地變形為可與某些公式或法則的運用相接近的式子．上述的運算進程即是設法向逆用乘法分配律的方向接近．

例6　已知5^x＋2＝a，試用含a的式子表示出5^x．

解題策略：要用含a的代數(shù)式表示5^x，即要把5^x看成一個整體，因此，解答本題的關鍵是把5^x＋2轉化為含5^x的式子，即把5^x＋2轉化成5^x·5²．

解：∵5^x＋2＝a，

【歷屆中考題解析與注意的問題】

例7　化簡a³·a³等于：（　?。?/p>

A．2a³

B．a⁶

C．a⁹

D．a⁰

答案：B．

分析：A選項錯在把同底數(shù)冪相乘與合并同類項混淆．C選項錯在應把指數(shù)相加而非相乘．

【知識結構框圖表解】

【本節(jié)解讀】

冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如（a²）³是3個a²相乘，讀作a的2次冪的三次方，（a^m）ⁿ是n個a^m相乘，讀作a的m次冪的n次方．

【基礎知識講解與要點點撥】

1．冪的乘方的性質：冪的乘方運算性質的推出可直接借助于同底數(shù)冪相乘的法則．

從而得到（a^m）ⁿ＝a^mn（m，n為正整數(shù)）．

即：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．

2．冪的乘方的性質與同底數(shù)冪的乘法性質的區(qū)別：

冪的乘方運算，是轉化為指數(shù)的乘法運算（底數(shù)不變）；同底數(shù)冪的乘法，是轉化為指數(shù)的加法運算（底數(shù)不變）．如（2³）⁴＝2^3×4＝2¹²，而2³·2⁴＝2^3＋4＝2⁷．

3．逆用此法則，即a^mn＝（a^m）ⁿ＝（aⁿ）^m，可幫助我們根據(jù)問題的需要靈活將式子變形．

即：a^mn＝（a^m）ⁿ＝（aⁿ）^m

如x¹²＝（x³）⁴＝（x⁴）³＝（x⁶）²等．

【典型例題精講與規(guī)律、方法、技巧總結】

例1　計算下列各題：

（1）-（10⁷）²

（2）（a^m－1）²

（3）［（x－y）³］⁴

（4）（c²）ⁿ·c^n＋1

解題策略：首先判斷這些問題都符合冪的乘方的結構特征．注意在應用公式時不要與同底數(shù)冪的乘法法則混淆．冪的乘方運算，是轉化為指數(shù)的乘法運算（底數(shù)不變）；同底數(shù)冪的乘法，是轉化為指數(shù)的加法運算（底數(shù)不變）．

解：（1）原式＝-10^7×2＝-10¹⁴

（2）原式＝a^{（m－1）×2}＝a^2m－2

（3）原式＝（x－y）^3×4＝（x－y）¹²

（4）原式＝c²ⁿ·c^n＋1＝c^2n＋n＋1＝c^3n＋1

注意：在公式（a^m）ⁿ＝a^mn中，底數(shù)a可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式．

例2　計算：

（1）-2²（x³）²·（x²）⁴－（x²）⁵·（x²）²

（2）（a²）^m·（aⁿ）³－（a^m－1）²·（a³）ⁿ·a²

解題策略：判斷題目的特征，正確選用公式，注意將結果化簡．

解：（1）原式＝-4x⁶·x⁸－x¹⁰·x⁴＝-4x¹⁴－x¹⁴＝-5x¹⁴

（2）原式＝a^2m·a³ⁿ－a^2m－2·a³ⁿ·a²＝a^2m＋3n－a^2m＋3n＝0

注意：正確區(qū)分合并同類項與同底數(shù)冪的乘法及同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方運算中指數(shù)的不同處理．

例3　已知：a³＝5，求：（1）（a²）³的值；（2）a⁹的值．

解題策略：觀察題目的特點，可應用（a^m）ⁿ＝（aⁿ）^m．

解：（1）（a²）³＝（a³）²＝5²＝25

（2）a⁹＝（a³）³＝5³＝125

【知識聯(lián)系與拓展】

例4　已知a^m＝2，aⁿ＝3，求a^2m＋3n的值．

解題策略：逆用同底數(shù)冪的乘法法則和冪的乘方法則，即：a^mn＝（a^m）ⁿ；a^m＋n＝a^m·aⁿ．

解：因為a^m＝2，aⁿ＝3，

所以（a^m）²＝2²＝4，（aⁿ）³＝3³＝27．

所以a^2m＋3n＝a^2m·a³ⁿ＝（a^m）²·（aⁿ）³＝4×27＝108．

注意：逆用公式具有一定的靈活性，要認真觀察題目的特點，巧妙變形．

【歷屆中考題解析與注意的問題】

例5　計算（a²）³的結果是（　?。?/p>

A．a⁵

B．a⁶

C．a⁸

D．a⁹

答案：B．

分析：本題顯然是冪的乘方運算，依據(jù)法則，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．

【知識結構框圖表解】

【本節(jié)解讀】

積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方，如（ab）²，（-xyz）³等．

【基礎知識講解與要點點撥】

1．積的乘方的性質：積的乘方的運算性質的推出可借助于乘方的意義和乘法法則．

從而得到：（ab）ⁿ＝aⁿbⁿ（n為正整數(shù)）

即：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．

這個性質適用于三個或三個以上因式的積的乘方．

2．在運用積的乘方的性質進行計算時，易出現(xiàn)漏掉部分因式乘方的錯誤，如：

（-3xy²）²≠-3x²y⁴等．

4．關于冪的三種運算（同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方）法則的異同歸納如下：

【典型例題精講與規(guī)律、方法、技巧總結】

例1　計算：（1）（-3m³n）³

（2）（-2a³b²）⁴

（3）-（-2a²b⁴）³

（4）（-2×10⁴）⁴

解題策略：在應用積的乘方公式時，要分清底數(shù)含有幾個因式，確保每個因式都進行乘方，并且還要注意系數(shù)的符號，特別是不能忽略系數(shù)為-1時的符號計算．

解：（1）原式＝（-3）³（m³）³n³＝-27m^3×3n^1×3＝-27m⁹n³

（2）原式＝（-2）⁴（a³）⁴（b²）⁴＝16a¹²b⁸

（3）原式＝-（-2）³（a²）³（b⁴）³＝-（-8）a⁶b¹²＝8a⁶b¹²

（4）原式＝（-2）⁴×（10⁴）⁴＝16×10¹⁶＝1.6×10¹⁷

注意：在-（-2a²b⁴）³中，指數(shù)3只對括號內的負號起作用，對括號外的負號不起作用，在（-2×10⁴）⁴的計算中，計算結果應用科學記數(shù)法表示．

例2　計算：

（1）3（a²）⁴·（-a³）³－（-a）·（a⁴）⁴＋（-2a⁴）²·（-a）³·（a²）³

（2）（2x⁴）²－2·（-x²）⁴－x⁴·（x²）²－（-x³）·（-x²）²·（-x）

解題策略：認真觀察題中每一項的結構特點，正確選用公式，理清運算順序，并特別注意符號的處理．

（2）原式＝4x⁸－2·x⁸－x⁴·x⁴－（-x³）·（x⁴）·（-x）＝4x⁸－2x⁸－x⁸－x⁸＝0

注意：綜合運算時，類比有理數(shù)的運算順序，理清整式的運算順序，處理好符號是關鍵．如計算時分清（2x⁴）²與2（-x²）⁴，前者的底數(shù)為2x⁴，后者的底數(shù)為-x²，注意底數(shù)的每一個因式都要進行乘方．同時，計算時一般先確定冪的符號，再確定乘積的符號，最后還要正確區(qū)分合并同類項和同底數(shù)冪的乘法．

例3　以下各題的錯解都是具有代表性的，仔細思考錯在何處，并把錯解改正過來．

計算：（1）a³·a³＝2a³

（2）x⁴＋x⁴＝x⁸

（3）（xy）⁵＝xy⁵

（4）（-2a³）⁴＝-16a¹²

（5）10×10⁵＝10¹⁵

（6）x·x⁴·x⁴＝x¹⁶

解題策略：冪的三種運算法則本身較易混淆，并易與合并同類項攪在一起．在計算時，要認真審題，觀察題中每一項的結構特征，正確選用公式，慎重處理符號．

解：（1）錯在將同底數(shù)冪的乘法誤作合并同類項，原式＝a⁶．

（2）錯在將合并同類項誤作同底數(shù)冪的乘法，原式＝2x⁴．

（3）把積的乘方公式用錯，未將積中的每一個因式都乘方，原式＝x⁵y⁵．

（4）把積的乘方公式用錯，（-2）⁴＝16，原式＝16a¹²．

（5）把同底數(shù)冪的乘法法則用錯，10的指數(shù)為1，原式＝10⁶．

（6）錯在將同底數(shù)冪的乘法誤作冪的乘方，且忽視了x的指數(shù)為1，原式＝x⁹．

【知識聯(lián)系與拓展】

例4　用簡便方法計算：

（1）（0.2）²⁰⁰⁶×（-5）²⁰⁰⁶

解：（1）原式＝（0.2）²⁰⁰⁶×5²⁰⁰⁶＝（0.2×5）²⁰⁰⁶＝1

注意：冪的運算性質在有理數(shù)計算中也有應用，尤其是這些性質的逆向使用，常能使一些數(shù)的計算簡化．本題各個乘方運算顯然都難以輕松求得結果，分析數(shù)字特征，逆用公式，可靈活、有效地解決問題．

例5　計算：2²⁶×1.25⁸

解題策略：由1.25×8＝10，聯(lián)想到將其中一個底數(shù)變?yōu)?，指數(shù)也要為8，可將計算簡化．

解：原式＝2²×2²⁴×1.25⁸＝4×（2³）⁸×1.25⁸＝4×（8×1.25）⁸＝4×10⁸

注意：冪的運算法則的逆用有一定的靈活性和技巧性，要善于觀察和把握題目的特點，并多作嘗試．

例6　試比較3⁵⁵⁵，4⁴⁴⁴，5³³³的大小．

解題策略：三個數(shù)的指數(shù)均為111的整數(shù)倍，故聯(lián)想到逆用冪的乘方運算公式．

解：3⁵⁵⁵＝（3⁵）¹¹¹＝243¹¹¹

4⁴⁴⁴＝（4⁴）¹¹¹＝256¹¹¹

5³³³＝（5³）¹¹¹＝125¹¹¹

∵256¹¹¹＞243¹¹¹＞125¹¹¹，∴4⁴⁴⁴＞3⁵⁵⁵＞5³³³．

注意：當幾個數(shù)的指數(shù)變?yōu)橄嗤瑫r，它們的大小取決于每個數(shù)的底數(shù)．

【知識結構框圖表解】

【本節(jié)解讀】

單項式的乘法，關鍵是通過乘法的交換律和結合律，把它轉化為冪的運算．單項式與多項式的乘法可采用我們已經熟悉的有理數(shù)運算中乘法分配律的應用來類比理解，并指導運算．

多項式與多項式的乘法，先將一個多項式的每一項分別與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加，運算中利用到單項式與單項式的乘法和合并同類項．運算時要按一定的順序進行，防止漏項和符號出錯．

【基礎知識講解與要點點撥】

1．單項式與單項式相乘的法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，也作為積的因式．

進行單項式乘法運算時，可按下面三個步驟進行：

（1）系數(shù)相乘——確定系數(shù)（特別注意符號）．

（2）相同字母相乘——底數(shù)不變，指數(shù)相加．

（3）不同字母相乘——連同它的指數(shù)照搬下來．

進行單項式乘法運算時應注意：

（1）計算系數(shù)時，先確定結果的符號，再把它們的絕對值相乘．

（2）相同字母相乘時，利用同底數(shù)冪的乘法法則“底數(shù)不變，指數(shù)相加”．

（3）在乘法結果中，不要漏掉只在一個單項式中含有的字母因式，應連同它的指數(shù)一起寫在積里．

（4）單項式乘法中若有其他運算，應注意運算順序：“先乘方，再乘法”．

（5）單項式相乘的結果仍為單項式．三個或三個以上的單項式相乘，法則仍適用．

2．單項式與多項式相乘的法則：單項式與多項式相乘，用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加．

利用圖9-10，能驗證單項式與多項式相乘的法則：

圖9-10

計算大長方形的面積：方法（1）S＝m（a＋b＋c）

方法（2）S＝ma＋mb＋mc

從而得到：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．

由法則可看出：單項式與多項式相乘，就是根據(jù)乘法分配律把問題轉化為單項式的乘法，其思路是：

進行單項式與多項式乘法運算時應注意：

（1）非零單項式乘以不含同類項的多項式，乘積仍為多項式；積的項數(shù)與所乘多項式的項數(shù)相同．

（2）正確運用去括號法則來確定積中每一項的符號．

（3）含有乘方、乘法、加減法的混合運算中，要注意運算順序，還要注意合并同類項，得到最簡結果．

3．多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．

利用圖9-11，能驗證多項式與多項式相乘的法則：

圖9-11

大長方形的面積為：（a＋m）（b＋n）．

四個小長方形的面積分別為：ab，mb，na，mn．

得出：（a＋m）（b＋n）＝ab＋an＋mb＋mn．

由法則可以看出，進行乘法計算時，注意：

（1）運算時要按一定的順序進行，防止重復，避免漏項．積的項數(shù)在沒有合并同類項之前，應為兩個多項式項數(shù)的積．

（2）運算時要注意積的符號，正確運用符號法則．

（3）運算結果中有同類項的要合并，并將最后結果按某個字母的降冪形式排列．

【典型例題精講與規(guī)律、方法、技巧總結】

解題策略：第（1）小題是三個單項式相乘，可按單項式乘法法則一次完成，計算系數(shù)時，先確定結果的性質符號，再把絕對值相乘；第（2）小題中應先計算乘方，注意符號．

解題策略：乘方、乘法與加減的混合運算中，掌握正確的運算順序是關鍵．通常情況下，應先乘方，再乘除，最后做加減．

注意：冪的運算與單項式乘法的混合運算易在運算順序和指數(shù)計算中出錯，還有符號的處理是關鍵．錯誤原因多是貪快圖簡，過程過于簡略．

解題策略：在單項式乘法運算中，有時可把一個多項式看作一個整體，視作單項式，然后按單項式的運算法則進行計算．本題中，（x－y）與（y－x）不同底，可利用x－y＝-（y－x）轉化．

解題策略：兩題都是單項式與多項式相乘，若括號前是“－”號，去掉括號，要特別注意變號．第（2）小題的結果可按字母x進行降冪排列．

注意：用我們已經熟悉的有理數(shù)運算中乘法分配律的應用來類比理解單項式與多項式相乘的法則，并指導運算．

（2）2a（a²－ab－b²）－3ab（4a－2b）＋2b（7a²－4ab＋b²）

解題策略：本題涉及整式乘法與加減法的綜合應用，解題時注意運算順序，遇到同類項一定要合并．

解：（1）原式＝xy［4xy－2xy－x²y］＝xy（2xy－x²y）＝2x²y²－x³y²＝x³y²－2x²y²

注意：多項式中的每一項都是包含它前面的符號的，當括號前是“－”號時，為防止錯誤，應把單項式與多項式相乘的結果先用括號括起來，然后再去括號．

例6　計算：（1）（2a－3b）（3a－2b）

（2）（x－5y）（y＋4x）

（3）（x＋y）（x²－xy＋y²）

解題策略：多項式與多項式相乘時，先把一個多項式每一項分別與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加，在乘積中，若有同類項，要合并同類項，特別注意的是不要漏項和符號出錯．在第（2）小題中，兩個因式中字母x與y排列順序不一致，通常兩個多項式相乘時，字母排列的順序最好一致．如把二項式y(tǒng)＋4x改寫成4x＋y，這樣處理的目的是提高計算的正確性且有助于心算．

解：（1）原式＝2a·3a－2a·2b－3b·3a＋3b·2b＝6a²－13ab＋6b²

（2）原式＝（x－5y）（4x＋y）＝4x²＋xy－20xy－5y²＝4x²－19xy－5y²

（3）原式＝x³－x²y＋xy²＋x²y－xy²＋y³＝x³＋y³

注意：多項式與多項式相乘，積的項數(shù)在合并同類項前應等于兩個因式的項數(shù)之積．掌握這個規(guī)律，在運算過程中可檢驗是否有漏乘的項．

例7　計算：（a－2）（2a－1）（3a－2）

解題策略：三個或三個以上多項式相乘，可依次兩個兩個相乘．

解：原式＝（2a²－5a＋2）（3a－2）＝6a³－19a²＋16a－4

例8　先化簡，再求值．

（-2x）²＋（2x－5y）（2x＋3y）－3y（4x－5y），其中x＝2，y＝-1．

解：原式＝4x²＋4x²－4xy－15y²－12xy＋15y²＝8x²－16xy

當x＝2，y＝-1時，原式＝8×2²－16×2×（-1）＝64．

【知識聯(lián)系與拓展】

例8　化簡求值：-xy（x²y⁵－xy³－y），其中xy²＝-2．

解題策略：整體考慮的方法是貫穿中學數(shù)學學習始終的一個重要思想和方法，所以要理解這種方法的本質和應用技巧，時刻考慮它在解題時的應用．本題中，利用冪的乘方的運算性質，有效溝通了未知與已知間的關系．

解：原式＝-xy·x²y⁵＋xy·xy³＋xy·y＝-x³y⁶＋x²y⁴＋xy²＝-（xy²）³＋（xy²）²＋xy²

當xy²＝-2時，原式＝-（-2）³＋（-2）²＋（-2）＝10．

例9　已知（x²＋ax＋8）（x²－3x＋b）的乘積中不含x²項，也不含x³項，求a與b的值．

解題策略：先按多項式乘以多項式法則展開，得到9項，合并后有5項，系數(shù)中含有字母a，b．根據(jù)條件，乘積中不含x²，x³項，即可認為x²項，x³項的系數(shù)為0，從而得到關于a，b的二元一次方程組，進而求出a、b的值．

由于乘積中不含x²，x³項，因此有

∴a＝3，b＝1．

注意：本題所用的方法在數(shù)學中較為常用，稱之為待定系數(shù)法．

【歷屆中考題解析與注意的問題】

例10　化簡：（-2a）·a－（-2a）²結果是（　?。?/p>

A．0

B．2a²

C．-6a²

D．-4a²

答案：C．

分析：應先確定（-2a）·a與（-2a）²的符號，再合并同類項．這里-（-2a）²＝-4a²．

例11　下列運算中，不正確的是（　　）

A．3xy－（x²－2xy）＝5xy－x²

B．2a²b·4ab³＝8a³b⁴

C．5x（2x²－y）＝10x³－5xy

D．（x＋3）（x²－3x＋9）＝x³＋9

答案：D．

分析：D選項中乘積有一項乘錯，應為x³＋27．