第三節(jié)　多元線(xiàn)性回歸分析

上一節(jié)研究了一元回歸的問(wèn)題，它反映的是某一因變量與一個(gè)自變量之間的關(guān)系。在實(shí)際問(wèn)題中，和某一因變量有關(guān)的變量往往不只一個(gè)，而是很多個(gè)。例如，一個(gè)工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)的多少，受總產(chǎn)值多少的影響，同時(shí)也受成本、價(jià)格等因素的影響；一種商品的銷(xiāo)售量，除受這種商品價(jià)格的影響外，還受居民收入、代用品及其他有關(guān)商品價(jià)格、廣告費(fèi)等的影響。研究一個(gè)因變量與多個(gè)自變量之間的定量關(guān)系問(wèn)題稱(chēng)為多元回歸或復(fù)回歸。多元回歸分為多元線(xiàn)性回歸與多元非線(xiàn)性回歸，這里我們討論多元線(xiàn)性回歸問(wèn)題。

一、多元線(xiàn)性回歸方程的建立

當(dāng)因變量y與自變量x₁，x₂，x₃，…，x_p之間存在著線(xiàn)性關(guān)系，則多元線(xiàn)性回歸方程可寫(xiě)為：

式中：為常數(shù)項(xiàng)；

在多元回歸方程中，y對(duì)某一自變量的回歸系數(shù)表示當(dāng)其他自變量都固定時(shí)，該自變量變化一個(gè)單位而使y平均改變的數(shù)值，也稱(chēng)為偏回歸系數(shù)。

和研究一元回歸時(shí)的情形相似，求的值，仍采用最小平方法。

首先，將多元回歸方程變換為：

令　

根據(jù)最小平方法有：

分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，并令函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)等于0，得如下標(biāo)準(zhǔn)方程：

若令　

則上述聯(lián)立方程為：

于是的值可以全部求出，從而多元回歸方程就可以求得了。

例7－4：某動(dòng)力廠(chǎng)為提高鍋爐對(duì)煤氣的利用程度，降低對(duì)動(dòng)力煤的消耗，采用回歸分析的方法，制定出耗煤指標(biāo)的控制參數(shù)，以便隨時(shí)掌握耗煤指標(biāo)的完成情況。

根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際，耗煤指標(biāo)的大小和高爐煤氣燃燒量與鍋爐負(fù)荷兩因素有關(guān)。現(xiàn)將所搜集數(shù)據(jù)加以整理如表7－3所示。

首先根據(jù)表7－3編制計(jì)算表7－4，然后依據(jù)表7－4進(jìn)行二元回歸計(jì)算

表7－3　　　某動(dòng)力廠(chǎng)耗煤指標(biāo)、高爐煤氣燃燒量與鍋爐負(fù)荷資料

表7－4　　　多元回歸系數(shù)計(jì)算表

將L值代入方程：

求值：

求解以上方程得：

求值：

則求得二元回歸方程為：

二、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差

和一元回歸分析相同，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差可以通過(guò)總變差的分解求得，表示為：

L_yy＝U＋Q

其中

則　，其中p為自變量個(gè)數(shù)

例7－5：試根據(jù)例7－4資料計(jì)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。

已知：n＝12，L_1y＝－80.73，L_2y＝－598.32

三、多元線(xiàn)性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

檢驗(yàn)y與x₁，x₂，…，x_p的線(xiàn)性回歸關(guān)系是否顯著，主要是檢驗(yàn)β₁，β₂，…，β_p是否等于0。因此，我們可以檢驗(yàn)β₁＝β₂＝…＝β_p＝0這一假設(shè)是否成立，檢驗(yàn)上述假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量F的公式為：

在顯著性水平α下，對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)，如果

F＞F_α（p，n－p－1）

則認(rèn)為所求回歸方程是顯著的，否則所求回歸方程不顯著。

例7－6：試在顯著性水平a＝0.05的水平下，檢驗(yàn)根據(jù)例7－4的資料所求的回歸方程是否顯著。

已知：

代入下式得

查F分布表（見(jiàn)附錄二表5b）：

F_0.05（p，n－p－1）＝F_0.05（2，9）＝4.26

因8.04＞4.26，故可認(rèn)為所求回歸方程是顯著的。

多元線(xiàn)性回歸與一元線(xiàn)性回歸不同，不能僅滿(mǎn)足回歸方程是否顯著這一結(jié)論。因?yàn)榛貧w方程顯著并不意味著每個(gè)自變量x_j（j＝1，2，…，p）對(duì)y的影響都是顯著的。尚需判別在所考慮的因素中，哪些是影響y的主要因素，哪些是次要因素。對(duì)于那些次要的因素，總是希望從回歸方程中剔除，然后建立更為簡(jiǎn)單的回歸方程，以利對(duì)y進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。至于如何衡量某個(gè)特定變量x_j（j＝1，2，…，p）對(duì)y的影響，有興趣讀者可參考有關(guān)書(shū)籍。這里不再贅述。