第四節(jié)　非線性回歸分析

在實際問題中，有時兩個變量間的關(guān)系不是線性相關(guān)關(guān)系，而是某種曲線相關(guān)關(guān)系，如拋物線相關(guān)、雙曲線相關(guān)、冪函數(shù)相關(guān)和指數(shù)相關(guān)等，這時如果仍直接做直線回歸，就不能反映出這兩個變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，而必須做非線性回歸，即通過變量間的一組觀測數(shù)據(jù)配合一條曲線來描述它們之間的關(guān)系。

對非線性相關(guān)關(guān)系，可通過對變量進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)換成線性相關(guān)，再利用線性回歸分析方法進(jìn)行研究。

例7－7：煉鋼廠出鋼時所用盛鋼水的鋼包，在使用過程中由于鋼水及爐渣對包襯耐火材料的侵蝕，容積隨使用次數(shù)而不斷增大。下面是使用次數(shù)和增大容積（用鋼包盛滿時的鋼水重量表示）的資料：

表7－5　　　使用次數(shù)和增大容積資料

首先做散點圖（如圖7－4所示）。

圖7－4　使用次數(shù)和增大容積散點圖

從散點圖可看出，隨著使用次數(shù)的增加，開始時侵蝕速度較快，然后逐漸減慢。由于鋼包容積不會無限增加，必有一條平行于x軸的漸進(jìn)線，根據(jù)這些特點，可擬合雙曲線：

計算估計標(biāo)準(zhǔn)誤差：

根據(jù)數(shù)據(jù)特點，也可考慮擬合指數(shù)曲線：

將上式兩邊同取自然對數(shù)

，由此

計算估計標(biāo)準(zhǔn)誤差S_y＝0.2618，較擬合雙曲線時的S_y小，因此選擇指數(shù)曲線作為回歸線。

選擇合適的曲線類型不是一件容易的事，下面列出幾種可以通過變量代換化成線性回歸處理的曲線圖形和替換公式，以供參考。

1.指數(shù)函數(shù)（見圖7－5）：

對上式兩邊取自然對數(shù)得：

令y′＝lny，則

圖7－5

2.冪函數(shù)（見圖7－6）：

圖7－6

對上式兩邊取自然對數(shù)得：

令y′＝lg y，x′＝lgx，則得：

3.雙曲函數(shù)（見圖7－7）：

圖7－7

令，則得：

4.對數(shù)函數(shù)（見圖7－8）：

圖7－8

令x′＝lgx，則得：

5.S型曲線（見圖7－9）：

圖7－9

令，則得：

在應(yīng)用回歸分析時，需要注意以下幾個問題：

第一，在進(jìn)行回歸分析時，首先要根據(jù)一定的理論知識、專業(yè)知識和實際經(jīng)驗做定性分析，分析變量之間有無真正的聯(lián)系，是表面聯(lián)系還是內(nèi)在的實質(zhì)聯(lián)系，是偶然巧合還是必然聯(lián)系，如果一個自變量和許多變量都有聯(lián)系，就要分析哪些變量是主要影響因素，哪些是次要因素。在此基礎(chǔ)上正確確定以什么變量為自變量，什么變量為因變量，這樣做出的方程才有實際意義。如忽視了這一步，把沒有實質(zhì)聯(lián)系的現(xiàn)象，硬用回歸方程聯(lián)在一起，就會得出荒謬的、虛假的回歸，據(jù)以進(jìn)行推算和預(yù)測會得出錯誤的結(jié)論。即使在確定了實質(zhì)性聯(lián)系后，進(jìn)行回歸分析時，也還要結(jié)合定性分析，從理論上和經(jīng)驗上加以驗證。特別是對復(fù)雜的社會現(xiàn)象進(jìn)行定量分析時，不能脫離政府的方針政策以及當(dāng)時的社會環(huán)境，人們的思想、心理作用等，這些都是可能影響回歸預(yù)測的重要因素，不可忽視。

圖7－10

如果一個回歸模型滿足假定前提，所有殘差應(yīng)在e＝0附近隨機變化，并在變化不大的一條帶子中，如圖7－10中（a）；圖7－10中（b）的情況表明不能滿足E（ε）＝0，而（c）的情況表明不能滿足V（ε）＝σ²即方差相等這一前提。

隨機誤差項ε是否滿足正態(tài)性不影響利用最小平方法估計模型參數(shù)，但是影響顯著性檢驗和預(yù)測。根據(jù)中心極限定理，在大樣本情況下，隨機誤差項均近似服從正態(tài)分布，對于小樣本，則需進(jìn)行隨機誤差項的正態(tài)性檢驗，檢驗方法可參閱相關(guān)書籍，這里不再贅述。

第三，利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測時，只適用于原來的試驗范圍，不能把范圍隨意擴大。也就是說只適用于內(nèi)插預(yù)測，不適用于外推預(yù)測。因為，用最小平方法配合的最適線，只是針對現(xiàn)有資料范圍而言，如果外推到范圍以外，就不一定是最適線了。

利用標(biāo)準(zhǔn)化處理后的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析得到的回歸方程，回歸系數(shù)不再有量綱，可以用來比較各自變量對y影響程度的相對重要性。